分類討論思想在解答函數(shù)問題中的應(yīng)用

饒莎

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要數(shù)學(xué)思想，是指將研究對(duì)象分為不同種類，再對(duì)每種類別進(jìn)行討論.運(yùn)用分類討論思想，將問題細(xì)化，不僅能降低解題的難度，還能使解題的思路更加有條理，從而提升解題的正確率.下面談一談分類討論思想在解答幾類函數(shù)問題中的應(yīng)用技巧.

一、判斷含參函數(shù)的單調(diào)性

若函數(shù)中含有參數(shù)，則在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，此時(shí)可采用分類討論思想來解題.首先將f（x?）-f（x?），或?qū)瘮?shù)求導(dǎo)，并進(jìn)行化簡，將所得的結(jié)果配湊成幾個(gè)因式的積；然后分別求出每個(gè)因式的零點(diǎn)，用零點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)子區(qū)間；再在每個(gè)子區(qū)間上討論f（x?）-f（x?） 以及導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，據(jù)此判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

例1.

解：

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并化簡后，需重點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即需討論幾個(gè)因式的符號(hào).于是分析函數(shù)m（x）的特征：其圖象開口方向向上，有一動(dòng)一定兩個(gè)零點(diǎn).那么分類討論的對(duì)象為：變化的零點(diǎn)x?=-a. 再運(yùn)用分類討論思想，討論在0<-a<1、-a>1、-a=1? 時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性.需要注意：（1）將導(dǎo)函數(shù)中的因式進(jìn)行分解，化為幾個(gè)因式的積的形式；（2）明確分類討論的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn).

二、求解分段函數(shù)問題

對(duì)于分段函數(shù)，在定義域內(nèi)的不同自變量對(duì)應(yīng)著不同的函數(shù)解析式.所以在解答分段函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常要用分類討論思想，對(duì)不同區(qū)間上的函數(shù)解析式、性質(zhì)、圖象、最值等進(jìn)行分類討論.

例2.

解：

該函數(shù)為分段函數(shù)，且每一區(qū)間段上的函數(shù)均為二次含參式.由于參數(shù)在一次常數(shù)項(xiàng)以及區(qū)間的分界點(diǎn)中，所以需將其分為x

可見，運(yùn)用分類討論思想，可將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.這樣便能更精準(zhǔn)、更有條理地解答問題.

（作者單位：江西省撫州市臨川區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）33