例談梯形中常見的輔助線的作法

江昀潼

梯形作為一種比較特殊的四邊形，其特點(diǎn)就是只有一組對(duì)邊是平行的，因此，解答梯形問題的基本思路是通過添加輔助線來“搭橋”，對(duì)梯形進(jìn)行割補(bǔ)、拼接，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形來解答，合理、巧妙地添加輔助線，不僅可以極大地降低解題難度，而且可以提高同學(xué)們思維的靈活性和創(chuàng)造性，

一、平移一（兩）腰

平移腰即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形；或利用梯形中的某個(gè)特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)作兩腰的平行線，把兩腰轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而為解題創(chuàng)造條件，

例1如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B +∠C= 90°，AD= 10，BC=30，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長，

評(píng)注：平移梯形的一腰或兩腰，可把梯形轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形，從而把相對(duì)分散的條件集中到一個(gè)圖形中以方便解題，

二、平移對(duì)角線

平移對(duì)角線即過梯形上底的一個(gè)端點(diǎn)作梯形一條對(duì)角線的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和幾個(gè)三角形，當(dāng)題目中有梯形的對(duì)角線相等或互相垂直時(shí)，可以平移對(duì)角線把兩條對(duì)角線、上下底之和放在一個(gè)三角形中，就會(huì)出現(xiàn)等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，然后利用特殊三角形的性質(zhì)來解答此類問題，

例2如圖3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，BD=5√2，求證：AC⊥BD.

評(píng)注：過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)平移對(duì)角線，把兩條對(duì)角線轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，若對(duì)角線相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形；若對(duì)角線垂直，則這個(gè)三角形是直角三角形；若對(duì)角線相等又垂直，則這個(gè)三角形是等腰直角三角形，這些結(jié)論可以為解題創(chuàng)造有利條件．

三、延長兩腰

延長兩腰即延長梯形的兩腰使其交于一點(diǎn)，化梯形為兩個(gè)（相似的）三角形．如果是等腰梯形，則得到兩個(gè)分別以梯形兩底為底的等腰三角形，延長兩腰可以將梯形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，從而借助三角形的性質(zhì)定理等知識(shí)要點(diǎn)，為解題鋪平道路，

例3如圖5所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD =BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論，

四、作對(duì)角線

作對(duì)角線即連接對(duì)角線將梯形轉(zhuǎn)化為三角形，再利用三角形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解答四邊形的問題，尤其在特殊梯形中，將沒有畫出的對(duì)角線作出來，再利用特殊梯形對(duì)角線的性質(zhì)（如等腰梯形對(duì)角線相等），將題目中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以實(shí)現(xiàn)有效解題，

評(píng)注：在直角梯形中連接對(duì)角線往往可以構(gòu)造直角三角形，然后利用直角三角形與全等三角形的知識(shí)來證明，

五、連接頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)并延長

連接梯形上底一端點(diǎn)和一腰的中點(diǎn)，并延長與下底延長線相交，從而將梯形割補(bǔ)成幾個(gè)三角形，這樣作輔助線可以充分利用梯形中的平行和等量關(guān)系，將上下底之和統(tǒng)一到一段線段上來，再結(jié)合三角形全等和其他特殊三角形的性質(zhì)使問題得到解答．

評(píng)注：在梯形中，只要有腰上的中點(diǎn)，可過中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，從而把上下底之和與另一條腰集中在一個(gè)三角形中，而這個(gè)三角形又是一個(gè)特殊三角形，問題就簡單了，

在解答有關(guān)梯形的證明題和計(jì)算題時(shí)，輔助線的作法并不是單一的，有時(shí)可同時(shí)作兩種或兩種以上的輔助線，但目的是一致的，就是在梯形中構(gòu)造三角形、平行四邊形，再運(yùn)用三角形、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)來解題，同學(xué)們要結(jié)合已知條件添加合適的輔助線，以探求簡捷的解題方法，