一類二次非線性遞推數(shù)列的通項公式和上下界估計

廣東省深圳中學(xué) 阮 禾

1 問題起源

上述引例是復(fù)習(xí)數(shù)列時,學(xué)生問筆者的一道題．這是一類比較特殊的數(shù)列.事實上,題目中的常數(shù)項-2是解題的難點,因此本題的突破點在于如何把-2消解掉．

我們考慮如下代換:

通過驗證可知上述an是滿足題目的一個解,又根據(jù)原數(shù)列的遞推公式可知該數(shù)列有且僅有一個解,因此上述解即為滿足題目的全部解．

2 主要結(jié)果

在前述引例的基礎(chǔ)上,筆者進(jìn)行了推廣,得到如下定理:

①

下面對p進(jìn)行分類討論.

情形三,p<0．

由此迭代,得到

=……

mn+1=2nlns-tn+1.

于是

yn+1=emn+1=s2ne-tn+1．

②

3 應(yīng)用

證明：這是情形三中p=-1,y1=1的情況,利用情形三中的公式,可得

利用mathematica符號計算軟件計算數(shù)值s約為s=1.502 836 801 049 756 499 75……

4 解題心得