對一道橢圓聯(lián)考題的解法與延伸探究

湖南省長沙市南雅中學(xué) (410027) 朱 彬

湖南省長沙市雨花區(qū)雅境中學(xué) (410014) 胡曉靜

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)F(1,0)作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線l1、l2,直線l1、l2與橢圓相交于四點(diǎn)為A1、A2、B1、B2,求四邊形A1A2B1B2的面積S的最小值.

2 解法探究

下面重點(diǎn)探究第(2)小題的解法.

思路1:處理直線與橢圓線(圓錐曲線)的交點(diǎn)問題,可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),同時(shí)聯(lián)立直線與橢圓(圓錐曲線)的方程,得x1+x2(或y1+y2),x1x2(或y1y2),再把相關(guān)弦長用x1,x2(或y1,y2)表示出來,并將x1+x2(或y1+y2)及x1x2(或y1y2)整體代入,進(jìn)而解得問題.這就是“設(shè)而不求”的方法.該解題過程充分體現(xiàn)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,即通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì),圖形問題代數(shù)化的解析幾何的本質(zhì).

點(diǎn)評：解法1取直線斜率的“倒數(shù)”t為參數(shù),設(shè)出直線的“橫斜截式”方程并與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用“設(shè)而不求”和均值不等式解答.“設(shè)而不求”是一種重要的解題手段,常能避開因盲目演算而導(dǎo)致無益的循環(huán)運(yùn)算,達(dá)到簡捷、準(zhǔn)確的解題效果.另外,解法1中還用到了對角線互相垂直的四邊形面積的一個(gè)結(jié)論:“對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的乘積的一半”.

思路2:解答涉及到焦點(diǎn)的橢圓(圓錐曲線)問題時(shí),靈活運(yùn)用橢圓(圓錐曲線)定義,既可以深化對橢圓(圓錐曲線)這一數(shù)學(xué)概念的理解,也能提高學(xué)生運(yùn)用定義去分析和解決問題的能力,開拓思維視野.

圖1

點(diǎn)評：解法2取直線的傾斜角為參數(shù),在運(yùn)用橢圓的第二定義的基礎(chǔ)上,利用幾何圖形轉(zhuǎn)化為角的弦函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而利用三角函數(shù)同角平方關(guān)系、三角恒等變換及弦函數(shù)的有界性求解,充分體現(xiàn)了“回歸定義”的重要性.

3 延伸探究

3.1 試題延伸

問題1 我們能否將試題第(2)小題的結(jié)論延伸到橢圓的一般情形?答案是肯定的.

3.2 類比延伸

問題2 我們知道,圓錐曲線之間有許多相互類似的性質(zhì)或結(jié)論,能否將橢圓的一般結(jié)論(即結(jié)論1)分別類比到雙曲線和拋物線,得到類似的結(jié)論?答案同樣是肯定的!

結(jié)論3 過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線l1、l2,直線l1、l2與拋物線相交于四點(diǎn)為A1、A2、B1、B2,則四邊形A1A2B1B2的面積S有最小值為8p2.

結(jié)語:我們平時(shí)的解題過程中,要適時(shí)地將問題推廣延伸為一般性的結(jié)論用于解決相關(guān)問題.久而久之,就能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì),培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把對能力的培養(yǎng)落到實(shí)處,提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).