例談雙元不等式證明中的消元策略

廣東省河源高級中學(xué)(517000) 李佳炎

雙元不等式的證明是高考中的熱點,同時也是學(xué)生的難點,由于高中階段學(xué)生僅學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因此證明雙元不等式的總體思路就是消元,化雙元不等式問題為單元不等式問題,如何進行消元成為了解題的關(guān)鍵.對于不同的題目,消元的策略是不同的,本文以近年高考真題及模擬題為例,探討三種主要的消元策略.

策略一: 主元策略

當(dāng)兩個變量是獨立時,不妨將其中一個變量作為主元,另一個變量固定成參數(shù),這樣雙變量不等式就變成含參單變量不等式,這時可以直接構(gòu)造一元函數(shù)來處理.

評析例1 中x1,x2是獨立雙變量,可以采用主元策略來證明不等式,由于x1,x2是可分離的,因此先轉(zhuǎn)化為證明f(x1)+x1

例2 (2020 年高考天津卷) 已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k ∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

評析例2 的x1,x2是獨立雙變量,但與例1 不同的是,例2 的雙變量不能分離,因此考慮把其中一個變量作為主元(例2 中的x1),把另一個變量看成參數(shù)(例2 中的x2),直接構(gòu)造一元函數(shù),借助函數(shù)單調(diào)性來證明不等式.

策略二: 換元策略

當(dāng)兩個變量之間有等式制約關(guān)系時,我們可以考慮換元策略,換元策略一般有兩類,第一類換元策略是將不等式中的一個變量換成另外一個變量,從而將雙變量不等式變成單變量不等式;第二類換元策略是引入第三個變量,將不等式中的兩個變量用第三個變量去表示,這樣待證的雙變量不等式就變成關(guān)于第三個變量的單變量不等式.

例3 (2018 年高考全國Ⅰ卷理科) 已知函數(shù)f(x)=?x+alnx,

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x) 存在兩個極值點x1,x2,證明:

評析例4 中的x1,x2也不是獨立的,它們由等式關(guān)系f(x1)=f(x2)約束,但是并不能像例3 那樣能化簡成一個簡潔的等式關(guān)系,于是我們考慮將待證的不等式轉(zhuǎn)化,向條件靠攏,也就是說要想辦法給x1,x2套上“f”,然后將f(x2)整體換成f(x1),于是得到關(guān)于x1的單變量不等式,這種換元方式常用于極值點偏移問題及其衍生問題中.

例5 (2021 年廣州市一模) 已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax2+x(a ∈R),

(1)證明: 曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l 恒過頂點;

策略三: 放縮策略

例6 (2015 年高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=nx?xn,x ∈R,其中n ∈N?,n≥2,

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證: 對任意的正實數(shù)x,都有f(x)≤g(x);

(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a,a ∈R 有兩個正實根x1,x2,求證:|x1?x2|<+2.

解答(1)f′(x)=n?nxn?1,①若n為奇數(shù),令f′(x)=0 可得x=1 或x=?1,當(dāng)x ∈(?∞,?1),(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x ∈(?1,1)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增; ②若n為偶數(shù),令f′(x)=0 可得x=1,當(dāng)x ∈(?∞,1)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x ∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

例7 (2021 年高考浙江卷)設(shè)a,b為正實數(shù),且a >1,函數(shù)f(x)=ax?bx+e2(x ∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對任意b >2e2,函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,求a的取值范圍;

總之,對于獨立的雙變量不等式證明問題,我們可以選擇主元策略來處理,而對于有約束條件的雙變量不等式證明問題,可以選擇換元策略或者放縮策略,換元策略有兩類,第一類是將其中一個變量換成另外一個變量,這種策略常在約束關(guān)系比較簡潔,容易作代換時使用,而第二類換元則是引入新的參變量,將約束條件轉(zhuǎn)化為兩個變量關(guān)于參變量的參數(shù)方程,然后代入待證的不等式中,特別是對于有不等關(guān)系約束時,這種換元策略較為有效.而當(dāng)換元策略無法奏效時或者換元后得到的單變量不等式形式比較復(fù)雜,難以下手時,都可以考慮放縮策略,放縮是比較難掌握的一種策略,需要把握好放縮的方向和放縮的尺度,常見的放縮由切線放縮、割線放縮、曲線放縮、取點放縮、均值或柯西不等式放縮等等.