高中數(shù)學(xué)排列組合解題方法的研究*

佳木斯大學(xué)(154007) 史冰 張志旭

一、引言

排列組合模塊曾經(jīng)作為人教版數(shù)學(xué)教科書選修2-3 第1章的內(nèi)容.經(jīng)2019 年教育課程大調(diào)整后,已被改為人教A 版選擇性必修第三冊(cè)第6 章的內(nèi)容.第6 章由基本計(jì)數(shù)原理、排列與組合及二次項(xiàng)定理共4 個(gè)小節(jié)組成[1].其中,排列組合是本章的重點(diǎn)內(nèi)容,需要學(xué)生深刻理解并扎實(shí)掌握.此外,排列組合在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位,通過排列組合的學(xué)習(xí)可以促進(jìn)學(xué)生抽象思維的拓展,尤其是將其應(yīng)用于解決實(shí)際生活問題中,學(xué)生能夠?qū)W會(huì)從不同角度去解決數(shù)學(xué)問題.因此,高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對(duì)排列組合的解題方法進(jìn)行研究并不斷反思改進(jìn).

高中數(shù)學(xué)中的排列組合問題通常可以從多個(gè)角度出發(fā).從不同角度解決的問題,其復(fù)雜程度也會(huì)有所不同.因此,在解決排列組合問題時(shí),教師應(yīng)該多思考,多總結(jié),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法開展教學(xué),用更少的精力發(fā)揮出最大的效果,真正的做到化繁為簡(jiǎn),從而使學(xué)生對(duì)排列組合相關(guān)的解題方法深刻掌握的同時(shí),能夠巧妙的將其應(yīng)用于實(shí)際問題中[2].

二、高中數(shù)學(xué)排列組合的解題方法

(一)先特殊后一般

這種類型題分為兩種情況,即元素特殊或是位置特殊.針對(duì)這種排列組合的習(xí)題,我們就需要優(yōu)先考慮特殊情況,之后再進(jìn)行整體思考[3].

例題1從0 到9 共十個(gè)數(shù)字中選取不同的四個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)新的數(shù),那么構(gòu)成的數(shù)為偶數(shù)的情況有多少種?

解析由于0 在本題中是一個(gè)特殊的元素,因此我們需要分情況進(jìn)行討論.第一種情況,如果新構(gòu)成的個(gè)位數(shù)是0,那么其符合題中要求的偶數(shù)的條件,這時(shí)只需要從剩余的九個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)字,而這三個(gè)數(shù)字的順序不同結(jié)果也不同,所以列式應(yīng)為A39.第二種情況,如果新構(gòu)成的個(gè)位數(shù)不是0,要滿足構(gòu)成的數(shù)為偶數(shù)的條件,因此,個(gè)位數(shù)可以取2、4、6、8 共四種情況,列式為C14,而千位數(shù)是一個(gè)特殊位置,因?yàn)槠洳荒苋?,所以要從剩余的八個(gè)數(shù)中取一個(gè)數(shù),列式為C18,百位數(shù)是從包括0 的剩余八個(gè)數(shù)中選取一個(gè)為C18,十位數(shù)則是從剩余七個(gè)數(shù)中選取一個(gè)為C17,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理可得第二種情況下的結(jié)果為C14C18C18C17.綜上所述,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得本題的結(jié)果為A39+C14C18C18C17=2296 種.

評(píng)析在講解這種類型題時(shí),教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在完全掌握排列組合相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上善于發(fā)現(xiàn)題中的特殊元素或特殊位置,并教會(huì)學(xué)生正確采用先特殊后一般的解題方法,以此來(lái)幫助學(xué)生理清題目信息,從而輕松解出答案.

(二)正難則反

在排列組合中,有一些問題按照常規(guī)方法進(jìn)行解答會(huì)比較困難.這時(shí),我們可以采用正難則反的解題方法,即從相反的角度去思考問題,對(duì)不符合題干的情況進(jìn)行排列組合,最后用整體的排列組合減去不符合題干情況的排列組合從而得出答案[4].

例題2某醫(yī)院皮膚科有3 名女醫(yī)生、4 名男醫(yī)生,其中小亮(男)是科室主任;眼科有3 名女醫(yī)生、2 名男醫(yī)生,其中小美(女)是科室主任.現(xiàn)在醫(yī)院想從兩科室中選4 人參加培訓(xùn).

(1)若至多有1 名科室主任參加,那么有多少種選法?

(2)若皮膚科至少有2 名醫(yī)生參加,那么有多少種選法?

解析本題如果采用直接法解題會(huì)相對(duì)比較復(fù)雜,這時(shí)我們就想到采用正難則反的解題方法.

(1)首先對(duì)“2 名科室主任都參加”進(jìn)行排列組合,那么應(yīng)從2 名主任中選2 人,從剩余10 名醫(yī)生中選2 人,列式為C22C210,而所有情況為從兩科室中任意選出4 人參加,列式為C412.所以至多有1 名科室主任參加的選法共有C412?C22C210=450 種.

(2)由(1)知所有情況為C412,若皮膚科沒有醫(yī)生參加,則從眼科中選4 人,列式為.C45,若皮膚科有1 名醫(yī)生參加,則從眼科中選3 人,從皮膚科中選1 人,列式為C35C17.所以皮膚科至少有2 名醫(yī)生參加的選法共有C412?C45?C35C17=420種.

評(píng)析正難則反是高中數(shù)學(xué)比較普遍的研究方法,當(dāng)問題難以分析時(shí),通過相反的角度去思考問題,那么許多困難的數(shù)學(xué)問題都會(huì)迎刃而解.在解決這種類型題時(shí),教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生分辨正向解答和反向解答哪種更簡(jiǎn)單,使學(xué)生在解答此類數(shù)學(xué)題時(shí)能夠及時(shí)想到正難則反的解題方法,從而更快速更準(zhǔn)確的得出答案.

(三)元素相鄰,先捆綁為一

如果幾個(gè)元素彼此是相鄰的,那么可以把這些元素看作為一個(gè)整體,我們把排列組合的這種解題方法叫做捆綁法,這是解決復(fù)雜排列組合問題的有效途徑.即把相鄰的元素看作一個(gè)整體并與其他元素進(jìn)行排列組合,最后再對(duì)相鄰元素之間進(jìn)行排列.通過以這種方式解決排列組合的問題,學(xué)生可以輕松解決相鄰情況下幾個(gè)元素的排列問題.

例題3假如讓你給高三年級(jí)的學(xué)生排一天的課表,要求數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)、化學(xué)、物理、生物、自習(xí)各上一節(jié),并且數(shù)學(xué)和語(yǔ)文兩門課要連著上,那么試著思考共有多少種排列的方法?

解析根據(jù)題干中要求的數(shù)學(xué)和語(yǔ)文兩門課連著上可以想到這是元素相鄰的問題,因此需要用捆綁法來(lái)解答此題.首先把數(shù)學(xué)和語(yǔ)文兩門課捆綁在一起看作一個(gè)整體,再與其他五門課進(jìn)行排列組合,由于順序?qū)Y(jié)果有所影響,所以列式應(yīng)為A66,而數(shù)學(xué)和語(yǔ)文兩門課也需要進(jìn)行排列,列式為A22,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,最終結(jié)果應(yīng)為A66A22=1440 種排列的方法.

評(píng)析把相鄰的元素先捆綁為一個(gè)整體來(lái)觀察,這種先整體后局部的解題方法有助于解決排列組合中相對(duì)較復(fù)雜的問題.教師在向?qū)W生教授運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí),要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)該考慮到剩余的元素之間是組合的問題還是排列的問題,當(dāng)剩余元素之間是排列問題時(shí),我們就要考慮到順序?qū)Y(jié)果的影響,而當(dāng)剩余元素之間是組合問題,我們就應(yīng)該考慮到要排除順序?qū)Y(jié)果的影響.

(四)元素不相鄰,最后插空

插空法是解決元素不相鄰的排列組合問題的一種典型方法.當(dāng)需要排列多個(gè)元素時(shí),插空法可以有效地簡(jiǎn)化排列過程.當(dāng)元素不相鄰時(shí),首先應(yīng)該排列沒有限制的元素,之后將有所限制的相關(guān)元素插入排列好的元素中.

例題4在一節(jié)體育課上,體育老師要求每八人為一組站成一排,其中小明和小紅想要站在一起,但他們又都不想和小強(qiáng)站在一起,那么他們這一組共有多少種站法?

解析本題既包含元素相鄰的情況又包含元素不相鄰的情況,這時(shí)我們要優(yōu)先考慮元素相鄰的情況,由于小明和小紅想要站在一起,因此小明和小紅是兩個(gè)相鄰的元素,根據(jù)方法(三),把小明和小紅捆綁在一起看作一個(gè)整體,小強(qiáng)單獨(dú)看作一個(gè)整體,我們先排列剩余的五個(gè)人,列式應(yīng)為A55,接下來(lái)我們進(jìn)行插空,五個(gè)人有六個(gè)空,有兩個(gè)元素需要插進(jìn)去,列式應(yīng)為A26,最后小明和小紅之間也要排列,列式為A22,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,最終答案應(yīng)為A55A26A22=7200種站法.

評(píng)析教師在給學(xué)生講解本題時(shí),首先要引導(dǎo)學(xué)生分辨哪些是相鄰元素,哪些是不相鄰元素,之后讓學(xué)生獨(dú)立思考每種情況所對(duì)應(yīng)的解題方法是什么,通過數(shù)形結(jié)合的思想,可以畫簡(jiǎn)圖讓學(xué)生直觀感受插空法是如何進(jìn)行插空的.此外教師要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)不能有遺漏的情況,即要考慮全面.

(五)平均分成n 組,要除以n!

這種類型題主要是將幾個(gè)元素分成n組,這里的n是某個(gè)具體的數(shù).對(duì)于這類問題,我們需要根據(jù)題意對(duì)元素進(jìn)行分組,而重點(diǎn)在于要除去重復(fù)的部分,即除以n!.

例題5學(xué)校組織全體師生進(jìn)行班級(jí)大掃除,高三一班班主任要將班里的十二名男生平均分成四組,共同完成大掃除的工作,那么該班主任可以有多少種分組的方式?

解析本題是一道典型的平均分組的問題,我們首先對(duì)十二名男生進(jìn)行分組,十二名男生平均分成四組,那么每組有三人,先從十二名男生中隨機(jī)選取三人,列式為C312,再?gòu)氖Ｓ嗑琶猩须S機(jī)選取三人,列式為C39,以此類推,列式有C36,C33,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,可得分組結(jié)果為C312C39C36C33.由于四組都為三人的分組,所以要除去重復(fù)的部分,即除以4!,綜上,最終答案應(yīng)為=15400種分組的方式.

評(píng)析教師在講解本題前,可以給學(xué)生舉一個(gè)簡(jiǎn)單的平均分組的例子,例如“將a、b、c、d平均分成兩組,共有多少種組合方式? ”由于本例中元素?cái)?shù)量少,可以讓學(xué)生直接進(jìn)行排列分組,以此讓學(xué)生感受為什么會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的情況.在此基礎(chǔ)上再對(duì)本題進(jìn)行講解,這樣可以使學(xué)生更容易理解平均分組的問題要在最后除以n!的原因.

(六)先分組后分配

這種類型題主要是將元素進(jìn)行分配,其重點(diǎn)在于分配后每一組都不止一個(gè)元素.這時(shí)我們就需要先對(duì)元素進(jìn)行分組,之后再將分好的組進(jìn)行分配.

例題6學(xué)校將在教師節(jié)這天舉辦聯(lián)歡晚會(huì),現(xiàn)有五名教師要分別去唱歌組、舞蹈組以及演講組進(jìn)行表演,且每組節(jié)目至少要有一人,那么共有()種情況.

A.60 B.180 C.300 D.120

解析本題要分情況進(jìn)行討論,第一種情況為三名教師去一組表演,剩余兩名教師各自到另外兩組表演,首先從五名教師中隨機(jī)選取三人,列式為C35,將這三人看作一個(gè)整體,再?gòu)氖Ｓ喽酥羞x取一人,列式為C12,將三組進(jìn)行排列組合.此時(shí)順序?qū)Y(jié)果有影響,因此列式應(yīng)為A33,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,這種情況的結(jié)果為C35C12A33=120 種.第二種情況為有兩組分別有兩名教師,有一組為一名教師,首先從五名教師中隨機(jī)選取兩人到一組表演,列式為C25,再?gòu)氖Ｓ嗳處熤须S機(jī)選取兩人,列式為C23,最后對(duì)三組進(jìn)行排列組合,列式為A33,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,這種情況的結(jié)果為C25C23×A33=180 種.將兩種情況相加得出最終答案為選項(xiàng)C.

評(píng)析學(xué)生在解答這種類型題時(shí)可能會(huì)想不到分類討論的方法,因此教師要培養(yǎng)學(xué)生善于運(yùn)用分類討論的解題方法,以此使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.當(dāng)遇到既要分組又要分配的類型題時(shí),運(yùn)用先分組后分配的解題方法往往能事半功倍.

(七)先選后排

有一些排列組合的題不僅要從多個(gè)元素中選取幾個(gè)元素,還要對(duì)選取的元素進(jìn)行排列,針對(duì)這種類型題我們要采取先選后排的解題方法,即首先對(duì)選取的元素進(jìn)行列式,再進(jìn)行排列,最后根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,將式子相乘得出答案.

例題7幼兒園老師在課堂上和小朋友們做游戲,老師讓小明在1、3、5、7、9 共五張數(shù)字卡片中選出三張,又讓小紅在0、2、4、6、8 共五張數(shù)字卡片中選出兩張,試著思考將五張卡片放在一起能構(gòu)成多少個(gè)不同的五位數(shù)的奇數(shù)?

解析由于0 在本題中是一個(gè)特殊的元素,因此要分類討論,第一種情況為選取的卡片中不含0 這張,即從四張偶數(shù)卡片中選取兩張為C24,從五張奇數(shù)卡片中選取三個(gè)為C35,而題中要求構(gòu)成的數(shù)為奇數(shù),因此個(gè)位數(shù)為一個(gè)特殊位置,應(yīng)該從選取的三張奇數(shù)卡片中選一張排列在個(gè)位數(shù),列式為A13,最后將剩余四張卡片進(jìn)行排列為A44,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,第一種情況列式應(yīng)為C24C35A13A44=4320.第二種情況為選取的卡片中含有0 這張,這時(shí)從剩余四張偶數(shù)卡片中選取一張為C14,從五張奇數(shù)卡片中選取三個(gè)為C35,再?gòu)倪x取的三張奇數(shù)卡片中選一張排列在個(gè)位數(shù),列式為A13,而這種情況下首位也是一個(gè)特殊位置,因此先對(duì)首位進(jìn)行排列,即從除0 外剩余三張中選取一張為A13,最后對(duì)其他三張進(jìn)行排列為A33,根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理,第二種情況列式應(yīng)為C14C35A13A13A33=2160.兩種情況相加最終答案為6480 個(gè).

評(píng)析本題較為復(fù)雜,不僅需要運(yùn)用先選后排的方法,而且題中還包含了特殊元素和特殊位置,教師在講解本題時(shí)要把每一個(gè)步驟運(yùn)用的方法及列式給學(xué)生講解清楚,幫助學(xué)生理清思路的同時(shí)能夠恰當(dāng)運(yùn)用各種排列組合的解題方法.

(八)同種的n 個(gè)元素不加以區(qū)分: 占位法或除以n!法

這種類型題中包含了相同的元素,此時(shí)對(duì)元素進(jìn)行排列組合就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的部分,可以采用與方法(五)同樣的解題方法,即除以n!法,也可以采用占位法.

例題8某高三一班的學(xué)生想在教師節(jié)這天送給老師們一朵花,現(xiàn)有三朵同樣的康乃馨和兩朵同樣的郁金香,學(xué)生們要從中選出四朵分別送給四位老師,每位老師一朵,那么共有()種送法

A.10 B.12 C.9 D.11

解析采用占位法的解答思路為: 首先要進(jìn)行分類討論,第一種情況為將三朵康乃馨和一朵郁金香送給四位老師,選擇其中一位老師送給他郁金香,其他老師送康乃馨,列式為C14,第二種情況為將兩朵康乃馨和兩朵郁金香送給四位老師,選擇其中兩位老師送給他們郁金香,其他老師送康乃馨,列式為C24,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,將兩式相加得出答案為10 種.也可以采用除以n!法,此時(shí)第一種情況的列式為=4,第二種情況的列式為=6,最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,將兩式相加得出答案為10 種.故本題答案為A.

評(píng)析在講解這種類型題時(shí),教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生善于觀察題中是否有相同元素,當(dāng)看到題中含有相同元素時(shí),能夠快速想到運(yùn)用占位法或除以n!法,這樣便能使問題簡(jiǎn)單化,從而更有助于學(xué)生正確解答.

(九)涂色法

這類問題是排列組合問題比較經(jīng)典的一類問題,通常會(huì)給出一個(gè)圖形,并要求在圖中進(jìn)行著色.這類問題也屬于復(fù)雜的排列組合問題,需要先涂好一個(gè)位置,再對(duì)其他位置進(jìn)行分類討論.

例題9學(xué)校在勞動(dòng)節(jié)這天組織全體師生共同為校園種樹種花,高二一班被分配到種花的活動(dòng)中,學(xué)校要求在如圖所示的一個(gè)花壇中進(jìn)行種花,并且相鄰的區(qū)域要種不同顏色的花,現(xiàn)有四種顏色的花可供選擇,那么高二一班共有多少種種法呢?

解析首先對(duì)區(qū)域A進(jìn)行分析,共有四種顏色可以選擇,此時(shí)區(qū)域B 剩三種顏色可以選擇,區(qū)域C 剩兩種顏色可以選擇,由于區(qū)域D 與區(qū)域A 不相鄰,此時(shí)我們就要分類討論,假設(shè)區(qū)域D 與區(qū)域A 同色,那么區(qū)域D 顏色確定,區(qū)域E 還剩兩種顏色可以選擇.假設(shè)區(qū)域D 與區(qū)域A 不同色,那么區(qū)域D 剩一種顏色可以選擇,區(qū)域E 還剩兩種顏色可以選擇.根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理以及分類加法計(jì)數(shù)原理,最終答案為4×3×2×1×2+4×3×2×1×2=96 種種法.

評(píng)析這種類型題基本都要用到分類討論的思想,教師在講解這種類型題時(shí)要幫助學(xué)生分清在什么地方應(yīng)該進(jìn)行分類討論,學(xué)生在掌握這種方法后再去解題就會(huì)更加輕松.也可以把某些區(qū)域同時(shí)進(jìn)行涂色,再思考剩余的區(qū)域.

(十)求冪法

排列組合中有一些類型題,采用求冪法來(lái)解決會(huì)更清晰便捷.

例題10學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)勞逸結(jié)合并促進(jìn)師生之間和同學(xué)之間的友誼,在周末組織了春游活動(dòng),學(xué)校共提供了三個(gè)地點(diǎn)供師生們選擇,其中高一年級(jí)共有八個(gè)班,他們要去三個(gè)地點(diǎn)游玩,那么:

(1)如果每班去一個(gè)地點(diǎn),共有多少種情況?

(2)如果每個(gè)地點(diǎn)來(lái)一個(gè)班,共有多少種情況?

解析第一問是班級(jí)去選擇地點(diǎn),所以班級(jí)數(shù)應(yīng)為冪指數(shù),地點(diǎn)數(shù)為底數(shù),列式為38=6561 種情況.第二問是地點(diǎn)進(jìn)班級(jí),因此地點(diǎn)數(shù)應(yīng)為冪指數(shù),班級(jí)數(shù)為底數(shù),列式為83=512 種情況.

評(píng)析教師在講解這種類型題時(shí),只需要教會(huì)學(xué)生分辨冪指數(shù)及底數(shù)的位置應(yīng)該是哪個(gè)元素,在此基礎(chǔ)上問題便能夠迎刃而解.

三、結(jié)語(yǔ)

通常情況下,排列組合問題不僅考察學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯,還考察他們解決現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)問題的能力[5].因此,數(shù)學(xué)教師需要有效地將排列組合的解題與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合,使學(xué)生掌握哪種類型題應(yīng)該用哪種解題方法去解決,以及如何選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法更準(zhǔn)確地解決排列組合相關(guān)問題.