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    聚焦數(shù)學(xué)建模 釋放學(xué)習(xí)活力

    2023-07-28 09:18:28王金水
    關(guān)鍵詞:最值問題數(shù)學(xué)建模

    [摘? 要] 以學(xué)生發(fā)展為本,以建構(gòu)線段法求最值活動(dòng)為載體,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)工具歸納出純關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想,深諳數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)內(nèi)涵,養(yǎng)成建模習(xí)慣,形成創(chuàng)造性思維,釋放學(xué)習(xí)潛力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.

    [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;線段法;最值問題

    基金項(xiàng)目:福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度教改專項(xiàng)課題“基于教、學(xué)、評(píng)一致性的中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐研究”(Fjjgzx21-221).

    作者簡介:王金水(1970—),中學(xué)高級(jí)教師,廈門市專家型教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)研究工作.

    在減負(fù)增效、提倡個(gè)性、著重實(shí)用的今天,數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、數(shù)學(xué)建模能力越來越受到重視. 數(shù)學(xué)建模將某一復(fù)雜的實(shí)際問題,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法描述、抽象、簡化,建立數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系,形成結(jié)構(gòu)模型,在模型求解中不斷反復(fù)驗(yàn)證完善,從而解決該類問題.

    數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)就是以問題意識(shí)為引領(lǐng),滲透模型思想,將數(shù)學(xué)生活化,學(xué)生在建模中逐漸學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題,提出解決方案,形成創(chuàng)造性思維,養(yǎng)成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展,提高綜合能力. 數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)之間的橋梁,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)互通,促進(jìn)理論與實(shí)踐相結(jié)合,是充滿個(gè)體“思維構(gòu)造”的創(chuàng)造性活動(dòng). 因此,數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)技術(shù)、一種思想方法、一種數(shù)學(xué)工具,也是一種實(shí)踐過程、一種創(chuàng)造思維. 其教學(xué)流程大致如圖1所示.

    建模需要對(duì)所需要解決的實(shí)際問題進(jìn)行刻畫,而實(shí)際問題往往因素眾多、錯(cuò)綜復(fù)雜. 因此教學(xué)時(shí),教師先要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼睛觀察并認(rèn)識(shí)實(shí)際問題情境,抓住現(xiàn)實(shí)問題的基本實(shí)質(zhì),根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律,抽象概括成簡潔的數(shù)學(xué)問題,發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力;然后用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和相關(guān)知識(shí),用數(shù)學(xué)語言和方法,分析與描述各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系[1],進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型尋求解法,再進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證,發(fā)展學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī). 建模過程不可能一蹴而就,要經(jīng)過多次思考、檢驗(yàn),完善數(shù)學(xué)模型,以強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí),增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果、科學(xué)精神.

    因此,大力開展數(shù)學(xué)建模教學(xué),已成為課堂變革的突破口和生長點(diǎn). 怎樣把數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué),怎樣依據(jù)某種規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型,怎樣利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題,實(shí)現(xiàn)從一道題到一類題的飛躍,從而提升學(xué)生的思維能力與實(shí)踐能力[2],是目前數(shù)學(xué)建模的研究主題. 筆者結(jié)合最值問題的探索,嘗試?yán)镁€段法建構(gòu)一種純關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),以期實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在課堂教學(xué)中落地生根,最終釋放學(xué)生的學(xué)習(xí)活力.

    建構(gòu)數(shù)學(xué)模型釋放學(xué)習(xí)潛能

    模型一:動(dòng)點(diǎn)在直線上的最值問題

    問題1? (“將軍飲馬”問題):白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河. 將軍在如圖2所示的點(diǎn)A處,現(xiàn)在他要牽馬去河邊飲水,之后返回軍營的點(diǎn)B處,將軍怎么走能使路程最短?

    實(shí)際問題是建模的開端. 從“現(xiàn)實(shí)情境”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)模型”,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述模型,初步運(yùn)用建模思想去審視、分析,進(jìn)而解決實(shí)際問題.

    生1:如圖3所示,上述問題可抽象為:點(diǎn)A與點(diǎn)B是河岸NM同側(cè)的兩定點(diǎn),在河岸NM上找一動(dòng)點(diǎn)P,使PB+PA的值最小.

    生2:利用軸對(duì)稱性質(zhì),根據(jù)線段法,作A點(diǎn)關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB交NM于點(diǎn)P,線段AB的長即為PB+PA的最小值.

    生3:也可以作B點(diǎn)關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB交NM于點(diǎn)P,線段AB的長即為PB+PA的最小值.

    兩種解法都是線段法,通過簡化或結(jié)構(gòu)化現(xiàn)實(shí)情境,不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)回歸到現(xiàn)實(shí)世界,解釋現(xiàn)實(shí)問題,也實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)化.

    問題2? 如圖4所示,若A點(diǎn)在NM上,其他條件不變,此時(shí)PB+PA的最小值又如何?

    生4:將軍在河岸NM上,牽馬飲水后直接回軍營,線段AB的長即為所求的最小值.

    生5:借鑒問題1,其實(shí)點(diǎn)A關(guān)于直線NM的對(duì)稱點(diǎn)就是它本身,此時(shí)P點(diǎn)即為A點(diǎn).

    讓學(xué)生多點(diǎn)“奇思怪想”,在分享彼此的想法和思路時(shí),提升感悟關(guān)鍵信息的能力,創(chuàng)造一種積極思考、勇于探索的寬松氣氛.

    問題3? 如圖5所示,若將軍在A處牽馬飲水后,沿河岸NM走了一段路程AP,再沿著PB回到軍營B,則P在NM何處能使PB+PA的值最???

    此問題承上啟下,引導(dǎo)學(xué)生樹立繼續(xù)建模的信心.

    生6:把PA轉(zhuǎn)換成另一條新的線段是解決此問題的關(guān)鍵.

    利用線段法建構(gòu)一種純關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是解決這一問題的關(guān)鍵.

    生7:借助三角函數(shù),我聯(lián)想到了sin30°=.

    生8:如圖5所示,根據(jù)sin30°=,作∠MAK=30°,再作PD⊥AK于D,則PD恒為PA.

    生(眾):由圖5可知,當(dāng)BC⊥AK于C時(shí),PB+PD≥BC,故當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在Q點(diǎn)的位置時(shí),PB+PA的最小值即為BC的長.

    生9:可以發(fā)現(xiàn),只要題目改成PB+PA(n>1)的模型,解決策略都與生8的類似,即構(gòu)造sin∠MAK=.

    生10:此問題可歸納成在一線上找一動(dòng)點(diǎn)P到線外一定點(diǎn)B的距離與線上另一定點(diǎn)A的距離的之和最小的問題.

    生11:這種模型的解決策略就是把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題,再運(yùn)用線段法求最值.

    學(xué)生經(jīng)過充分思考、討論、嘗試,最終用一個(gè)符號(hào)系統(tǒng)去表征原型,發(fā)展了處理信息及歸納思維的能力. 在模型求解中,形成了一套關(guān)于數(shù)學(xué)的描述,促使學(xué)生高水平的智力參與,提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[3].

    提升建模素養(yǎng)不僅需要反思和交流,也需要問題和情境. 當(dāng)然,還需要檢驗(yàn)、修正與完善.

    問題4? (應(yīng)用)如圖6所示,已知一次函數(shù)y=kx-2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-2,0),與y軸相交于點(diǎn)B,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m). 求PA+PB的最小值.

    明確建模方向,應(yīng)用模型思想,構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

    生12:本題符合PB+PA(n>1)的模型,根據(jù)其解決策略,把·PA+PB轉(zhuǎn)化成

    PA+PB,只要求出PA+PB的最值即可.

    生13:建構(gòu)線段法求最值的模型,我聯(lián)想到了sin45°=.

    生14:如圖7所示,作∠OBC=45°,再作AH⊥BC于H,與y軸相交于點(diǎn)P. 線段AH的長即為PA+PB的最小值.

    生15:△AOP與△BHP均是等腰直角三角形,由AO=2,OB=2,可得AP=2,PB=2-2,PH=,此時(shí)PA+PB=·

    PA+PB=AH=·(AP+PH)=×[2+×(2-2)]=2+2.

    生16:還可以由BH=,AB=4,AH⊥BC,以及勾股定理得AH=+. 所以PA+PB=AH=2+2.

    反復(fù)建模檢驗(yàn),促使學(xué)生有意識(shí)地從不同的角度思考優(yōu)化解決辦法,以提高解模的能力.

    生17:能不能直接把PA轉(zhuǎn)化成其他線段?

    這又是一個(gè)思路,轉(zhuǎn)化PA的問題再次喚醒了學(xué)生的思考動(dòng)機(jī).

    生18:由等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍,可把PA當(dāng)成等腰直角三角形的斜邊.

    生19:如圖8所示,作CA⊥AP,取CA=PA,連接PC,則△PAC為等腰直角三角形,有PC=PA. 此時(shí),問題轉(zhuǎn)化成求PC+PB的最小值.

    生20:作CQ⊥y軸,垂足為Q. 根據(jù)PC+PB≥BQ,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合時(shí),線段BQ的長即為PA+PB的最小值,此時(shí)△PAQ為等腰直角三角形,OP=OQ=OA=2,所以PA+PB的最小值為BQ=OQ+OB=2+2.

    此解決方法之巧,主要是建立了一個(gè)結(jié)構(gòu)模型,用了一個(gè)簡潔的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)替代原型,體現(xiàn)了創(chuàng)造性思維. 事實(shí)上,數(shù)學(xué)建模是揭示事物內(nèi)在的運(yùn)行方式,數(shù)學(xué)建模能力影響著問題解決的成效.

    模型二:與曲線有關(guān)的最值問題

    問題5? (動(dòng)點(diǎn)在曲線上的模型)如圖9所示,已知☉O的半徑為6,OB=9,定點(diǎn)A在☉O外且不在OB上,在☉O上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.

    提供多層次的數(shù)學(xué)背景,創(chuàng)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在曲線上的問題情境,多層次尋求建模點(diǎn)和方向. 此問題充滿了挑戰(zhàn)和創(chuàng)造性,足以讓學(xué)生重新思考已建立的數(shù)學(xué)模型.

    生21:發(fā)現(xiàn)本題的動(dòng)點(diǎn)在曲線(圓)上而非某一直線上.

    生22:圓周也可以看作“將軍飲馬”問題中的“河岸”,此時(shí)A,B兩點(diǎn)在“河岸”的同側(cè),需要把這兩點(diǎn)的位置轉(zhuǎn)移到“河岸”的異側(cè). 由于B點(diǎn)的位置比A點(diǎn)更具體,因此把定點(diǎn)B的位置轉(zhuǎn)移到圓內(nèi)某一定點(diǎn)即可.

    生23:OB所在直線過圓心O,定點(diǎn)B在圓內(nèi)的“對(duì)稱點(diǎn)”必在OB上.

    生24:發(fā)現(xiàn)△POB中的OP與OB之比恒為定值,可借助三角形相似轉(zhuǎn)化PB,從而在OB上找到B的“對(duì)稱點(diǎn)”.

    生(眾):B關(guān)于圓的“對(duì)稱點(diǎn)”在哪里?

    學(xué)生不經(jīng)意的一句話,道出了解決本題的核心與關(guān)鍵.

    生25:利用子母型相似模型,在△POB內(nèi)部,以∠POB為公共角,構(gòu)造一個(gè)△COP,使之與△POB相似. 如圖9所示,在OB上取OC=4,則=. 連接PC,則△BOP∽△POC,得==,所以PC=PB. 因?yàn)锳P+PC≥AC,即線段AC的長為PA+PB的最小值.

    生26:此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的位置,即為AC與☉O的交點(diǎn)Q的位置.

    生27:本題的關(guān)鍵是什么?

    生28:確定C點(diǎn)的位置.

    生29:除了要求C點(diǎn)必須在線段OB上(圓內(nèi))的位置外,還有什么數(shù)量要求?

    生30:必須滿足=,即OP 2=OC·OB. 若☉O的半徑為r,則OC=.

    ……

    通過與學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、模型相結(jié)合,化曲為“直”,為學(xué)生開辟了一道建模素養(yǎng)發(fā)展的途徑. 在重新構(gòu)建模型的過程中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、團(tuán)結(jié)協(xié)作、實(shí)踐創(chuàng)新,形成一套關(guān)于解決問題的程序.

    問題6? (動(dòng)點(diǎn)在直線上的模型)如圖10所示,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,☉O經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在線段AE上,設(shè)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接OD,當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí),求☉O的直徑AB的長.

    尋求建立恰當(dāng)模型的方法和過程就是建模思想落地生根的過程.

    生31:由于動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng),聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn)在直線上的模型,作CF∥AB,則∠ACF=30°. 如圖10所示,作DG⊥FC,把CD轉(zhuǎn)化為DG;作OH⊥FC,則CD+OD的最小值即為OH的長. 根據(jù)題意有OH=6,又∠OCH=60°,則OC=2,則AB=4.

    一針見血地指出問題要點(diǎn),這就是實(shí)踐價(jià)值,學(xué)生紛紛指出,動(dòng)點(diǎn)在曲線上的最值問題,得先構(gòu)造三角形相似,然后轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段,再通過線段法去解決.

    問題7? (動(dòng)點(diǎn)在曲線上的模型)如圖11所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作☉B(tài)與AC相切,P為☉B(tài)上任意一點(diǎn),求PA+PC的最小值.

    再次為學(xué)生創(chuàng)造建模素養(yǎng)發(fā)展的機(jī)會(huì),使學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)建模的意圖,以提升其應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí).

    生32:動(dòng)點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動(dòng),聯(lián)想到前面的模型,在BC上取點(diǎn)D,構(gòu)造三角形相似,轉(zhuǎn)化PC. 如圖12所示,易求☉B(tài)的半徑為,在BC上取BD=1,連接AD,BP,PC,則△BPD∽△BCP,得PC=PD. 所以PA+PC的最小值為AD的長,即.

    在線型與非線型問題的背景下建構(gòu)線段法求最值的活動(dòng),采用原型啟發(fā)和醞釀的方式,給學(xué)生提供建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會(huì),在建模思想的滲透、啟迪、運(yùn)用下完成知識(shí)、思維、能力三者統(tǒng)一,實(shí)現(xiàn)充滿智慧能力和高格調(diào)的課堂轉(zhuǎn)型.

    建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)課堂變革

    建模是一種綜合性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),能改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣,建立良好正確的數(shù)學(xué)觀,養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式與方法,進(jìn)而鍛煉學(xué)生的思維,開發(fā)學(xué)生的智力,發(fā)展學(xué)生的個(gè)性,培養(yǎng)學(xué)生的特長. 因此,數(shù)學(xué)建模具有重要的育人價(jià)值,是實(shí)現(xiàn)課堂變革的一個(gè)突破口. 在教學(xué)中,教師應(yīng)聚力課堂變革的關(guān)鍵問題與方向,潛心于課堂創(chuàng)造與學(xué)習(xí)變革,以建模的視角去思考課堂的本質(zhì),點(diǎn)燃學(xué)生個(gè)體創(chuàng)造潛能的“火種”. 具體而言:

    首先,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí). 建模是不斷迭代學(xué)習(xí)的過程,要精擬建模問題,營造良好的建模氛圍,鼓勵(lì)學(xué)生大膽建模,逐步滲透建模策略,使學(xué)生在“發(fā)現(xiàn)→歸納→總結(jié)→解決”問題中,逐步將情境結(jié)構(gòu)化,將問題數(shù)學(xué)化,并通過多次循環(huán)執(zhí)行,多角度、多渠道、多觀點(diǎn)、多層次尋求解決策略,以完善模型的理解與應(yīng)用,進(jìn)而找出模型結(jié)構(gòu),形成成套鏈條.

    其次,重視數(shù)學(xué)建模思想的滲透. 教師要加強(qiáng)建模課程的鉆研,把滲透數(shù)學(xué)建模思想作為首要任務(wù),從數(shù)學(xué)的角度聚焦建模方法,講授解模思想,總結(jié)模型特征,提出有指導(dǎo)性的策略,帶動(dòng)學(xué)生能用新的模型來模擬原來的模型[3],進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

    再次,著重模型的實(shí)踐與應(yīng)用. 數(shù)學(xué)建模是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界[4],關(guān)系著能否用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,能否解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題,能否用數(shù)學(xué)思維思考世界,能否喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 事實(shí)上,脫離情境,知識(shí)就只剩下符號(hào).? 建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的重要途徑,學(xué)生通過建模能了解知識(shí)產(chǎn)生的根源,拓寬知識(shí)面,形成合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移,提高個(gè)體綜合實(shí)踐能力.

    教學(xué)改革難就難在課堂,要實(shí)現(xiàn)課堂變革,應(yīng)把數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)確定為課堂變革的方向與目標(biāo). 在教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生著力把一個(gè)模型“學(xué)得透,學(xué)得精,用得活”,讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模,悟出數(shù)學(xué)模型的約束條件,學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)模型追本溯源、廣泛遷移,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,進(jìn)而奠定建模素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ). 唯有如此,才能真正為學(xué)生發(fā)展建模素養(yǎng)提供保障,激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生釋放學(xué)習(xí)潛能,發(fā)揮建?;顒?dòng)的價(jià)值,讓課堂充滿生機(jī)與活力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]雍慶. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中學(xué)“數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)”教學(xué)設(shè)計(jì)[D]. 西華師范大學(xué),2018.

    [2]王金水,張潔,林晴嵐. 指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)——以相似三角形的運(yùn)用為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2021(19):32-36+51.

    [3]劉彩紅. 數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐研究[D]. 合肥師范學(xué)院,2017.

    [4]王金水. 把握課堂追問時(shí)機(jī)? 提升初中生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[J]. 福建基礎(chǔ)教育研究,2021(02):57-60.

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