由一道數(shù)列?？碱}引發(fā)的思考

甘肅省蘭州市第六中學(xué)(730060) 焦永垚

一、原題呈現(xiàn)

題目(2023 年天津市南開(kāi)區(qū)高三數(shù)學(xué)一模第19 題)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和為Sn,單調(diào)遞增的等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為2,且滿(mǎn)足b2+S2=7,b3+S3=14.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)證明: 3Sn=anSn+1?(an?1)Sn(n ∈N?);

(3)記{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:

二、解法探究

第(1),(2)問(wèn)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),易得an=n,bn=2n.下面來(lái)探究第(3)問(wèn)的證法.

三、探究延伸

點(diǎn)評(píng)上述解答給出了{(lán)(an2+bn+c)qn}型數(shù)列求和常用的四種方法.事實(shí)上,數(shù)列{an2+bn+c}(a ?=0)為二階等差數(shù)列,因此對(duì)于{(an2+bn+c)qn}型數(shù)列的前n項(xiàng)和可以由阿貝爾數(shù)列求和公式直接得出(可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]),至于其他“高階等差乘等比”型數(shù)列的前n項(xiàng)和,有興趣的讀者可利用阿貝爾變換進(jìn)行探究,本文不再贅述.

四、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,時(shí)常會(huì)遇到一些典型且設(shè)置巧妙的問(wèn)題,這時(shí)我們要教導(dǎo)學(xué)生不能僅僅滿(mǎn)足于問(wèn)題的獲解,而是在此基礎(chǔ)上勤于思考,樂(lè)于鉆研,從多角度展開(kāi)嘗試和聯(lián)想,力求擴(kuò)大戰(zhàn)果,逐步培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣.在教學(xué)中,要不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì),在探究中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性、靈活性及獨(dú)創(chuàng)性,讓學(xué)生在探究中真正體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè).