抓住數(shù)式通性學(xué)透二次根式

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二次根式屬于初中“數(shù)與代數(shù)”板塊中“式”的研究范疇，是在學(xué)習(xí)了整式與分式等有理式基礎(chǔ)上對“式”的繼續(xù)研究。在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的過程中，我們已經(jīng)具備了“數(shù)”學(xué)習(xí)和“有理式”學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。因此，借助這些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，抓住數(shù)式通性，我們就可以學(xué)透這章的內(nèi)容。

一、了解二次根式的知識來源

關(guān)于“式”的研究，始于蘇科版數(shù)學(xué)教材七（上）第3章“代數(shù)式”。在介紹了“字母代替數(shù)”形成代數(shù)式之后，我們分別學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，其中單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。我們八（下）學(xué)習(xí)了分式，把整式與分式統(tǒng)稱為有理式。二次根式是一類新的代數(shù)式，今后我們會(huì)知道，這類代數(shù)式屬于無理式中的一種。初中階段我們主要學(xué)習(xí)的代數(shù)式就是有理式與無理式（二次根式）。由上面的知識發(fā)展路徑，就可以得到二次根式的知識來源圖（如圖1）。

二、理解數(shù)式通性的主要體現(xiàn)

“數(shù)”與“式”是初中代數(shù)中的兩大內(nèi)容，我們是以交叉螺旋上升的方式學(xué)習(xí)的。其中，具體的數(shù)是特殊的，抽象的式是一般的，用字母表示數(shù)，就是從特殊走向一般。在數(shù)的學(xué)習(xí)上，我們是按照每類數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算的順序?qū)W習(xí)的，先是進(jìn)行了數(shù)系擴(kuò)充，引進(jìn)負(fù)數(shù)概念得到有理數(shù)；再把整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，在有理數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了無理數(shù)，把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，初中階段數(shù)的學(xué)習(xí)就限于實(shí)數(shù)范圍。在數(shù)系擴(kuò)充的同時(shí)，我們分別研究了每類數(shù)的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行各類數(shù)的運(yùn)算。由上面二次根式的知識來源比較，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)與式的發(fā)展路徑是完全一致的，式的學(xué)習(xí)也是按照每類式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算展開的，這是數(shù)式通性的外在體現(xiàn)，如圖2。

下面，再舉一個(gè)簡單的例子來看內(nèi)在體現(xiàn)，如“計(jì)算3x+2x”這樣的整式的加（減），就是合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加（減），字母和字母的指數(shù)不變，即3x+2x=（3+2）x=5x。我們發(fā)現(xiàn)，原來是式的加（減）運(yùn)算，結(jié)果變成了數(shù)的加（減）運(yùn)算。所以，從本質(zhì)上來講，所有的式的運(yùn)算最后都轉(zhuǎn)化成了數(shù)的運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算也是如此。

三、掌握二次根式的核心內(nèi)容

本章主要研究二次根式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算三個(gè)部分。先說定義，一般地，式子[a]（a≥0）叫作二次根式。對式子[a]（a≥0），你是不是感覺很熟悉？我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，反之，對一個(gè)數(shù)進(jìn)行開方時(shí)，負(fù)數(shù)沒有平方根。如果x2=a，那么把±[a]叫作a的平方根，其中[a]（a≥0）叫作a的算術(shù)平方根。原來，[a]（a≥0）從數(shù)的角度看是算術(shù)平方根，從式的角度看就是二次根式。因此，我們可以從數(shù)與式兩個(gè)不同的視角認(rèn)識[a]（a≥0）。

再說二次根式的性質(zhì)。既然二次根式[a]也是a的算術(shù)平方根，所以，首先有“a≥0和[a]≥0的雙重非負(fù)性”；其次，由于算術(shù)平方根有“[a2]=|a|”及“（[a]）2=a（a≥0）”兩個(gè)性質(zhì)，所以二次根式也具有這兩個(gè)性質(zhì)。

最后說一下二次根式的運(yùn)算，無論是數(shù)的運(yùn)算，還是式的運(yùn)算，首先我們要明白算法，即要知道怎么算，一般是根據(jù)運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行；其次要明白算理，即為什么要這樣算，是算法的道理性、合理性；最后是形成算能，即在算對的基礎(chǔ)上算快和算優(yōu)，這就是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，它是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須達(dá)成的關(guān)鍵能力。二次根式要進(jìn)行加減乘除乘方運(yùn)算，由上面的數(shù)式通性可知，只要利用每一個(gè)運(yùn)算的法則，就可以轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的數(shù)的運(yùn)算。在運(yùn)算過程中，同學(xué)們一定要抓住“式子的結(jié)構(gòu)”，才能快速提高自己的運(yùn)算能力。需要特別說明的是，數(shù)的運(yùn)算都是按照“先加減，后乘除，最后乘方、開方”的次序?qū)W習(xí)，有理式的運(yùn)算也是如此，但無理式中的二次根式卻是按照“先乘除，后加減”的次序?qū)W習(xí)，這是因?yàn)槎胃街挥邢然勺詈喍胃街?，才能進(jìn)行合并同類二次根式的加減運(yùn)算，所以，二次根式是先學(xué)習(xí)乘除法，再學(xué)習(xí)加減法。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）