數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂的實踐與思考

【摘 要】 ?《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》從課程性質(zhì)、課程內(nèi)容、教學(xué)建議等多個方面對數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入做出了重點要求.以“三角恒等變換”第一課時的教學(xué)為例，闡述在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的具體過程，并做必要的反思與總結(jié).

【關(guān)鍵詞】 ?三角恒等變換；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》對數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂中的融入提出如下要求：

在課程性質(zhì)方面，課程標準要求課程的實施方式必須得到優(yōu)化，重點培養(yǎng)學(xué)生在運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題方面的能力，并且特別提出數(shù)學(xué)文化在課程中的滲透，讓學(xué)生可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中體會到數(shù)學(xué)知識的文化價值、應(yīng)用價值、審美價值.

在課程內(nèi)容方面，強調(diào)教師應(yīng)當在必修、選擇性必修以及選修內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)文化，注重組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)文化的收集和閱讀活動，讓學(xué)生學(xué)會正確地解讀數(shù)學(xué)文化中的信息.

在教學(xué)建議方面，指出在數(shù)學(xué)日常教學(xué)中，教師要注重做好數(shù)學(xué)文化的滲透，從而達到拓展學(xué)生文化視野的目的，全面提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)［1］.

不難發(fā)現(xiàn)，新教材高度重視數(shù)學(xué)文化和教學(xué)內(nèi)容之間的融合，提倡將數(shù)學(xué)的最新研究成果納入到教材中，注重引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的實用性價值，從而提升教學(xué)效果.

通過上述分析，足以說明將數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性. 因此，筆者在“三角恒等變換”第一課時的教學(xué)中采取了滲透數(shù)學(xué)文化的教學(xué)手段，以供參考. 1 ??學(xué)情教材分析 “三角恒等變換”是人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修一的內(nèi)容，對于高一的學(xué)生來說，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過代數(shù)變換的知識，在本單元，學(xué)生會繼續(xù)對兩角和與差、二倍角的正弦等公式進行深入的探索.利用熟悉的知識來實現(xiàn)三角變換，有助于學(xué)生邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的有效發(fā)展.同時，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的知識，也就具備了學(xué)習(xí)這節(jié)課內(nèi)容的先決條件.但是學(xué)生的抽象概括能力還沒有獲得較好的發(fā)展，并且學(xué)習(xí)主動性也不強，需要教師進一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2 ??教學(xué)目標分析

本節(jié)課的教學(xué)，主要是通過數(shù)學(xué)文化的滲透來幫助學(xué)生串聯(lián)起知識形成的過程，從而讓學(xué)生能夠?qū)ο嚓P(guān)知識建立起結(jié)構(gòu)化的認識.具體地說，本節(jié)課要達成以下的目標：

①讓學(xué)生通過探究的方式來掌握兩角差余弦公式的基礎(chǔ)知識，并且可以使用相關(guān)的知識來解決實際問題.

②加強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，重點引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生正確應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想去解決問題.

③通過在課堂上滲透數(shù)學(xué)故事，激活學(xué)生對數(shù)學(xué)的探索興趣，讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)家的探究過程，樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標，培養(yǎng)學(xué)生堅韌不拔的意志品質(zhì). 3 ??教學(xué)環(huán)節(jié)分析

3.1 滲透文化，引入課題

我們在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中要去了解兩角差余弦公式，那么大家請想一想，我們可以怎樣使用數(shù)學(xué)符號的形式來表示出結(jié)果？

實際上，我們可以選擇任意兩個字母來代表兩個角，比方A和B，那么兩個角的差就可以表示為A－B或B-A，大家是不是就能夠順勢得出，兩角之差的余弦怎么表示了？沒錯，就是cos（A－B）.接下來，我們就是要去研究cos（A－B）還可以寫成什么！

在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前，實際上大家在初中就已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦、余弦這些基礎(chǔ)的三角函數(shù)知識了，大家當時使用的主要數(shù)學(xué)思想是什么？（學(xué)生能正確回答出數(shù)形結(jié)合思想這一答案）

實際上，三角函數(shù)是十分受數(shù)學(xué)家們青睞的一種函數(shù)，而且很久以前，數(shù)學(xué)家們就發(fā)現(xiàn)，在研究三角函數(shù)時，任一銳角對應(yīng)直角三角形三邊是成比例的，在發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律之后，數(shù)學(xué)家們便想到使用符號的方式來表達這種關(guān)系，從而讓這種關(guān)系的普遍性得到體現(xiàn)，于是我們現(xiàn)在就有了正弦、余弦的概念，并且在對這些關(guān)系的不斷深入研究中，數(shù)學(xué)家們逐漸歸納總結(jié)出了當前我們經(jīng)常使用的三角函數(shù).而數(shù)學(xué)探究是永無止境的，數(shù)學(xué)家們很快發(fā)現(xiàn)，在他們研究出了一層關(guān)系之后，后面還有更多的關(guān)系等待挖掘，于是又有人提出了質(zhì)疑，對于兩個確定的角A和B，cos（A－B）是不是確定的？

德國著名數(shù)學(xué)家黎曼有一句名言：每個數(shù)學(xué)公式背后，都有一個反映其本質(zhì)的幾何模型.圖1來自深圳中學(xué)朱華偉校長編寫的《無字證明集錦》，你發(fā)現(xiàn)了什么［2］？

設(shè)計意圖 ?首先使用簡單的問題調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且喚醒學(xué)生的已有知識經(jīng)驗.和直接告訴學(xué)生這節(jié)課要學(xué)習(xí)什么知識相比，這種形式的導(dǎo)入可以取得更好的效果.接下來，再引導(dǎo)學(xué)生去了解三角函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想和其中蘊含的數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)的發(fā)展是不斷深入的，并且讓學(xué)生自然而然地將自己的角色變換到數(shù)學(xué)家的位置上去，聯(lián)系數(shù)學(xué)家之前的探索經(jīng)歷，將“cos（A－B）是確定的”這一觀念傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生帶著驗證的態(tài)度參與到接下來的學(xué)習(xí)中去.

3.2 實踐探索，加深理解現(xiàn)在，結(jié)合A和B都是確定的這一條件，我們也產(chǎn)生了共同的想法，那就是當A和B確定時，cos（A－B）也是確定的.那么我們是否可以使用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，用兩個角的正弦值、余弦值來表示出cos（A－B）？你認為有哪些種可能？下面就請大家使用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識來進行探索吧！

（給學(xué)生留出大概十五分鐘的時間，讓學(xué)生用合作的方式來進行研究.）

老師剛才對課堂進行了觀察，發(fā)現(xiàn)全班有將近一半的學(xué)生能夠得到正確的結(jié)論，還有一部分學(xué)生遇到了困難，那就請成功得到結(jié)論的同學(xué)來幫助那些遇到困難的同學(xué)吧！

（邀請一些學(xué)生上臺來介紹自己的推導(dǎo)方法）

需要注意的是，在推導(dǎo)cos（A－B）的過程中，我們這里的角并不是任意的角，而是要根據(jù)直角三角形的實際背景，確保A是大于B的.那么對于兩個角是任意角時，大家的推導(dǎo)是否還成立，因為課堂上的時間有限，大家可以在課后進行自主的探索，之后再來幫助其他人解惑，告訴我們你的答案.

設(shè)計意圖 ?在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生找到了兩種解決問題的方法，一種是使用坐標法，在平面直角坐標系中畫出單位圓，利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，最終得到結(jié)論；另一種是利用“猜想—證明”法，可惜在使用這種方法時，很多學(xué)生都出現(xiàn)了半途而廢的情況，大多數(shù)的學(xué)生只有特殊值的驗證，沒有一般性的論證.通過給定學(xué)生充足的時間，讓學(xué)生去進行自主探索，能夠讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的成就感，有助于學(xué)生綜合素質(zhì)的提升.

3.3 挖掘文化，深化思維

其實cos（A－B）=cosAcosB+sinAsinB的證明自古以來就備受數(shù)學(xué)家的青睞.

在古代，古埃及天文學(xué)家托勒密在三角函數(shù)弦表中利用圖2給出了證明；數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中利用圖3給出了證明.

在近代，美國數(shù)學(xué)家麥克肖恩應(yīng)用三角形全等以及兩點間的距離公式進行推導(dǎo)與證明，如圖4．

不僅如此，我國著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院院士張景中先生用面積法巧妙地解決了這一問題，如圖5.該證明不僅圖形簡單，便于觀察，而且推理自然，易于接受，妙不可言［2］.

設(shè)計意圖 ?教師通過介紹古今中外數(shù)學(xué)家對公式的不同證明方法，幫助學(xué)生尋求知識的源頭，感受其發(fā)展歷程，體會知識傳播的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，無形中滲透數(shù)學(xué)史，傳播數(shù)學(xué)文化，同時增強民族自信心與自豪感.

3.4 借助文化，激勵學(xué)生

在剛剛的探究中，無論是同學(xué)們所使用的方法，還是數(shù)學(xué)家的奇思妙想，無不輕而易舉地解決了問題. 然而，數(shù)學(xué)的真實歷史卻沒有這么簡單，現(xiàn)在看似簡單的一個結(jié)論都是數(shù)學(xué)家們歷經(jīng)千辛萬苦才得到的.

我們都知道，解析幾何的創(chuàng)立者是士兵數(shù)學(xué)家笛卡爾，大家現(xiàn)在對這個名字很熟悉，知道他是一個偉大的數(shù)學(xué)家，但是你知道嗎，實際上笛卡爾在23歲的時候加入了軍隊，但是他對數(shù)學(xué)的喜愛卻沒有消失，在軍隊里面仍然堅持探索數(shù)學(xué)，在一次受傷之后，笛卡爾正躺在床上養(yǎng)傷，這個時候仍然在掛念著數(shù)學(xué)，他在思索中發(fā)現(xiàn)了窗戶上的一只蜘蛛，將這只蜘蛛和墻角聯(lián)系在了一起，由此創(chuàng)立了空間直角坐標系.這個小故事流傳到現(xiàn)在，已經(jīng)有了很多的版本，大家可以在課后查閱有關(guān)資料，了解更多關(guān)于笛卡爾的故事.

設(shè)計意圖 ?在本節(jié)課的探究活動中，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和成果不盡完美，通過這個小故事的講述，可以讓學(xué)生意識到很多事情是不會一帆風順的，即便是數(shù)學(xué)家也不例外，從而讓學(xué)生學(xué)會對事物的兩面性產(chǎn)生深刻的思考，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和忍耐力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)態(tài)度.

3.5 歸納總結(jié)，整體認知

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們學(xué)習(xí)到了什么知識？是怎樣構(gòu)建出知識的？你還有什么困惑？在課后還想去探索哪些知識？我們都使用了哪些方法來驗證這個公式？

設(shè)計意圖 ?在學(xué)生回答這些問題的過程中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對于公式的推導(dǎo)已經(jīng)有了基本的認識，可以記住公式，從而為學(xué)生后續(xù)推導(dǎo)更多公式奠定了良好的基礎(chǔ).

4 ??反思啟示分析

在這節(jié)課的教學(xué)中，我采用了對比的研究方法，即在其中一個班級的教學(xué)中講述數(shù)學(xué)文化，在另一個班級的教學(xué)中則不涉及數(shù)學(xué)文化.結(jié)果顯示，接觸到數(shù)學(xué)文化的班級的學(xué)生在課堂上表現(xiàn)出了更大的積極性，而且學(xué)生課后作業(yè)的完成情況更加理想.由此可以看出，數(shù)學(xué)文化的使用能夠有效地調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且讓學(xué)生的學(xué)習(xí)成績得到提升，使學(xué)生對學(xué)到的知識產(chǎn)生更加深刻的理解.

因此，在新課程標準的背景下，我們要對教學(xué)內(nèi)容進行精心的處理，加強對數(shù)學(xué)文化的滲透.

4.1 陳列數(shù)學(xué)歷史

數(shù)學(xué)歷史是數(shù)學(xué)文化的重要傳播載體，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史資源，可以讓學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)的獨特魅力，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識發(fā)展的全過程，體會到數(shù)學(xué)知識傳播的重要性.通過講述數(shù)學(xué)歷史，還可以增強數(shù)學(xué)教育的思想教育價值，讓學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家辛苦鉆研的精神，意識到成功的來之不易，從而讓學(xué)生去思考學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感.教師可以使用兩種方式來陳列數(shù)學(xué)歷史，一種是使用數(shù)學(xué)歷史來幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生，另外一種是借助數(shù)學(xué)歷史來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的動機.

4.2 欣賞數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)的美感具有一定的抽象性，需要教師在引導(dǎo)學(xué)生進行內(nèi)心感受的同時，使用直觀性的手段來幫助學(xué)生進行直接的感受，從而讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)的魅力.數(shù)學(xué)之美有很多的表現(xiàn)形式，包括數(shù)學(xué)圖形的對稱之美、數(shù)學(xué)語言的簡潔之美、數(shù)學(xué)表達的統(tǒng)一之美等等.教師要帶領(lǐng)學(xué)生在現(xiàn)實生活中的各個領(lǐng)域去感受數(shù)學(xué)的美，從而逐漸地改變學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥乏味的印象，讓學(xué)生帶著欣賞的態(tài)度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識.

4.3 運用數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的精華，不僅可以應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在物理、生物等學(xué)科領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用價值.因此，教師要注重加強對數(shù)學(xué)思想多維度、多方面的滲透.同時，由于數(shù)學(xué)思想是一種隱性的教育內(nèi)容，因此，教師要注重使用具體的案例將數(shù)學(xué)思想充分體現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完備的邏輯思維體系，確保學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到穩(wěn)定的提升.通過對高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進行分析，教師在教學(xué)中要重點加強數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想等思想的滲透，讓學(xué)生解決問題的能力獲得提高.

4.4 感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用

由于數(shù)學(xué)是一門工具性很強的學(xué)科，因此和其他學(xué)科之間的關(guān)系更加密切，在生活中也隨處可見，故而在生活中處處彰顯數(shù)學(xué)文化.比如在學(xué)習(xí)勾股定理時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用到工程建筑方面，還可以在教學(xué)中向?qū)W生介紹黃金分割在雕塑、繪畫中的應(yīng)用等等，從而讓學(xué)生的視野得到拓展，獲得綜合實踐能力上的提升.

5 ??結(jié)束語 誠然，數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂絕非一朝一夕之事，依靠個人力量更是難以實現(xiàn)，這就需要我們廣大教育工作者在思想上保持高度統(tǒng)一，認識到數(shù)學(xué)文化對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用與意義；同時在行動上，主動收集教學(xué)中所能夠涉及的數(shù)學(xué)文化知識，明確數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中滲透的形式與方法，做到在課堂教學(xué)中有意識、有目的、有策略地滲透數(shù)學(xué)文化，力爭課課有數(shù)學(xué)文化，人人講數(shù)學(xué)文化.

參考文獻

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?劉正章.追溯數(shù)學(xué)文化氣息 提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)——基于“兩角差的余弦公式”的教材分析與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（09）：1-5.

作者簡介 ?魯賢龍（1988—） ，男，本科，安徽當涂人，中學(xué)一級教師；全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽“優(yōu)秀教練員”、安徽省“高考優(yōu)秀評卷教師”、安徽省優(yōu)質(zhì)課評選團體賽一等獎、蕪湖市優(yōu)質(zhì)課評選一等獎、蕪湖市“教壇新星”、無為市優(yōu)秀共青團干部；主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)與試題分析；發(fā)表論文多篇.