巧用導數(shù)的幾何意義解答曲線向題

導數(shù)的幾何意義即：函數(shù)y=f（x）在點 x?處的導數(shù)f'（x）就是曲線 y=f（x）在點P（xoy?）處的切線的斜率，即k=f'（xo）.導數(shù)的幾何意義在解高中數(shù)學題中應用廣泛，常用于求曲線上某點的切線的方程、斜率，研究曲線的變化情況，判斷函數(shù)的單調(diào)性.下面主要談一談如何巧妙運用導數(shù)的幾何意義解兩類題.

一、求曲線上某點處的切線方程

由導數(shù)的幾何意義可知曲線y=f（x）在點P（xo-y?）處切線的斜率為h=f'（x?）， 則在該點處的切線方程為 y-f（xo）=f（xo）（x-xo）. 利用導數(shù)的幾何意義求曲線上某點處的切線方程的步驟為：（1）求出函數(shù) f（x）的導數(shù)f'（x）;（2） 將切點的橫坐標代入 f'（x）， 得到切線的斜率f'（xo）;（3）化簡切線的方程y-yo=f'（xo）（x-xo）.

例1.若函數(shù) f（x）=x?+（a-1）x?+ax 為奇函數(shù)，則曲線 y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為? .

解

例2.已知 ，求曲線 y=f（x）過點 P（2，4）的切線的方程.

解：

解此題時要特別注意審題，明確"過點"與"過切點"的區(qū)別.若題目中未明確說明曲線過切點，則需分該點是切點和不是切點兩種情況進行討論.

若切線的方程中含有參數(shù)，或切點用參數(shù)表示，則需根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的方程，再根據(jù)切點既在切線上又在曲線上，建立方程組，即可通過解方程求得參數(shù)的值.

二、求兩條曲線的公切線方程

兩條曲線的公切線是指其中一條曲線在某點處的切線與另一曲線相切，通常需根據(jù)導數(shù)的幾何意義建立關(guān)于斜率的關(guān)系式.若公切線l 與其中一條曲線 y=f（x） 的切點為P（x?f（x）），?? 與另一條曲線y=g（x）的切點為Q（x?，g（x?），? 根據(jù)直線的斜率公式和導數(shù)的幾何意義可得 ，通過解方程求得x 、x?， 即可根據(jù)直線的兩點式方程、點斜式方程求得公切線l 的方程.

例3.

解：

解答本題，需根據(jù)導數(shù)的幾何意義明確y=√x 和 在點（xo√?） 處的導函數(shù)即為該點處公切線 l 的斜率，據(jù)此建立關(guān)于xo 的方程，通過解方程求得 x?的值，即可根據(jù)直線的點斜式方程求得公切線的方程.

運用導數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵要明確函數(shù)在某點處的導數(shù)就是曲線在該點處的切線的斜率，這樣就將函數(shù)的解析式與曲線、直線、直線的方程關(guān)聯(lián)起來，通過數(shù)形互化，快速求得問題的答案.

（作者單位：胡奇云，西華師范大學數(shù)學與信息學院；周堃，成都師范學院德陽高級中學）