融入建模思想促進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)

楊重慶

摘要：隨著國(guó)內(nèi)教育改革的持續(xù)推進(jìn)，數(shù)學(xué)的教學(xué)方法也產(chǎn)生了巨大的轉(zhuǎn)變.借助建模思想的融入培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，提高他們的數(shù)學(xué)知識(shí)水平，教師需給予格外關(guān)注.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；建模思想

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）15-0026-03

建模思想是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)建模去解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法.而數(shù)學(xué)作為技術(shù)和科學(xué)的工具與基礎(chǔ)，在現(xiàn)實(shí)生活中扮演著極為關(guān)鍵的角色，建模思想的融入能實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題同數(shù)學(xué)知識(shí)間的靈活轉(zhuǎn)變.高中數(shù)學(xué)教師需與學(xué)生一起圍繞實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使其通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型的結(jié)果來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力.

1 結(jié)合理論知識(shí)，融入建模思想

1.1 借助概念教學(xué)契機(jī)，有效融入建模思想

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的基礎(chǔ)部分，學(xué)生只有正確理解和掌握這些概念，他們才可以使用已學(xué)知識(shí)靈活看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，使其從多個(gè)視角分析與解答問(wèn)題，這充分表明概念教學(xué)的重要性.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助概念教學(xué)的機(jī)會(huì)將建模思想融入，引入一些生活中的實(shí)例，指導(dǎo)學(xué)生從這些實(shí)例中抽取出蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，使其概括出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，讓他們深入認(rèn)識(shí)與理解數(shù)學(xué)概念[1].

在進(jìn)行“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”教學(xué)時(shí)，本節(jié)課既涉及到點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，還包含對(duì)平面垂直、平面平行和直線的判定，以及直線的性質(zhì)等內(nèi)容，教師需堅(jiān)持循序漸進(jìn)的基本原則設(shè)定教學(xué)方案，讓學(xué)生清楚掌握知識(shí)要點(diǎn)之間的關(guān)系，結(jié)合建模思想指導(dǎo)他們對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，使其掌握各個(gè)概念之間的聯(lián)系.具體來(lái)說(shuō)，教師先利用畫(huà)圖、列舉實(shí)例、提出問(wèn)題等方式讓學(xué)生初步理解點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，使其結(jié)合圖示在大腦中形成明了直接的結(jié)構(gòu)關(guān)系，便于對(duì)概念的理解和記憶，讓他們建立直觀感知.接著，教師可為學(xué)生提供一些親自動(dòng)手畫(huà)圖的機(jī)會(huì)，使其在實(shí)踐操作中進(jìn)一步理解所學(xué)內(nèi)容，然后給出部分現(xiàn)實(shí)生活中點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的實(shí)例，指引他們抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而形成深刻理解.隨后教師設(shè)疑：這三者還能夠產(chǎn)生一些其它位置關(guān)系嗎？原因是什么？引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)思考，讓他們嘗試運(yùn)用建模思想展開(kāi)設(shè)想，為下一步教學(xué)做好充足鋪墊.

1.2 關(guān)注數(shù)學(xué)新知內(nèi)化，有效融入建模思想

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，新知講授是一個(gè)相當(dāng)重要的環(huán)節(jié)，在整個(gè)教學(xué)體系中占據(jù)著異常關(guān)鍵的地位，也是融入各種數(shù)學(xué)思想方法的主要路徑，自然也包括建模思想的滲透，這將會(huì)直接影響到整體教學(xué)質(zhì)量及效果.為更好地融入建模思想，高中數(shù)學(xué)教師在平常的教學(xué)中應(yīng)該格外關(guān)注新知識(shí)的講授，實(shí)施引用一些同教學(xué)內(nèi)容相對(duì)應(yīng)的生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)例構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使其再基于數(shù)學(xué)視角重新分析生活實(shí)例，讓他們深化理解新知識(shí)[2].

例如，在開(kāi)展“基本立體圖形”教學(xué)時(shí)，教師談話導(dǎo)入：在實(shí)際生活中往往會(huì)遇到部分比較特殊的建筑物，大家能分享一些嗎？它們有著什么樣的幾何結(jié)構(gòu)特征？指引學(xué)生回顧舊知識(shí)、分享案例與互動(dòng)探討，對(duì)他們的表現(xiàn)給予簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)，由此引出新課內(nèi)容——柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.接著，教師運(yùn)用多媒體技術(shù)展示一系列常見(jiàn)的實(shí)物圖片，如：奶粉罐、鞋盒、水平錐、一次性紙杯、螺母、斗笠等，要求學(xué)生認(rèn)真觀察，把這些物體分成兩大類，且說(shuō)明分類的標(biāo)準(zhǔn)，使其從中抽象出相應(yīng)的立體圖形，指引他們構(gòu)建出多面體與旋轉(zhuǎn)體的模型，給出相應(yīng)的定義.之后，教師給出問(wèn)題：大家看一看身邊的事物，哪些物體是多面體或者旋轉(zhuǎn)體？如何進(jìn)一步分類？要求學(xué)生仔細(xì)觀察教室、校園等附近場(chǎng)所的物體，且展開(kāi)分類，使其運(yùn)用數(shù)學(xué)視角判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，實(shí)現(xiàn)對(duì)建模思想的初步運(yùn)用，進(jìn)一步培養(yǎng)他們的立體感.

2 密切聯(lián)系生活，滲透建模思想

2.1 科學(xué)引入生活資源，積極融入建模思想

高中數(shù)學(xué)教學(xué)在具體的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)科學(xué)引入一系列生活資源，聯(lián)系生活實(shí)際設(shè)計(jì)問(wèn)題，主動(dòng)滲透建模思想，改善學(xué)生應(yīng)用建模思想的意識(shí)，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，使其學(xué)習(xí)效率變得更高[3].

以“直線的方程”教學(xué)為例，教師可以給出一個(gè)生活化問(wèn)題：現(xiàn)準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)方形的ABCD區(qū)域內(nèi)計(jì)劃建設(shè)一個(gè)公園，要求公園的邊緣分別落在CB與CD上面，由于在這區(qū)域的一角存在一座古建筑保護(hù)區(qū)AEF，不能從保護(hù)區(qū)中穿過(guò)，即為公園的一則不能穿過(guò)AEF區(qū)中的EF一側(cè)，其中CD長(zhǎng)度是180米，CB的長(zhǎng)度為60米，AE的長(zhǎng)度是60米，AF的長(zhǎng)度為20米，如何規(guī)劃可以獲得最大面積的公園？這時(shí)教師要提示學(xué)生采用建模思想，先假設(shè)模型，結(jié)合題意知道這個(gè)公園為一個(gè)長(zhǎng)方形，CB與CD是其中的兩條邊緣，面積需最大，還不能穿過(guò)AEF區(qū)域，這表明落地點(diǎn)只能夠在直線EF之上，現(xiàn)假設(shè)成點(diǎn)P.所以需要構(gòu)建一個(gè)原點(diǎn)是點(diǎn)A的平面直角坐標(biāo)系，其中AB是x軸，y軸是AD，由此順利構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，由此把實(shí)際文本轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.接著，就是求這個(gè)公園在什么情況下面積最大，可以使點(diǎn)P在直線EF上面進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，求矩形PHCG的最大面年級(jí)，學(xué)生根據(jù)題干信息，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)直線EFEF的方程，然后假設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出表示該公園面積的方程，最后把方程的最大值求出.

2.2 適當(dāng)延伸教學(xué)范圍，鍛煉建模思想應(yīng)用針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，要想進(jìn)一步滲透建模思想，不僅要突破固有教材內(nèi)容的限制，還要擺脫教室這一有限的教學(xué)空間，學(xué)習(xí)時(shí)間也不僅限于課內(nèi)，而是要適當(dāng)?shù)匮由旖虒W(xué)范圍，為學(xué)生提供廣闊的建模思想應(yīng)用范圍，鍛煉他們的建模思想應(yīng)用能力，使其能夠運(yùn)用個(gè)人所學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極開(kāi)展部分課外活動(dòng)，要求學(xué)生觀察一些生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，使其通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的方式分析與解決，借此訓(xùn)練他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

在“隨機(jī)事件與概率”教學(xué)中，教師先借助生活案例指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課出現(xiàn)的幾個(gè)新概念，利用拋擲硬幣的試驗(yàn)深入探究隨機(jī)事件，使其能夠根據(jù)生活實(shí)例構(gòu)建出隨機(jī)事件的模型，讓他們準(zhǔn)確理解隨機(jī)事件的穩(wěn)定性和不確定性，以及概率的概念和意義，掌握事件發(fā)生頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別.隨后教師鼓勵(lì)學(xué)生收集與研究部分實(shí)際生活中存在的隨機(jī)事件，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生通過(guò)親身調(diào)查與感受進(jìn)一步理解隨機(jī)事件與概率的知識(shí)，使其體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)同現(xiàn)實(shí)世界之間的密切聯(lián)系，鍛煉他們應(yīng)用建模思想的能力.

3 結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用建模思想

3.1 精心設(shè)計(jì)例題教學(xué)，實(shí)現(xiàn)建模思想融入

高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師需精心設(shè)計(jì)例題教學(xué)，讓他們學(xué)習(xí)建模思想的運(yùn)用技巧.高中數(shù)學(xué)教師在平常的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)合理安排例題教學(xué)，以幫助學(xué)生鞏固理論知識(shí)為前提訓(xùn)練數(shù)學(xué)建模能力，并為他們預(yù)留一定的時(shí)間自主解答例題，使其意識(shí)到運(yùn)用建模思想所存在的問(wèn)題，以免在后續(xù)解題中出現(xiàn)類似錯(cuò)誤[4].

在教學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”過(guò)程中，教師可設(shè)計(jì)例題：一個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃安裝一面邊長(zhǎng)是a米的液晶顯示屏，先按照一定距離安裝x根柱子，再在每相鄰的兩根柱子之間都要安裝一塊與柱子高度相同的液晶顯示器，其中每根柱子的成本是6 400元，一塊長(zhǎng)m米的液晶屏幕成本是50 m+100 m2元，假如忽視柱子粗細(xì)與其它感染因素，設(shè)總成本是y元，（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)a=56時(shí)，如何設(shè)計(jì)才能夠保持成本最低？教師可提示學(xué)生結(jié)合例題中的信息建立起相應(yīng)的函數(shù)模型，使其拼湊函數(shù)中的各個(gè)項(xiàng)，采用不等式相關(guān)知識(shí)展開(kāi)求解，讓他們理解這道例題.具體來(lái)說(shuō)，教師引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)題干內(nèi)容構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合題干我們?nèi)菀字絘m=x-1，則變形為下面式子m=ax-1，于是我們考慮構(gòu)建出模型：y=6 400x+50ax-1+100ax-12x-1=6 400x+50a+100a2x-1x∈N*且x≥2；對(duì)上述函數(shù)模型進(jìn)行整理以后得到，當(dāng)且僅當(dāng)64x-1=a2x-1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)a=56，x=8時(shí)成本最低.

3.2 巧妙設(shè)置課后習(xí)題，強(qiáng)化建模思想訓(xùn)練

課后習(xí)題作為課堂教學(xué)的持續(xù)與延伸，在整個(gè)教學(xué)體系中占據(jù)著較為重要的地位，不僅可以幫助學(xué)生鞏固課內(nèi)所學(xué)的理論知識(shí)，還能夠訓(xùn)練解題技巧，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，自然也會(huì)涉及到建模思想.具體來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，應(yīng)該結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容巧妙設(shè)置一組課后練習(xí)題，將建模思想融入到解題教學(xué)中，且給予學(xué)生正確引導(dǎo)，使其利用建模思想找出準(zhǔn)確的解題方向，沿著解題思路建立數(shù)學(xué)模型，由此強(qiáng)化建模思想的訓(xùn)練[5].

例如，在實(shí)施“等比數(shù)列”教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)習(xí)完課本知識(shí)以后，教師可布置這樣一道練習(xí)題：某地政府為治理土地荒漠化現(xiàn)象，到2021年年底，將本地的綠化率提升到40%，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，往后每年綠化率均增加12%，但是原來(lái)的綠化區(qū)有8%會(huì)轉(zhuǎn)化為沙漠，請(qǐng)問(wèn)多少年之后才能夠讓綠化率大于50%（取lg2=0.3）？學(xué)生讀完題目?jī)?nèi)容發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)建一個(gè)等比數(shù)列的模型，處理這道題目的關(guān)鍵是掌握今、明兩年綠化面積之間的關(guān)系，他們結(jié)合題意能夠建立出以下等比數(shù)列模型：設(shè)經(jīng)過(guò)n年綠化面積是an+1，則an+1=an1-8%+1-an×12%，處理之后即為an+1-35＝45（an-35），說(shuō)明數(shù)列an-35的首項(xiàng)是-15、公比是45的等比數(shù)列.根據(jù)題意容易化簡(jiǎn)得到：n≥lg21-3lg2>3，則n=4，也就是說(shuō)最少經(jīng)過(guò)4年綠化，當(dāng)?shù)氐木G化區(qū)才能超過(guò)50%.

綜上所述，教師應(yīng)當(dāng)深刻意識(shí)到融入建模思想的必要性與重要性，在日常教學(xué)中要發(fā)現(xiàn)與制造教學(xué)機(jī)遇，通過(guò)理論知識(shí)講授、實(shí)踐操作、生活資源引入和解題訓(xùn)練等環(huán)節(jié)全方位地滲透建模思想，引領(lǐng)學(xué)生理解與掌握建模思想的內(nèi)涵，使其學(xué)會(huì)運(yùn)用建模思想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與解決實(shí)際問(wèn)題，繼而提高他們的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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[3] 管強(qiáng).基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2021（09）：224-225.

[4] 張漢宇.探索高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略[J].中學(xué)課程資源，2021，17（10）：29-30，33.

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［責(zé)任編輯：李璟］