以“弧度制”為例淺談概念的引入

吳星云　李三平

【摘要】概念的引入方式對(duì)學(xué)生概念的獲得具有一定的影響。本文以“弧度制”概念的引入為例，通過(guò)對(duì)三種教材中關(guān)于“弧度制”概念的引入方式、素材選擇以及概念定義方式等的探討，在概念引入方面獲得了一些重要的啟示。

【關(guān)鍵詞】弧度制；概念；引入；教材比較

【中圖分類號(hào)】G634.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）28-0152-02

一、問(wèn)題的提出

“弧度制”是北師大版《高中數(shù)學(xué)必修4》第一章第三節(jié)的內(nèi)容[1]，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)主要包括：了解弧度制的概念，體會(huì)弧度是度量角度的一種方式，能夠進(jìn)行弧度與角度的轉(zhuǎn)化，能夠掌握弧度制下扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式并靈活運(yùn)用幾個(gè)公式；同時(shí)要求學(xué)生理解角與實(shí)數(shù)集之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)教材的安排，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了周期性、角的概念的推廣，即將學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。由此可見，本節(jié)內(nèi)容是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的起點(diǎn)，在課程結(jié)構(gòu)中具有“承上啟下”的作用。

對(duì)“弧度制”概念的引入進(jìn)行探討，主要有以下原因：第一，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，本節(jié)課學(xué)生只要知道“ ”這個(gè)事實(shí)，就能夠完成弧度與角度的互化，只要記住弧長(zhǎng)、面積公式就能解題。但是，關(guān)于概念的引入，為什么要用弧度制來(lái)表示角度卻沒(méi)有太多的解釋。在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)角度制來(lái)度量角的大小，而現(xiàn)在又要用弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角的大小去刻畫角的大小，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的困難。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，像“弧度制”這樣在生活中沒(méi)有接觸過(guò)的概念，若直接給出定義，學(xué)生是不容易接受的。第二，從教師的角度（尤其是新任教師）來(lái)說(shuō)，本節(jié)課是概念課，關(guān)于概念的引入，教材所給的素材不夠豐富，弧度制概念似乎有些突兀，而且不易找到與弧度制理想的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)和技能生長(zhǎng)點(diǎn)[2]，在引入概念時(shí)不易找到恰當(dāng)?shù)姆椒āＲ虼?，我們認(rèn)為有必要對(duì)“弧度制”這節(jié)課概念的引入進(jìn)行探討。

二、北師大版教材、人教版教材、美國(guó)天才教育教材的對(duì)比

我們知道，教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源，教材又是學(xué)生獲取知識(shí)的主要來(lái)源和教師教學(xué)的主要依據(jù)[3]。所以，通過(guò)比較北師大版教材、人教版教材、美國(guó)天才教育教材關(guān)于該課題的引入，從中得到一些啟發(fā)。因?yàn)橹忻纼蓢?guó)作為中西方文化的代表，近年來(lái)有許多研究人員從各個(gè)層面對(duì)中美兩國(guó)教育進(jìn)行比較研究，與美國(guó)教材作對(duì)比，希望能對(duì)中國(guó)教材的編寫提供借鑒。

我們主要從三個(gè)方面對(duì)三種版本的教材進(jìn)行比較，即概念引入的方式、素材的選擇、概念定義方式[4]。需要說(shuō)明的是，本文主要研究弧度制概念的引入問(wèn)題，而弧度制就是一種用弧度來(lái)度量角的單位制，所以，對(duì)弧度制引入的研究，關(guān)鍵是對(duì)“1弧度角”定義的研究。下面給出三種教材的比較。

可以看出，從概念引入的方式來(lái)說(shuō)，人教版教材與北師大版教材都由不同單位制指出角的另一種度量方式。人教版教材直接給出了“1弧度”的定義，學(xué)生對(duì)這樣突兀的概念是很難理解的。而北師大版通過(guò)大量鋪墊（復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過(guò)的弧長(zhǎng)公式，觀察表格，讓學(xué)生理解“圓心角一定時(shí)，弧長(zhǎng)與半徑的比值是一定值”），引入了弧度數(shù)這一概念，進(jìn)而給出了“1弧度”的定義。美國(guó)天才教育教材卻是以相關(guān)數(shù)學(xué)史入手，引出角的另一種度量方式，并且由學(xué)生自己計(jì)算進(jìn)行探究，得到弧度與角度互化的公式。由此可見，美國(guó)天才教育教材所選用的素材涉及的知識(shí)更廣泛，學(xué)生可以通過(guò)對(duì)本知識(shí)的學(xué)習(xí)了解更多的課外知識(shí)，增長(zhǎng)的見識(shí)，有助于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“有用的數(shù)學(xué)”[5]。

從素材的選擇來(lái)看，人教版教材在介紹了概念之后，強(qiáng)調(diào)單位圓中長(zhǎng)度為1的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角即為1弧度的角，并且給出了對(duì)應(yīng)的幾何圖形，這似乎更加直觀的刻畫了1弧度角的大小，并且對(duì)后續(xù)課程單位圓的使用進(jìn)行了鋪墊。北師大教材也使用了同樣的刻畫方式，不同的是，北師大版教材先通過(guò)觀察半徑不同的同心圓，及給出的弧長(zhǎng)與半徑關(guān)系的表格，得到弧長(zhǎng)與半徑之比為常數(shù)，并將這一常數(shù)稱為該角的弧度數(shù)，從而得到了相應(yīng)的概念。美國(guó)天才教育教材與北師大版教材類似，通過(guò)填寫角度、半徑、弧長(zhǎng)、弧度的關(guān)系引出弧度的概念，但是美國(guó)教材在素材的選擇上更能引起學(xué)生的興趣——選擇相關(guān)的數(shù)學(xué)史材料，并且更能體現(xiàn)學(xué)生的探究活動(dòng)。這一點(diǎn)，在我國(guó)的兩種常用版本的教材中并沒(méi)有體現(xiàn)。

從概念定義方式來(lái)看，美國(guó)天才教育教材并沒(méi)有給出1弧度角的概念。與我國(guó)的兩種教材相比，人教版教材的定義更具有普遍意義，北師大版只是在單位圓中定義了1弧度角，這可能會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)“為什么一定要在單位圓中？”“是不是離開了單位圓這樣的定義就沒(méi)有意義了呢？”

通過(guò)比較分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，美國(guó)天才教育教材更加強(qiáng)調(diào)知識(shí)獲得的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生有充分的空間進(jìn)行探索，有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、猜測(cè)、推理，對(duì)概念的定義沒(méi)有過(guò)多的敘述。而且，美國(guó)天才教育教材的素材也是比較豐富的，并與其他知識(shí)結(jié)合，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。北師大版教材在概念引入時(shí)作了更多的鋪墊，更加強(qiáng)調(diào)知識(shí)的本質(zhì)，所選擇的素材也是多樣的，而人教版教材只是給出了概念的定義。

三、啟示與思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》提出，課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。教材在概念引入時(shí)，應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈[6]。

1.把概念引入建立在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上

張奠宙教授指出：“概念引入，它不同于一般的課題引入（也就是通常意義上的課堂導(dǎo)入）。概念引入是站在‘學(xué)的立場(chǎng)上考慮，以學(xué)生為主體，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生處于一種問(wèn)題情境中，促使學(xué)生自主去分析、比較、綜合、抽象出概念”[7]。概念的引入，不僅要從具體的實(shí)例出發(fā)突現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，更重要的是要讓學(xué)生從中能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，感受概念探究發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。在概念引入的過(guò)程中，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程和規(guī)律，體現(xiàn)由抽象到具體，再由具體到抽象的這一過(guò)程。也就是說(shuō)，在引入概念的時(shí)候要以學(xué)生已有的知識(shí)水平為基礎(chǔ)引入概念，再由學(xué)生自己抽象概括出新的概念。

2.對(duì)教材的重構(gòu)與把握

從教的角度來(lái)說(shuō)，概念教學(xué)是教學(xué)的基本任務(wù)之一，和概念學(xué)習(xí)一樣，概念教學(xué)離不開思考。傳統(tǒng)意義下的概念教學(xué)常常是枯燥乏味，學(xué)生也只是記住了概念，但是不注重概念的理解。所以，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該廣泛閱讀文獻(xiàn)資料，結(jié)合不同版本的教材（有條件的可以參考國(guó)外學(xué)校的教材或教學(xué)參考書），對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合與歸納，在理解的基礎(chǔ)上，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，把握概念的內(nèi)涵與外延，豐富教學(xué)素材。

3.數(shù)學(xué)文化的滲透

新一輪的基礎(chǔ)教育課程改革，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化的教育教學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)。像“弧度制”這一課程內(nèi)容，可以結(jié)合美國(guó)天才教育教材的編排方式，在概念引入時(shí)增加有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，這樣將有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)熱情。不僅如此，在很多的數(shù)學(xué)課程中都可以與數(shù)學(xué)史的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，比如：函數(shù)的概念、微積分、平面解析幾何的產(chǎn)生等知識(shí)，都可以將數(shù)學(xué)文化滲透其中。

四、結(jié)束語(yǔ)

在概念教學(xué)中，關(guān)于概念引入的問(wèn)題，我們應(yīng)建立在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念學(xué)習(xí)，體會(huì)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程。同時(shí)，概念教學(xué)是需要教師反復(fù)思考與探究的過(guò)程，以教材為依托，而不受到教材的束縛，以教材為出發(fā)點(diǎn)，加入自己的理解與思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)士健，王尚志主編.《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007

[2]高敏.課例：弧度制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2015.04：16-18

[3]胡曉婷.高中數(shù)學(xué)教材中三角函數(shù)內(nèi)容的比較研究[D].首都師范大學(xué)，2011

[4]張瀟瀟.基于概念引入的高中數(shù)學(xué)教材比較研究[D].首都師范大學(xué)，2013

[5]張笑謙，胡典順.澳大利亞VCE課程與人教版高中數(shù)學(xué)教材平面向量章節(jié)的比較與思考[J]數(shù)學(xué)通報(bào)，2013.10：22-27

[6]中華人民共和國(guó)教育部.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011

[7]張瀟瀟.基于概念引入的高中數(shù)學(xué)教材比較研究[D].首都師范大學(xué)，2013

作者簡(jiǎn)介：

吳星云（1991.12-），女，陜西西安，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，2014級(jí)課程與教學(xué)論專業(yè)，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

李三平（1962-），男，陜西西安，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，副教授。主要研究方向數(shù)學(xué)教育，中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)等。