跳出機械化技巧，深挖知識背后的思想

曹廣福

摘 要：解答2023年新高考數學Ⅱ卷函數與導數壓軸題，如果將導數作為一種機械化操作的工具，對函數多次求導，則不僅涉及分類討論，而且導致比較煩瑣的計算；如果理解極值概念的局部性本質，把握其蘊含的局部化思想，先求出參數可能的取值范圍再證明，則思路自然，邏輯清晰，一氣呵成。由此可見，數學教學要基于經驗培養(yǎng)直覺，基于知識感悟思想，基于技巧提升思維，特別要引導學生深挖數學知識背后的思想本質，才能將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處。

關鍵詞：數學高考；函數與導數；知識本質；數學思想

素養(yǎng)立意之下，新高考數學試題的風格有了一些變化，對學生理解數學本質、把握數學知識背后數學思想的要求越來越高。對此，如果依然囿于機械化操作的方法，很可能陷于繁雜的技巧中，或許僥幸能夠繞出答案來，但可能花費相當長的時間，導致很難在兩小時內完成全部題目的解答。本文對2023年新高考數學Ⅱ卷函數與導數壓軸題（第22題）的兩種解法進行對比分析，說明深挖數學知識背后的思想本質的重要性。

一、 試題解法的對比分析

2023年新高考數學Ⅱ卷函數與導數壓軸題如下：

（1） 證明：當02

（2） 已知函數fx=cosax-ln（1-x²），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍。

本題第1問屬于常規(guī)問題，學生不難想到利用導數判斷單調性。此處重點探討第2問。

先來看一種基于機械化操作的解法：

令1-x²>0，解得-1

因為f（x）=cosax-ln（1-x²）=cos（-ax）-ln[1-（-x）²]=f（-x），所以函數f（x）在定義域內為偶函數。

這一解法將導數作為一種機械化操作的工具，對函數多次求導，不僅涉及分類討論，而且導致比較煩瑣的計算。

這類題需要運用導數是毋庸置疑的，問題是如何運用，運用到何種程度，是利用其蘊含的思想還是將其作為工具，這是決定解題“境界”的關鍵。

事實上，這道題沒有很高的難度，也不需要太復雜的技巧，但是要求考生理解極值概念的本質，把握其背后的數學思想。

在給出基于極值概念背后數學思想的解法之前，我們先呈現(xiàn)基于幾個關鍵問題的思路分析過程：

問題1 x=0是f（x）的極大值點意味著什么？

但是，一階導數為0，只能說明可能是極值，不能說明是極大值還是極小值?；蛟S有些教師講授過二階導數的符號與極大值、極小值的關系，但這似乎超出了中學數學課程的范圍。既然課標與教材不要求掌握這一知識，解題時就應該盡量回避。

上述解法利用極大值的局部性本質求出a可能的取值范圍，再根據a的范圍判斷導數的符號，進而證明極大值點，思路自然，邏輯清晰，一氣呵成；充分展現(xiàn)了微積分的局部化思想（即對無窮小量或者說取極限過程的實質性理解，而非形式化操作），無需對參數分類討論，也沒有任何繁雜的計算。

二、 對數學教學的啟示

判斷一道好的數學題，有兩個重要的標準：（1）不以繁雜的計算、特殊的技巧取勝；（2）具備一定的洞察力，掌握有關知識的思想本質，才能找到恰當的解決方案。按這兩個標準判斷，上述函數與導數題堪稱高水準。

高考試題的內容需要覆蓋整個基礎教育階段的重要知識點，自然需要一定的題量做保證。但試題的命制水平比題量更重要，高水平的試題可以有效測試出考生的知識、

能力與素養(yǎng)水平。大題量試卷中試題的解答如果糾纏在一些次要的細節(jié)與煩瑣的技巧上，不注重思想方法與思維能力的檢驗，這樣的試卷（試題）將會誤導一線教學的走向。

新高考對一線教學提出了新的要求：數學直覺的培養(yǎng)、數學思想的熏陶、數學思維的提升，應該成為數學教學的主流。直覺即對問題本質的洞察力；它源于經驗而高于經驗，是經驗的升華。思想蘊藏在知識內部，需要有效挖掘；思想以知識為載體而高于知識，因此教學要以知識為基礎，但不能停留在知識的層面。思維是對問題的理性認知能力， 它是完成思維任務所必需的，且直接影響思維活動的效率；思維能力的提升需要一定的推理與運算技巧做基礎，但思維重于技巧，技巧是為提升思維能力服務的。數學課堂如果離開了數學直覺的培養(yǎng)、數學思想的熏陶、數學思維的提升，特別是離開了對數學知識背后思想本質的挖掘，必然會陷入淺表化理解和機械化操作的窠臼，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也就成了一句空話。

進一步地，數學課堂如果沒有把握相關概念與結論所反映的科學問題，教學必定是盲目的；如果沒有對問題的思辨，思想性便蕩然無存。從這個意義上說，問題是數學課堂的核心，思想是數學課堂的靈魂。沒有問題，課堂便失去了動力；沒有思想，課堂便失去了生機。