一道競賽題的解答與拓展

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一、題目呈現(xiàn)與解答

題目(2021 年第三十一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高一第2 試第16 題)正實數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=11,求(a2+1)(b2+1)(c2+1)的最小值.

本題簡潔且內(nèi)涵豐富,很有新意,值得探究.本文呈現(xiàn)其解法,并作拓展探究,供大家參考.

解法1因為

(a2+1)(b2+1)=(a2b2+a2+b2+1)=(a+b)2+(ab?1)2,

由柯西不等式,得

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=[(a+b)2+(ab?1)2](c2+1)

≥[(a+b)c+(ab?1)×1]2

=[(ab+bc+ca)?1]2=(11?1)2=100,

當(dāng)且僅當(dāng)正實數(shù)a,b,c滿足即abc=a+b+c,且ab+bc+ca=11 時,等號成立.a,b,c的值不唯一,如a=1,b=2,c=3 是滿足條件的一組值.所以(a2+1)(b2+1)(c2+1)的最小值為100.

解法2

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=a2b2c2+a2b2+b2c2+c2a2+a2+b2+c2+1

=a2b2c2+[(ab+bc+ca)2?2abc(a+b+c)]

+[(a+b+c)2?2(ab+bc+ca)+1]

=[a2b2c2?2abc(a+b+c)+(a+b+c)2]

+[(ab+bc+ca)2?2(ab+bc+ca)+1]

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2

≥[(ab+bc+ca)?1]2=(11?1)2=100,

等號成立的條件是abc=a+b+c并且ab+bc+ca=11,a,b,c的值不唯一,如a=1,b=2,c=3 是滿足條件的一組值.所以(a2+1)(b2+1)(c2+1)的最小值為100.

解法3設(shè)復(fù)數(shù)a+i,b+i,c+i,則

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=|a+i|2·|b+i|2·|c+i|2=|(a+i)(b+i)(c+i)|2

=|[(ab?1)+(a+b)i)]·(c+i)|2

=|[(abc?a?b?c)+(ab+bc+ca?1)i)|2

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2

≥[(ab+bc+ca)?1]2=(11?1)2=100,

二、試題的拓展

2.1 試題的變式

變式1求最小的實數(shù)k,使得對于任意的a,b,c,d ∈R,有

解答由

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2,

可得(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥(ab+bc+ca?1)2,故

四式相加,得

當(dāng)a=b=c=d=時,等號成立.所以實數(shù)k的最小值為4.

變式2已知a,b,c ∈R,求證:

證明因為

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2,

由柯西不等式,得

當(dāng)a+b+c?abc=ab+bc+ca?1 時,等號成立.所以

變式3已知正實數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=3,求(a2+1)(b2+1)(c2+1)的最小值.

解答由均值不等式,有

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

≥3(ab+bc+ca)=9,

即a+b+c≥3,3=ab+bc+ca≥即abc≤1.故有a+b+c?abc≥3?1=2.當(dāng)且僅當(dāng)正實數(shù)a,b,c滿足a=b=c=1 時,等號成立.由

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2

≥22+(3?1)2=8,

所以(a2+1)(b2+1)(c2+1)的最小值為8.

變式4已知正實數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=20,求(a2+2)(b2+2)(c2+2)的最小值.

評注由變式3 與變式4,還可以得到更一般的結(jié)論:

結(jié)論1 正實數(shù)a,b,c滿足ab+bc+ca=t,k >0.

(1)當(dāng)t≥9k時,(a2+k)(b2+k)(c2+k)的最小值為k(t?k)2;

(2)當(dāng)t<9k時,(a2+k)(b2+k)(c2+k)的最小值為

2.2 試題的四元推廣

推廣已知實數(shù)a,b,c,d滿足ab+ac+ad+bc+bd+cd?abcd=11,求(a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)的最小值.

解答由

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2,

故有

(a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)

=[(a+b+c?abc)2+(ab+bc+ca?1)2](d2+1)

=[(a+b+c?abc)2+(1?ab?bc?ca)2](d2+1)

=[(a+b+c?abc)d?(1?ab?bc?ca)×1]2

+[(a+b+c?abc)+d(1?ab?bc?ca)]2

=(ab+ac+ad+bc+bd+cd?abcd?1)2

+(a+b+c+d?abc?bcd?cda?dab)2

≥(ab+ac+ad+bc+bd+cd?abcd?1)2

=(11?1)2=100,

2.3 恒等式的推廣

由試題的解法2 或解法4,可以得到一個優(yōu)美的代數(shù)恒等式

(a2+1)(b2+1)(c2+1)

=[(a+b+c)?abc]2+[(ab+bc+ca)?1]2.

此外,由試題的四元推廣,有恒等式

(a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)

=(ab+ac+ad+bc+bd+cd?abcd?1)2

+(a+b+c+d?abc?bcd?cda?dab)2.

那么,對于(x21+1)(x22+1)···(x22+1),是不是有類似的恒等式? 經(jīng)探究,得到以下結(jié)論:

三、結(jié)語

學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,遇到一道經(jīng)典試題,要從多角度探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優(yōu)劣,還要清楚其中的方法內(nèi)涵,知曉其中的來龍去脈,方能實現(xiàn)試題研究價值的最大化.另外,不要只滿足于問題的解決,要通過變式、類比進行研究,尋求問題的增長點,這樣既能開拓解題思路,又能提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,同時達到了舉一反三,觸類旁通的目的.