一道函數(shù)不等式引發(fā)的指對數(shù)跨階變形的思考

潘小峰　唐鵬

不等式恒成立問題一直為高考熱點，尤其是指數(shù)和對數(shù)相交叉的隱零點問題，本文主要介紹通過指對數(shù)跨階變形可將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換為兩個簡單的函數(shù)復(fù)合，再運用指對數(shù)的常見不等式情形有助于解決不可分參恒成立問題.

原題 已知函數(shù)f（x）=x+alnx（a∈R）.

分析：第（1）問略.第（2）小問通過切線方程可解得a=b=1，原題等價于證明xex≥lnx+nx+1對x>0恒成立，只需在③式中令p=q=1，m=0，x0=0即可得n=1，進一步分析只需回代驗證n≤1使得原式成立即可.

用切線去放縮證明不等式，主要是因為指對數(shù)的凹凸性不一致，如圖5所示，指數(shù)型圖象為下凸，對數(shù)型圖象為上凸，直線l可以夾在兩圖象的中間，但是如果不等號兩邊圖象凹凸性一致，則不能用直線整體放縮，只能局部放縮，或者用其它方法來處理.

指對數(shù)跨階變形可以將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為兩個簡單的函數(shù)復(fù)合，通過整體代換，可以簡化證明不等式，熟練掌握幾個常見的指對數(shù)不等式有利于問題的解決，在日常教學(xué)中應(yīng)注重滲透和引導(dǎo)，讓學(xué)生對指對數(shù)跨階變形的概念形成過程，概念的特征，以及使用條件的合理性和必要性有深層的認知，讓學(xué)生經(jīng)歷由熟知到真知的深度學(xué)習(xí)過程，這樣有利于學(xué)生對指對數(shù)跨階變形的掌握和靈活運用.

參考文獻

［1］杜啟達，李如密.教師要學(xué)會“藏”的藝術(shù)［J］.福建教育，2022（05）：64.

［2］潘小峰，聶振榮.去外衣看本質(zhì)初探切線放縮［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2022（03）：17-18.

本文系基金項目：江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2021年度“基于現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新研究”立項課題（編號2021-R-94387）階段性研究成果.