一道教材例題的“變身”

尹雪蔓

數(shù)學解題不應只局限于一道題目的本身，而應能比較類似的題目，用變化的眼光去發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，在比較中深化對知識的理解，掌握解題方法，提高舉一反三和靈活應變的能力。

原題呈現(xiàn) （蘇科版數(shù)學教材八年級下冊第69頁例3）已知：如圖1，在?ABCD中，點E、F在AC上，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

【分析】我們可以利用“平行四邊形的性質(zhì)→尋找三角形全等→線段和角相等→判定平行四邊形”的思路解決問題。

證法一：根據(jù)平行四邊形對邊相等的性質(zhì)定理可知AB=CD，根據(jù)平行四邊形的定義可知AB//CD，所以∠BAE=∠DCF。又因為AE=CF，所以△ABE≌△CDF（SAS），所以BE=DF，∠BEA=∠DFC。根據(jù)“等角的補角相等”可得∠BEF=∠DFE，所以四邊形EBFD是平行四邊形。

證法二：同“證法一”可證得BE=DF。同理，通過證明△ADE≌△CBF（SAS）得到DE=BF，所以四邊形EBFD是平行四邊形。

教材中給予的解法是利用“對角線互相平分”的判定定理來證明。其實質(zhì)是想告訴我們，解決本題，除了“尋找”全等三角形，還可以“構(gòu)造”全等三角形。如圖2，連接BD，BD交AC于點O，構(gòu)造出三角形（△BEO、△BFO、△DEO、△DFO），并證明所構(gòu)造的三角形全等（△BEO≌△DFO、△BFO≌△DEO），進而通過線段和角相等來證明平行四邊形。

變式1 已知：如圖3，在?ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

【解析】變式1是將原例題中的“AE=CF”變成了“BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F”。此時，我們只需連接BD，直接證明△BOE≌△DOF，得出對應線段和角的相等關(guān)系，從而證明平行四邊形。

變式2 已知：如圖4，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交對角線AC于點E、F。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

【解析】變式2是將原例題中的“AE=CF”變成了“∠ABC、∠ADC的平分線分別交對角線AC于點E、F”，同變式1一樣，只是條件改變，證明方法類似（連接BD）。

變式3 如圖5，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別在OB和OD上。

（1）當BE、DF滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由；

（2）當∠AEB與∠CFD滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由。

【解析】此題由原例題的條件“AE=CF”變成了第（1）問的答案“BE=DF”，第（2）問也可以通過上述幾個變式的經(jīng)驗得到結(jié)論（相等）。通過上述幾道變式，我們可以發(fā)現(xiàn)，點E、F的位置是解題的關(guān)鍵，其變化的本質(zhì)特征是點E、F關(guān)于對角線交點O對稱。

同學們要重視教材上的例題和習題，學會從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律。

拓展1 已知：如圖6，點E、F分別是?ABCD對角線AC所在直線上的兩點，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

【解析】本題是圖1的拓展，點E、F的位置從“對角線上”變化為“對角線所在的直線線上”。證明方法類似，在此不再贅述。

拓展2 如圖7，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC=15cm。點E、F分別是線段OA、OC上的動點，點E從點A出發(fā)，以2cm/s的速度向點O運動；點F從點O出發(fā)，以3cm/s的速度向點C運動；當一點到達終點時，停止運動。若點E、F同時開始運動，設運動時間為ts，當t 為何值時，四邊形EBFD是平行四邊形？

【解析】本題是把定點問題變成了動點問題。此時，我們可以根據(jù)已探究出的問題本質(zhì)“只要確保點E、F關(guān)于對角線交點O對稱”，即可判定平行四邊形。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)豫新初級中學）