重視數(shù)學概念理解，優(yōu)化數(shù)學解題過程

陶云

摘 要： 在數(shù)學解題教學中，要引導學生重視基本的概念理解，而不陷入繁雜的題型技巧，從而把握問題本質，優(yōu)化解題過程。具體做法包括：理解概念的定義方式，形成簡捷的解題方法；理解概念的實際意義，避免公式的生搬硬套；理解概念的判斷依據(jù)，防止主觀的錯誤判斷。

關鍵詞：高中數(shù)學；解題教學；概念理解；解題優(yōu)化

李邦河院士曾說：“數(shù)學從根本上玩的是概念，而不是技巧?！睌?shù)學教學，無論是新授課還是復習課，都要重視概念教學，讓學生經歷概念的形成過程，梳理概念之間的關聯(lián)，從而充分理解概念，真正掌握概念。

然而，在講學案盛行的今天，有的教師不研讀教材，僅憑做幾道講學案上面的題目就去上課；一些教師的新授教學模式是“一個定義（定理）、三項注意、十題訓練”，復習教學模式是“課前填寫‘知識回顧+課上講題與訓練”。這種忽視概念理解、只顧解題訓練的教學行為是舍本逐末的，不僅剝奪了學生的探究權利，澆滅了學生的學習熱情，使學生淪為做題的機器，而且淺化了學生的認識，禁錮了學生的思維，讓學生把握不到問題的本質，解題變得刻板生硬、套路化。

章建躍博士曾說：“解題錯誤主要源于概念把握不準，加深對概念的理解，掌握基礎知識和基本技能，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學能力，特別是數(shù)學思維能力是解題的基本目標?！惫P者深以為然。例如，在高一階段，學生研究子集關系時經常忘記考慮空集的情況，研究函數(shù)的奇偶性時經常忘記考慮定義域是否關于原點對稱，利用基本不等式求最值時經常忘記考慮取等條件，處理含有對數(shù)式的題目時經常忘記考慮真數(shù)大于零，等等。這些問題并不全是記憶模糊導致的，更重要的是對概念（知識）的理解不夠深刻。

本文重點結合案例談談筆者在數(shù)學解題教學中，引導學生重視基本的概念理解，而不陷入繁雜的題型技巧，從而把握問題本質，優(yōu)化解題過程的些許做法。

一、 理解概念的定義方式，形成簡捷的解題方法

一個概念往往有多種等價的定義（表征）方式：有的是呈現(xiàn)可操作的步驟，屬于生成型定義；有的是羅列需滿足的條件，屬于要素型定義……在解題教學中，教師不僅要引導學生理解這些定義方式，而且要引導學生選擇最合適的定義方式（通常是最能解釋概念本質的標準定義），形成更簡捷的解題方法。

二、 理解概念的實際意義，避免公式的生搬硬套

有些數(shù)學概念不僅有著形式化的表達式，而且具有更為本質的實際意義。在解題教學中，教師要注意引導學生洞察本質，回到概念本身代表的實際意義上，從而避免公式的生搬硬套，方便快捷地解決問題。

三、 理解概念的判斷依據(jù)，防止主觀的錯誤判斷

判斷概念是掌握概念的重要手段。有些概念定義中可操作的步驟或需滿足的條件很清楚，可以利用定義判斷；還有一些概念定義不夠清楚，需要利用判定定理或等價表示方式判斷。學生常常會因為選錯判斷依據(jù)甚至不知道判斷依據(jù)而主觀臆斷，導致解題費時費力或者出錯。在解題教學中，教師特別要引導學生關注概念的判斷依據(jù)，防止錯誤的判斷。

例5 （2021年新高考Ⅰ卷第8題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則 （）

A． 甲與丙相互獨立

B． 甲與丁相互獨立

C． 乙與丙相互獨立

D． 丙與丁相互獨立

此題得分率很低。很多學生對事件的獨立性認識比較模糊，他們從兩個事件相互獨立就是互相沒有影響出發(fā)，由主觀上感覺的第一次或第二次取球的數(shù)字對兩次取球的數(shù)字之和一定會有影響，排除了A、B、C三個選項，選擇了D選項。

事實上，兩個事件如果相互獨立，它們之間確實沒有影響，但是“沒有影響”不是由主觀感覺判斷的，而是有客觀標準的。蘇教版高中數(shù)學教材對事件的獨立性有這樣的描述：如果我們認為任何事件與必然事件獨立，任何事件也與不可能事件獨立，那么兩個事件A、B相互獨立的充要條件是P（AB）=P（A）P（B）。這段描述給我們提供了判斷兩個事件是否相互獨立的可操作性依據(jù)，由此我們只需要對相關的概率進行計算即可。