同構(gòu)法在高考解題過程中的應(yīng)用

福建省德化第一中學(xué)(362500) 吳志鵬

同構(gòu)法是指式子兩邊的結(jié)構(gòu)相似,或是式子局部結(jié)構(gòu)相同,此時(shí)可以通過換元,化繁為簡(jiǎn),使得式子的結(jié)構(gòu)特征更加清晰明了,構(gòu)造出相應(yīng)的新函數(shù)、新方程、新數(shù)列等,進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、方程根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)列的遞推關(guān)系等解決問題.利用同構(gòu)法解題具有很強(qiáng)的技巧性,對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維的提升具有很好的促進(jìn)作用.解題的關(guān)鍵在于是否能從題目所給的式子挖掘出同構(gòu)式,進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)、方程、數(shù)列等,再用其性質(zhì)求解,獲得結(jié)論.下面讓我們來欣賞幾道可用同構(gòu)法求解的高考試題.

一、指對(duì)融合,同構(gòu)解困惑

解決含有指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或方程問題,式子的結(jié)構(gòu)特征有時(shí)并不明顯,可通過指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算或恒等變換,巧妙地實(shí)施同構(gòu)變換,使得方程兩邊的結(jié)構(gòu)相似,從而構(gòu)造一個(gè)函數(shù),再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.

例1(2020 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷(理科) 第12 題) 若2a+log2a=4b+2log4b,則()

A.a>2b B.a<2b C.a>b2D.a

解析因?yàn)?/p>

2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b?1,令f(x)=2x+log2x,則有f(a)=f(2b)?1,所以f(a)

評(píng)析本題通過指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算成功地將題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一組同構(gòu)式,從而構(gòu)造遞增函數(shù)f(x)=2x+log2x,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小,獲得結(jié)論.

例2(2022 年高考甲卷(理科) 第21 題) 已知函數(shù)f(x)=?ln x+x?a.

(1)若f(x)≥0,求a 的取值范圍;

(2)證明: 若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則x1x2<1.

解析(1)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).函數(shù)解析式可化為

二、三角變換,同構(gòu)巧助力

對(duì)于與三角形相關(guān)的問題,如果存在式子的結(jié)構(gòu)相同,我們可通過三角恒等變換或誘導(dǎo)公式實(shí)施同構(gòu)變換,并構(gòu)造相應(yīng)的三角函數(shù),利用其性質(zhì)求解問題.

三、數(shù)形結(jié)合,同構(gòu)來點(diǎn)睛

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老的也是最基本的研究對(duì)象,它們?cè)谝欢ǖ臈l件下是可以互相轉(zhuǎn)化的,以數(shù)解形,也能很好地啟發(fā)我們探究同構(gòu)式的幾何意義.

四、通項(xiàng)遞歸,同構(gòu)顯神通

數(shù)列通項(xiàng)公式中的前后項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是一組可遞推的同構(gòu)式,通過尋找可遞推的一組關(guān)系式獲得解題思路,也具有普適性,這當(dāng)中,同構(gòu)思想也體現(xiàn)得“淋漓盡致”.

從而構(gòu)造出常數(shù)列,最終求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

結(jié)語 同構(gòu)法應(yīng)用時(shí),要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,或是通過運(yùn)算、變形等手段,挖掘同構(gòu)式,并構(gòu)造函數(shù)、遞推數(shù)列、以及利用其幾何意義進(jìn)行求解,同構(gòu)式使得式子變形之后更加簡(jiǎn)潔、美觀,研究同構(gòu)式的使用,有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),同構(gòu)式也是高考命題的一種好思路.