數(shù)學(xué)文化融入高中三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

蔡雪慧

【摘要】近幾年高中數(shù)學(xué)的教學(xué)工作中，數(shù)學(xué)文化一詞的使用頻次越來越高，教師對(duì)數(shù)學(xué)文化越來越重視，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)人文價(jià)值的創(chuàng)新認(rèn)識(shí)以及數(shù)學(xué)課程教學(xué)觀念的創(chuàng)新變化.將數(shù)學(xué)文化融入課堂的教學(xué)活動(dòng)中，體現(xiàn)了文化的教育價(jià)值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的生命力.從數(shù)學(xué)化的角度關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容創(chuàng)新，挖掘數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，這為高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動(dòng)開展開啟了一個(gè)特殊理解數(shù)學(xué)的角度和窗戶.特別是在高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化教育的重要思想和理念，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科之間的聯(lián)系.將數(shù)學(xué)文化和教學(xué)結(jié)合起來，可更好地讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值.本文圍繞著數(shù)學(xué)文化和三角函數(shù)課堂融合的相關(guān)問題進(jìn)行探討，希望能夠給教學(xué)工作人員帶來一定的借鑒價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考中依然占據(jù)著重要的位置.學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)過程中存在較多的困難，需要教師深度挖掘三角函數(shù)的教學(xué)創(chuàng)新模式，了解三角函數(shù)的解題教學(xué)方法，進(jìn)一步給學(xué)生講解三角函數(shù)的發(fā)展歷史故事，豐富課堂教學(xué)的內(nèi)容，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)文化的相關(guān)教育思想理念，將數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù)教學(xué)之間有效融合起來，讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，提升課堂效率.

1 縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展歷史文化，體會(huì)數(shù)學(xué)思想變遷

在漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家們的智慧和汗水凝聚了數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，數(shù)學(xué)教科書的編制與學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展、學(xué)科發(fā)展的關(guān)系密切相關(guān).從數(shù)學(xué)的發(fā)展和思想的變化來看，把數(shù)學(xué)的發(fā)展和知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，既能使學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)，又能引起學(xué)習(xí)的共鳴，還能使數(shù)學(xué)的歷史和文化在教育領(lǐng)域廣泛流傳.三角函數(shù)章節(jié)是高中第一章關(guān)于循環(huán)函數(shù)的系統(tǒng)性研究，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分.但由于學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)，不能很自然地跨越到圓弧和任意角度的三角函數(shù)，這就是三角學(xué)的起源和發(fā)展過程，以三角學(xué)的歷史為載體，讓學(xué)生了解三角學(xué)的發(fā)展和思想的變化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為接下來所學(xué)內(nèi)容打破認(rèn)知壁壘.

最早的三角函數(shù)是因?yàn)樘煳挠^察的需要，古希臘天文學(xué)家依巴谷（又譯喜帕克斯）在地球上建立了一個(gè)坐標(biāo)系，他畫出了有史以來的第一張弦表，他還是首位把圓圈和對(duì)弦的數(shù)值用圖表表示出來.依巴谷又被譽(yù)為“三角之父”.

到了15世紀(jì)，在文藝復(fù)興時(shí)期，三角學(xué)也出現(xiàn)了.德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯首先把三角學(xué)與天文分離開來，他于1464年出版了5冊(cè)《論各種三角形》，第一次完整而獨(dú)立地闡述了三角學(xué).奧地利數(shù)學(xué)家哥白尼的弟子雷蒂庫斯，把傳統(tǒng)的弧和弦的關(guān)系改成了角的三角關(guān)系，從而對(duì)正弦的概念進(jìn)行了修改.這是一個(gè)重大的突破，它使三角學(xué)的定義不再局限于一個(gè)給定的圓周的長(zhǎng)度.16世紀(jì)，三角學(xué)與天文學(xué)科正式分開，成為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科.

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和微積分的產(chǎn)生，函數(shù)方法，如三角函數(shù)等，逐漸受到重視.法國數(shù)學(xué)家阿爾伯特·吉拉德首先用字母sin、cos和tan來描述三角函數(shù).角度的60進(jìn)制與10進(jìn)制相比，在計(jì)算功能上不太方便，所以有人提出了一種新的測(cè)角方法，弧度法就這樣誕生了.英國數(shù)學(xué)家羅杰·柯特斯首先提出了“弧度”這個(gè)概念，他并沒有給出rad這個(gè)標(biāo)志，而是指出了“分?jǐn)?shù)”可以代表任意角度，可用1r表示.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉明確地提出了弧度系統(tǒng)的概念，1748年，在歐拉所著《無窮小分析概論》中，提出了用圓的半徑作為測(cè)量弧長(zhǎng)的單位，即圓周角度等于2π弧度，1弧度等于周角的12π，這樣就可以將曲線和曲線的測(cè)量結(jié)合在一起.

2 引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，可以感受圖形變化的美妙，而這些教學(xué)內(nèi)容的引入都離不開數(shù)學(xué)文化的融入.首先是弧度制，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.在平面的度量單位中，公共角的度量單位包括弧度、角度、百分制等等，弧度的出現(xiàn)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，可以方便建立數(shù)學(xué)模型，教師可以給學(xué)生展示相關(guān)的三角函數(shù)弧度制的文化和發(fā)展過程.

比如：扇形弧長(zhǎng)公式（弧度）：I=αR；

扇形面積公式（弧度）：S=12αR2=12IR.

當(dāng)函數(shù)的參數(shù)以弧度表示時(shí)，受單位“1”的一致性影響，三角函數(shù)的平移、伸縮變換都能在形式上體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性.

例如 函數(shù)y=sin（x+1）+2的圖形，可通過將正弦函數(shù)y=sinx向左平移1個(gè)單位之后，再向上平移2個(gè)單位所得到.

當(dāng)函數(shù)的參數(shù)以弧度表示時(shí)，由于單位“1”的一致性，三角函數(shù)可以和其他函數(shù)簡(jiǎn)潔地在同一平面直角坐標(biāo)系下展現(xiàn)圖象關(guān)系，如圖1所示.

當(dāng)函數(shù)的參數(shù)以弧度表示時(shí)，產(chǎn)生極限公式：limx→0sinxx=1.

根據(jù)大眾的審美來看，具有各個(gè)方向上的中心對(duì)稱圖形，可以給人和諧簡(jiǎn)潔的美感.三角函數(shù)在很長(zhǎng)的一段時(shí)間研究?jī)?nèi)都是在單位圓中進(jìn)行的，因此也被稱之為圓函數(shù).三角函數(shù)給人以簡(jiǎn)潔自然的美感，通過單位圓定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)可以將單位圓上的弧投影到坐標(biāo)軸上，使整個(gè)函數(shù)運(yùn)動(dòng)起來.而這樣的運(yùn)動(dòng)過程就能體現(xiàn)出動(dòng)軌跡以及函數(shù)的幾何美.

3 引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化之用，形成數(shù)學(xué)解題思維

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版，2020年修訂）提出，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活、其他學(xué)科的關(guān)系，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值.高中學(xué)生已有主觀能動(dòng)性，可以在某種程度上對(duì)事物做出價(jià)值判斷.通過對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)，可以使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，更好地理解數(shù)學(xué)在各個(gè)方面的滲透和實(shí)用，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.三角函數(shù)是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，在測(cè)量、天文學(xué)、物理學(xué)等方面都具有很大的應(yīng)用價(jià)值，這也是數(shù)學(xué)三角函數(shù)的起源.自希臘以來，數(shù)學(xué)已經(jīng)與人們的日常生活融為一體，許多數(shù)學(xué)知識(shí)都是從日常生活中汲取和運(yùn)用到日常生活中去的.數(shù)學(xué)教育應(yīng)貼近實(shí)際和社會(huì)，使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)是無處不在的.在課程中，數(shù)據(jù)計(jì)算、概率統(tǒng)計(jì)、生活測(cè)量、運(yùn)籌規(guī)劃，這些都是與生活息息相關(guān)的.為了實(shí)現(xiàn)“生活化”的數(shù)學(xué)課堂，必然會(huì)引起教師的行為模式的改變和改變.在教學(xué)方式上，教師要采取多種教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生從生活中引進(jìn)生活題材，向現(xiàn)實(shí)問題提出相應(yīng)的知識(shí)，使學(xué)生能夠更好地把生活問題變成數(shù)學(xué)問題.通過建立模型來提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.

例如 弧度制在軍事方面的應(yīng)用如圖2所示.

在融入數(shù)學(xué)文化的教學(xué)活動(dòng)中，教師可通過設(shè)計(jì)良好的教學(xué)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在教學(xué)過程中，教師給予更多教學(xué)文化內(nèi)容的展示.讓學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)活動(dòng)中，有利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考，把握住學(xué)習(xí)的內(nèi)容本質(zhì).比如，在關(guān)于三角函數(shù)概念的相關(guān)情形教學(xué)活動(dòng)中，教師可以引入弧度制的歷史發(fā)展故事，將實(shí)數(shù)和角的集合建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也為學(xué)生學(xué)習(xí)單位圓、建立三角函數(shù)概念提供了重要的基礎(chǔ)，這是后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)、微積分中最重要的角度量單位.教師可以以三角學(xué)的發(fā)展為背景，通過問題解決和三角學(xué)的歷史相交融為教學(xué)的情景.

比如 以不等式sinx＜x為例進(jìn)行分析：

在教學(xué)目標(biāo)方面，需要引導(dǎo)學(xué)生理解弧度的概念，掌握弧度制和角度制之間的換算方法，能掌握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維邏輯思維的推理能力.能夠在感受三角函數(shù)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的同時(shí)，掌握弧度的概念以及角度的換算.

在教學(xué)中，教師引入初中所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)知識(shí)，比如，sin30°=12，然后引出問題：能用30°和12做比較嗎？學(xué)生開始思考，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系，一個(gè)是60進(jìn)制，一個(gè)是10進(jìn)制，進(jìn)而引入數(shù)學(xué)文化.在早期，正弦值并不是大家所熟知的sin30°=12形式.教師在白板中展現(xiàn)古希臘天文學(xué)家托勒玫在其著作《天文學(xué)大成》中繪制的弦表.

然后展示60進(jìn)制計(jì)算的復(fù)雜性，給學(xué)生引入10進(jìn)制的計(jì)算方法和歷史發(fā)展，比如，教師展示計(jì)算40°的正弦值步驟（圖3）：

步驟：①在弦表中找出弧長(zhǎng)為80°角，和對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)值：77°8′5″，圖3中的AB弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的角∠AOB =80°和弦AB=77°8′5″；

②將弦長(zhǎng)AB轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制：

AB=77+860+8602≈77.13472222；

③列出算式計(jì)算40°的正弦值：

sin∠BOG=0.5AB60≈0.64278935.

4 借助數(shù)形結(jié)合，活躍理性思維

教師在關(guān)于三角函數(shù)的集體教學(xué)活動(dòng)中，可以引入數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，讓學(xué)生掌握更多數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)的解題技巧和方法.數(shù)形結(jié)合的思想方法也屬于數(shù)學(xué)文化的重要部分組成內(nèi)容，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力和解決三角函數(shù)的實(shí)際問題方面發(fā)揮著重要的作用.

例如 利用數(shù)形結(jié)合證明不等式：

sinx＜x＜tanx，x∈（0，π2）.

首先，考慮構(gòu)建三角形和扇形的面積關(guān)系，這樣可簡(jiǎn)潔表達(dá)出不等式的關(guān)系，主要重點(diǎn)內(nèi)容是弧度制、三角函數(shù)線、面積的巧妙構(gòu)建，如圖4所展示.

接下來，教師借助三角函數(shù)線和弧度建立“形與數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖5所示），角α與AB與等長(zhǎng)線段OB′與自變量x與正弦線BG與函數(shù)值y的關(guān)系.

5 結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)文化不僅關(guān)系到學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育培養(yǎng)，還關(guān)系到學(xué)生的文化素質(zhì).因此，在高中數(shù)學(xué)教育中，應(yīng)用多元的教育策略，可以改變學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，提高他們的學(xué)習(xí)效率.教學(xué)中，形成一套動(dòng)態(tài)的、立體的數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)，讓學(xué)生能夠從容應(yīng)對(duì)高考的壓力，也能受益一生.

參考文獻(xiàn)：

［1］李文琳.高中數(shù)學(xué)新教材中函數(shù)部分的比較研究［D］.廣西師范大學(xué)，2022.

［2］趙憶.數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的行動(dòng)研究［D］.揚(yáng)州大學(xué)，2022.

［3］張倬華.數(shù)學(xué)文化融入三角函數(shù)單元教學(xué)的案例設(shè)計(jì)［D］.河南科技學(xué)院，2022.

［4］吳景珠.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)文化”滲透策略探析［J］.高考，2022（12）：72-74.

［5］伊麗娜.高中新版數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”部分比較研究［D］.華東師范大學(xué)，2022.