高等數(shù)學(xué)重積分計算中的技巧探究

孫曉玲 杜建偉 王鵬 李有文

摘?要：重積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重要內(nèi)容，但由于其對學(xué)生的空間想象能力要求較高，同時計算方法又很靈活，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度較大，學(xué)習(xí)效果常常不太理想。本文主要總結(jié)了重積分計算中的一些常用技巧（如：奇偶對稱性、輪換對稱性）以及MATLAB軟件中的繪圖命令，并列舉了一些典型例題，希望可以幫助學(xué)生更好地掌握重積分的計算。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；重積分；奇偶對稱性；輪換對稱性

重積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，它對學(xué)生的空間想象能力要求較高，同時計算也比較復(fù)雜，很多學(xué)生因為空間想象能力差或計算功底不夠扎實而導(dǎo)致無法下手。重積分的解題步驟一般分為兩步：（1）根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的坐標(biāo)系；（2）確定積分次序，在選定的坐標(biāo)系下將重積分化為累次積分進(jìn)行計算［12］。坐標(biāo)系的選擇和積分次序的確定主要遵循計算方便、簡潔的原則，如果存在錯誤可能將無法進(jìn)行計算，因此是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。

為了使重積分的計算變得盡可能簡單，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，在重積分的計算中我們常常會使用一些技巧，如：奇偶對稱性、輪換對稱性等。通過對稱性的使用可以使積分區(qū)域變得簡單，從而有效降低對學(xué)生空間想象能力的要求，同時也可以簡化計算，達(dá)到事半功倍的效果。但是在高等數(shù)學(xué)的課本中往往并未直接給出這些對稱性的結(jié)論和使用方法，需要學(xué)生自己進(jìn)行觀察和總結(jié)，為了更好地幫助學(xué)生進(jìn)行重積分的學(xué)習(xí)，本文通過一些具體的例子給出了奇偶對稱性、輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用。

另外，本文還介紹了一些MATLAB軟件中繪制三維圖形的命令，希望能通過數(shù)學(xué)軟件的靈活運(yùn)用幫助學(xué)生提高空間想象能力，進(jìn)而解決重積分的計算問題。

1?奇偶對稱性在重積分計算中的應(yīng)用

與定積分的奇偶對稱性類似，在二重積分、三重積分的計算中我們?nèi)匀豢梢允褂闷媾紝ΨQ性來簡化計算，具體使用方法如下：

1.1?二重積分計算

計算二重積分時，如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，那么：

（1）當(dāng)f（－x，y）=－f（x，y）時（此時稱函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量x為奇函數(shù)），有I=Df（x，y）dxdy=0。

（2）當(dāng)f（－x，y）=f（x，y）時（此時稱函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量x為偶函數(shù)），有I=Df（x，y）dxdy=2D1f（x，y）dxdy（其中D1為D的x0部分）。

計算二重積分時，如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，那么：

（1）當(dāng)f（x，－y）=－f（x，y）時（此時稱函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量y為奇函數(shù)），有I=Df（x，y）dxdy=0。

（2）當(dāng)f（x，－y）=f（x，y）時（此時稱函數(shù)f（x，y）關(guān)于變量y為偶函數(shù)），有I=Df（x，y）dxdy=2D2f（x，y）dxdy（其中D2為D的y0部分）。

1.2?三重積分計算

計算三重積分時，當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于xoy（或yoz，或zox）坐標(biāo)面對稱，被積函數(shù)f（x，y，z）關(guān)于變量z（或x，或y）為奇偶函數(shù)時，也有與二重積分類似的奇偶對稱性結(jié)論［3］。

利用奇偶對稱性可以簡化重積分的計算，但是在使用此技巧時，需要同時考慮被積函數(shù)f（x，y）和積分區(qū)域D，即兩者的對稱性要相匹配。

下面，我們列舉幾個利用奇偶對稱性進(jìn)行計算的例子：

例1：計算I=D（|x|+yex2）?dxdy，其中D是由曲線|x|+|y|=1所圍成。

解：本題的難點(diǎn)是被積函數(shù)含有絕對值函數(shù)，因此關(guān)鍵是設(shè)法去掉絕對值符號。去掉絕對值符號的常用方法有兩種：一種方法是把積分區(qū)域分割成若干個子區(qū)域，使被積函數(shù)在子區(qū)域上不變號；另一種方法是利用奇偶對稱性。兩種方法相比，顯然后者更為簡單。

因為積分區(qū)域D關(guān)于x軸，y軸都對稱，而被積函數(shù)x關(guān)于變量y，變量x均為偶函數(shù)。所以Dx?dxdy=4D1x?dxdy（D1為D在第一象限的部分）。

而被積函數(shù)yex2關(guān)于y是奇函數(shù)，所以Dyex2?dxdy=0。故I=Dx?dxdy+Dyex2dxdy=4D1x?dxdy+0=4∫10dx∫1－x0x?dy=4∫10x（1－x）dx=23。

例2：計算I=Ωz（1+x+y）dxdydz，其中Ω是由曲面z=x2+y2及z=2－x2－y2所圍成的閉區(qū)域。

解：本題的積分區(qū)域Ω適合用柱坐標(biāo)進(jìn)行計算，但此時被積函數(shù)較為復(fù)雜。通過觀察發(fā)現(xiàn)Ω關(guān)于yoz坐標(biāo)面對稱，而被積函數(shù)zx關(guān)于x是奇函數(shù)，所以Ωzxdxdydz=0。

同時，Ω關(guān)于zox坐標(biāo)面對稱，而被積函數(shù)zy關(guān)于y是奇函數(shù)，所以Ωzydxdydz=0。

故原式=Ωzdxdydz

=∫2π0dθ∫10ρdρ∫2－ρ2ρ2zdz

=2π∫10ρz222－ρ2ρ2dρ

=π∫10ρ（2－ρ2－ρ4）dρ

=712π。

例3：計算I=Ω|x2+y2+z2－1|dv，其中Ω由圓錐面z=x2+y2與平面z=1所圍成。

解：由于被積函數(shù)含x2+y2+z2且圓錐面z=x2+y2為球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面φ=π4，故宜用球面坐標(biāo)系計算此三重積分。計算時應(yīng)先去掉被積函數(shù)中的絕對值記號。記Ω1為Ω中x2+y2+z21的部分，即Ω中位于球面x2+y2+z2=1以外的部分；Ω2=ΩΩ1，則Ω1，Ω2可分別用不等式組表示為：

Ω1：1

2π

于是，

I=Ω|x2+y2+z2－1|dv

=Ω1（x2+y2+z2－1）dv+Ω2（1－x2+y2+z2）dv

=∫2π0dθ∫π40dφ∫1cosφ1（r－1）r2sinφdr+∫2π0dθ∫π40dφ∫10（r－1）r2sinφdr

=π6（322－2）+π6（1－22）

=π6（2－1）。

注意：計算三重積分時常用直角坐標(biāo)系，但有時為了便于確定積分上下限，需要采用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)，選擇坐標(biāo)系的一般方法是：

（1）當(dāng)積分區(qū)域Ω的側(cè)面由圓柱面所圍成，或當(dāng)Ω在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為圓域x2+y2

a2，且被積函數(shù)中含x2+y2、yx這樣的式子時，可考慮用柱面坐標(biāo)；

（2）當(dāng)積分區(qū)域Ω的邊界由球面、圓錐面等圍成，且被積函數(shù)中含有x2+y2+z2、x2+y2這樣的式子時，可考慮用球面坐標(biāo)；

（3）當(dāng)“便于定限”與“便于積分”二者無法兼顧時，應(yīng)首先考慮便于積分。

總之，通過以上幾道例題可以看出，使用奇偶對稱性可以有效簡化積分區(qū)域和被積函數(shù)，使本身非常復(fù)雜、甚至常規(guī)方法無法計算的問題變得簡單、易于上手，可以有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

2?輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用

輪換對稱性也是重積分計算中的一種常用方法，它的使用規(guī)則比較靈活，一般來說，如果表示積分區(qū)域的方程在輪換x→y，y→z，z→x下方程表達(dá)式不變，則被積函數(shù)中相應(yīng)變量對調(diào)后積分值不變，即可以考慮使用輪換對稱性去化簡計算［3］。

例4：設(shè)Ω：x2+y2+z2

1（x0，y0，z0），計算Ωx2?dxdydz。

解：因為Ω的方程在x→y，y→z，z→x后方程表達(dá)式不變，由輪換對稱性可知Ωx2?dxdydz=Ωy2?dxdydz=Ωz2?dxdydz。

所以Ωx2?dxdydz=13Ω（x2+y2+z2）?dxdydz

=13∫π20dθ∫π20dφ∫10r2·r2sinφdr

=13·π2·1·15?=π30。

顯然，此題利用輪換對稱性可使被積函數(shù)變得簡單，可以有效簡化計算。

3?MATLAB軟件在重積分計算中的應(yīng)用

畫出積分區(qū)域的圖形是重積分計算的第一步，只有圖形確定了才能根據(jù)它的形狀選擇合適的坐標(biāo)系，進(jìn)而確定積分限進(jìn)行計算。但是很多學(xué)生因為空間想象能力比較差，常常在第一步——畫圖環(huán)節(jié)就被卡住了，導(dǎo)致學(xué)習(xí)到的一些積分計算技巧也無法施展。為了幫助這部分同學(xué)，下面我們介紹一些關(guān)于MATLAB軟件的知識。

（1）設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y），繪制其三維曲面圖的MATLAB命令調(diào)用格式為：

［x，y］=meshgrid（v1，v2）；

z=....；（寫出函數(shù)的表達(dá)式）

surf（x，y，z）

其中，v1，v2是x軸和y軸的分隔方式［45］。

（2）設(shè)空間曲面的參數(shù)方程：x=x（u，v）

y=y（u，v）

z=z（u，v）（a

ezsurf（'x（u，v）'，'y（u，v）'，'z（u，v）'，［a，b，c，d］）［6］。

例5：畫出雙曲拋物面z=－x24+y29的圖形。

輸入命令：

［x，y］=meshgrid（10：10）；

z=x.^2/4+y.^2/9；

surf（x，y，z）

運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。

例6：畫出雙葉雙曲面x216－y225+z29=－1的圖形。

雙葉雙曲面x216－y225+z29=－1的參數(shù)方程為：

x=4tanusinv

y=5secu

z=3tanucosv（02π）。

輸入命令：

ezsurf（'4*abs（tan（u））.*sin（v）'，'5*sec（u）'，'3*abs（tan（u））*cos（v）'，［0，pi，0，2*pi］）

axis（［40?4040?4025?30］）

運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

4?總結(jié)

奇偶對稱性和輪換對稱性是重積分計算中非常好用、非常有效的計算方法。在課堂教學(xué)中，我們要在“適度、夠用”原則的基礎(chǔ)上，不斷更新教學(xué)理念，合理創(chuàng)新教學(xué)方法，調(diào)整教學(xué)思路，在講授書本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，適當(dāng)補(bǔ)充對稱性的相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生建立正確的解題思路。同時，也要開設(shè)基于MATLAB軟件的高等數(shù)學(xué)實驗課程，加強(qiáng)實踐教學(xué)、信息化教學(xué)。通過數(shù)學(xué)軟件的靈活使用，全面提高學(xué)生的空間想象能力和使用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，讓學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)的實用性，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動學(xué)習(xí)，并養(yǎng)成使用數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)：

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［5］艾冬梅，李艷晴，張麗靜，等.MATLAB與數(shù)學(xué)實驗第2版［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.

［6］何正風(fēng).Matlab在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用［M］.清華大學(xué)出版社，2012.

項目資助：山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項目（J2021?377、J2021385、J2021394、J20220617、J20220596、J20220588、J20230795）；中北大學(xué)本科教育教學(xué)改革項目（202170、2021123）

作者簡介：孫曉玲（1981—?），女，山西大同人，博士，中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，研究方向：圖論及其應(yīng)用。