運(yùn)用整體換元法妙解“多樣式”一元方程

李亞峰

方程是初中數(shù)學(xué)計(jì)算題和應(yīng)用題的一個重要考點(diǎn).解方程也是同學(xué)們必須要掌握的一項(xiàng)基本技能.但很多試題中的方程常與根式、分式等其他形式的數(shù)或式相結(jié)合，使方程的形式變得多樣化，大大提高了解題難度.因此，本文介紹了利用整體換元法求解“多樣式”一元方程的技巧.在利用整體換元法求解方程時，首先要找出將被替換的“整體”，確保替換以后能夠簡化方程；然后求解簡化后的方程；最后將簡化方程的解再代入“整體”，求出真正的未知數(shù)的值.

一、整體換元法妙解一元整式方程

一元整式方程中以二次方程或高次方程居多，求解此類方程時可以采用整體換元法將重復(fù)出現(xiàn)的“整體”設(shè)為新的未知數(shù)（即新“元”），以簡化原方程，降低求解難度. 利用整體換元法求解一元高次方程可以實(shí)現(xiàn)“降次”的目的，將高次化為二次，在求解出新“元”的值后，再代入“整體”，從而求解出原未知數(shù)的值.

例1 解方程（x + 4）2 = 2（x + 4）.分析：這是關(guān)于 x 的一元二次方程，方程中多次出現(xiàn)（x +4）的組合形式，如果將（x +4）整體替換成另一未知數(shù) a ，方程將變得更加簡單.

解：設(shè) a = x +4，則原方程可以簡化為a2 = 2a ，解得 a =0或2，

當(dāng) a =0時，則 x +4=0，解得 x =－4，

當(dāng) a =2時，則 x +4=2，解得 x =－2，

所以，方程的解為 x =－4或－2，

例2解方程 （x2 + 2x）2 - x2 - 2x - 2 = 0 .

分析：這道題直接展開是一個高次方程，求解比較困難.但仔細(xì)觀察后可以發(fā)現(xiàn)，原方程組中有局部（ x2 + 2x）重復(fù)出現(xiàn)，可以參照例1的解法，將整體換元，設(shè) a = x2 + 2x ，這樣可以轉(zhuǎn)化為 a2 - a - 2 = 0 ，通過求解 a 的值再求解未知數(shù) x 的值.

解：設(shè) a = x2 + 2x ，則原方程可以簡化為a2 - a - 2 = 0 ，解得，a =－1或2，

當(dāng) a=－1時，則 x2 + 2x=－1，解得 x=－1，

當(dāng) a =2時，則 x2 + 2x =2，

解得 x =3 - 1或 x = - 3 - 1，

所以方程的解為 x =－1、 3 - 1、- 3 - 1.

評注：尋找方程中的局部“整體”并換元代替能夠簡化方程，將高次方程轉(zhuǎn)化為常規(guī)方程，然后通過二次或多次求解常規(guī)方程的方法就可以達(dá)到求解高次方程的目的.

二、整體換元法妙解一元根式方程

未知數(shù)含在根號下的方程叫作根式方程.其求解的基本思想是通過去根號將根式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解，一般常把方程中含有未知數(shù)的根式作為整體進(jìn)行換元，從而將根式方程整式化，降低求解的難度.其中需要特別注意偶次根式的被開方數(shù)需要大于等于“0”，在“設(shè)元”時，要注意新“元”的限制范圍.

例3 解方程 x - 3 + 2 x - 3 = 3 .

分析：這是一道含有根式的方程，且未知數(shù)有一定的范圍，所以 x ≥ 3.另外（ x - 3）與x - 3 有平方關(guān)系，可以設(shè) t=x - 3 ，將原方程簡化為 t2 + 2t = 3 ，通過求解 t 的值，再借助t=x - 3 解出未知數(shù) x 的值.

解：設(shè)t=x - 3 ，則t ≥ 0，

原方程可簡化為 t2 + 2t = 3 ，

解得，t=－3（舍去）或t=1，

當(dāng) t =1時，則x - 3 =1，解得 x =4，

所以，方程的解為 x =4.

三、整體換元法妙解一元分式方程

整體換元法可以將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，或化為一個簡單的分式方程來求解.我們常把方程中的一個分式作為整體進(jìn)行換元，換元時要注意分子、分母互換的兩個分式可以用新元和它的倒數(shù)來表示.同時，設(shè)元時要注意新元的取值限制（分母≠0），在求得最后結(jié)果時需要加以檢驗(yàn)和舍棄.

評注：用換元法解分式方程，可簡化計(jì)算過程，減少計(jì)算量，是一種常用的方法.在求解該方程的過程中要注意無解的情況，將其舍棄.

整體換元法在解方程中的應(yīng)用十分廣泛，整體換元可將原方程簡化為我們常見的方程，易于解答.整體換元法也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“化未知為已知”的方法，希望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中能夠靈活運(yùn)用該思想方法.