胸中有丘壑，方能繪山河

劉世雄

【摘要】本文基于整體性和結(jié)構(gòu)化的觀念，以“二次根式”的教學(xué)為例，提出整體性教學(xué)應(yīng)注重知識(shí)間的前后貫連，以舊引新；強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化教學(xué)應(yīng)注重新舊圖式體系的相互作用；整體性結(jié)構(gòu)化教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)連貫的思想、形成普適方法，學(xué)會(huì)用相似的方法做不同的事情，感受類比中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的力量.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次根式；類比

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)推崇“堂堂清”，針對(duì)每節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，推崇大容量、快節(jié)奏，以期達(dá)到當(dāng)堂鞏固的效果.這往往造成教學(xué)過程推進(jìn)過快，知識(shí)的生成著墨不夠，學(xué)生難以形成整體性的知識(shí)結(jié)構(gòu).如果教師沉迷于一個(gè)接一個(gè)的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)，局限在一招一式的雕蟲小技，長(zhǎng)此以往容易迷失在局部，無法形成系統(tǒng)性思維，最終必將導(dǎo)致只見樹木不見森林的后果，學(xué)生的整體性大局觀的形成便成了無源之水無根之木.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在教學(xué)建議中指出，“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，建立對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系”.由此可見，新課程改革注重整體把握教學(xué)內(nèi)容，倡導(dǎo)結(jié)構(gòu)化教學(xué).這不僅要求貫通新舊知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)系，還要求建立聯(lián)系通暢的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知系統(tǒng).正如章建躍博士所言：數(shù)學(xué)教學(xué)要以“研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”為指導(dǎo)，設(shè)計(jì)出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng).在類比中加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體架構(gòu)，在類比中應(yīng)用一般觀念的統(tǒng)攝指引，以實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

為說明上述基本想法，下面筆者結(jié)合近期所聽到的一堂章起始課“二次根式”談起.

1 教學(xué)過程概要與觀課思考

環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境 概念形成

問題1 教材“思考”題：

請(qǐng)嘗試用含有根號(hào)的式子填空：

（1）2的算術(shù)平方根為____.

（2）若正方形的面積為3，則它的邊長(zhǎng)為____；

若正方形的面積為S，則它的邊長(zhǎng)為____.

（3）若矩形的面積為195，且長(zhǎng)是寬的3倍，則它的寬為____；

若矩形的面積為S，且長(zhǎng)是寬的3倍，那么它的寬為____.

學(xué)生思考后回答：（1） /2.（2） /3； /S.

（3） √65； √S/3.

問題 上面問題中，觀察上述問題的結(jié)果.

（1）這些數(shù)與式分別表示什么意義？

（2）從形式上看都有什么共同特征？

思考?xì)w納.

例1 當(dāng)x 取何值時(shí)，下列根式有意義？

（1）√（x－2）；

（2）√（-2x+1）.

觀課思考 環(huán)節(jié)一完整地展示了概念教學(xué)過程中的概念形成過程，從熟悉的面積情境出發(fā)引入課題，借助學(xué)生已有的算術(shù)平方根學(xué)習(xí)經(jīng)歷，既合乎知識(shí)間的邏輯連貫，又符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；緊接著引導(dǎo)學(xué)生觀察所給數(shù)與式，發(fā)現(xiàn)共同特征，歸納定義.

人教版初中數(shù)學(xué)教材從數(shù)到式的教學(xué)編排貫穿始終，因此開篇直接表明從數(shù)到式，體現(xiàn)類比的學(xué)習(xí)模式，類比分?jǐn)?shù)研究分式，再次實(shí)現(xiàn)從一類數(shù)到一類式的跨越.故而在章起始課中，我們首先要通過類比發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象.從算術(shù)平方根出發(fā)，回顧其相關(guān)知識(shí)，再通過板書算術(shù)平方根的定義來構(gòu)建它與二次根式的本質(zhì)聯(lián)系.

環(huán)節(jié)二 互助合作 探究性質(zhì)

思考 如何理解二次根式√a （a≥0）的雙重非負(fù)性？為什么？

探究1 當(dāng)a≥0時(shí)，“a2”化簡(jiǎn)的結(jié)果是怎樣的？

觀課思考 眾所周知，代數(shù)性質(zhì)運(yùn)算中的不變性就是代數(shù)的基本性質(zhì)，其基本方法是“算算看”.所以探究1和探究2均采用填空，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算、觀察、猜想、再利用不完全歸納法歸納出二次根式的性質(zhì).課堂實(shí)踐中，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究，既注意培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，也注重提升歸納概括能力.

但是環(huán)節(jié)二性質(zhì)的探究出現(xiàn)比較突兀，銜接不夠自然，學(xué)生不僅不明白學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)的必要性，更談不上理解與后續(xù)內(nèi)容的邏輯關(guān)系.環(huán)節(jié)一通過類比獲得了研究對(duì)象——二次根式；環(huán)節(jié)二應(yīng)順應(yīng)這種類比，從已有分?jǐn)?shù)到分式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，對(duì)本章學(xué)習(xí)做一個(gè)“全景式”的展望，建立起本章知識(shí)的整體架構(gòu).讓學(xué)生自己可以想到將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生明白所學(xué)內(nèi)容前后的邏輯關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

環(huán)節(jié)三 反思提升 實(shí)現(xiàn)生長(zhǎng)

問題 談一談你對(duì)二次根式定義的理解.說一說這節(jié)課涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

觀課思考 反思提升通過“談一談、說一說”，回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念和性質(zhì)，總結(jié)知識(shí)獲得和技能形成，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思想方法.

2 教學(xué)再設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一 從數(shù)到式

請(qǐng)嘗試用含有根號(hào)的式子填空：

（1）若正方形的面積為3，則它的邊長(zhǎng)為；

若矩形的面積為195，且長(zhǎng)是寬的3倍，則它的寬為___.

（2）若正方形的面積為S，那么它的邊長(zhǎng)為___；

若矩形的面積為S，且長(zhǎng)是寬的3倍，則它的寬為____.

追問：（1）中表示的數(shù)√3和√65表示什么意義？

（2）中的式子與（1）中的數(shù)有怎樣的關(guān)系？它們有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖 直接開篇明義，點(diǎn)明主題從數(shù)到式.例題設(shè)置再次順應(yīng)主題，結(jié)合算術(shù)平方根的定義，明白知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系.由此因勢(shì)利導(dǎo)得出類比要解決的第一個(gè)問題——發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象，二次根式的出現(xiàn)水到渠成.

環(huán)節(jié)二 全景展望

問題1 事實(shí)上，式的學(xué)習(xí)的基本思路、內(nèi)容和方法是一致的，你可以概括研究分式的基本思路、內(nèi)容和方法嗎？

問題2 類似地，你認(rèn)為我們應(yīng)該如何展開二次根式的研究呢？

設(shè)計(jì)意圖 研究二次根式的基本思路、內(nèi)容和方法與分式的研究是一致的，只需要把研究對(duì)象從分式變成二次根式.所以二次根式的學(xué)習(xí)要充分發(fā)揮分式的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從總結(jié)分式學(xué)習(xí)開始.為此可以采取“先行組織者”的教學(xué)策略，以問題串引導(dǎo)學(xué)生展開探究從而實(shí)現(xiàn)類比要解決的第二個(gè)問題——建立本章知識(shí)的整體架構(gòu).

問題3 我們知道分式的性質(zhì)就是分式運(yùn)算中的不變性規(guī)律，類似地，二次根式的性質(zhì)就應(yīng)該從具體的運(yùn)算入手，通過算一算再發(fā)現(xiàn)其不變性規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖 在整體框架下，一般觀念的指引下，研究的方向清晰，研究的內(nèi)容明確，在相同的研究方法指引下，不僅大大降低學(xué)習(xí)的盲目性，而且有力加強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題和提出問題便有了可能.

環(huán)節(jié)三 回顧提升

問題4 可以概括下這節(jié)課我們是如何學(xué)習(xí)的？

設(shè)計(jì)意圖 結(jié)合本節(jié)課的研究歷程，引導(dǎo)學(xué)生形成從數(shù)到式的研究的基本套路，將內(nèi)隱的思維顯性化.正如章建躍博士強(qiáng)調(diào)的“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變.在整體性教學(xué)框架下，通過類比展現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的力量！”

3 基于整體性和結(jié)構(gòu)化的數(shù)與式的教學(xué)再思考

（1）整體性結(jié)構(gòu)化教學(xué)應(yīng)注重知識(shí)間的前后貫連，強(qiáng)調(diào)以舊引新.

數(shù)學(xué)整體性教學(xué)是注重新知和舊知的前后貫連，學(xué)生的認(rèn)知必須建立在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上，通過以舊引新促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成.

數(shù)與式經(jīng)歷了整數(shù)到整式，分?jǐn)?shù)到分式后，二次根式是從算式思維到代數(shù)思維的又一次飛躍.二次根式與實(shí)數(shù)中算術(shù)平方根緊密聯(lián)系，是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根概念的進(jìn)一步的抽象表示.它是特殊的含有根號(hào)的數(shù)到一般地含有根號(hào)的式.所以教學(xué)中一定要加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系，知道從哪里來？將要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？比較中體會(huì)知識(shí)間的前后貫連，以舊引新.

皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》提出結(jié)構(gòu)就是圖式體系的論斷，認(rèn)為新知學(xué)習(xí)是新、舊圖式體系相互作用的過程.因此在新知的教學(xué)中，要把零碎的知識(shí)有效結(jié)成網(wǎng)、組成圖式體系，形成知識(shí)的模塊化.由此可見，在上述教學(xué)環(huán)節(jié)一中可以用圖式體系（圖1）回顧算術(shù)平方根的相關(guān)知識(shí)，讓“舊知”可視化，圖式直觀化，悄無聲息地將學(xué)過的知識(shí)融入新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以舊引新.這種圖式體系好似一張“聯(lián)絡(luò)圖”，讓老師有線索地教，學(xué)生有方向地學(xué).

（2）整體性結(jié)構(gòu)化教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)連貫的思想、形成普適方法

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》的頒布，基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)成為當(dāng)下新課程改革的熱點(diǎn)，倡導(dǎo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向做好單元教學(xué)的整體規(guī)劃.由此可見，與大單元教學(xué)呼應(yīng)的是整體性教學(xué).其目的是讓學(xué)生在整體的學(xué)習(xí)中，建立起適合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普適方法、基本套路.正如章建躍博士提出的代數(shù)研究的一般方法按照“引入——定義、表示、分類——性質(zhì)——運(yùn)算與運(yùn)算律”一以貫之.正是因?yàn)檠芯繉?duì)象相同，研究主題聚焦，研究的思路與數(shù)學(xué)思想一致，容易形成普適方法，獲得基本套路.

項(xiàng)武義教授《基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)》中指出“引入一種新的數(shù)（或式），就要研究它的運(yùn)算……”，由于二次根式對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算得到，因此接著的研究主題自然就是二次根式的運(yùn)算，而對(duì)代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)則是運(yùn)算的本質(zhì)，其化簡(jiǎn)的依據(jù)就是性質(zhì).由此可以看出，性質(zhì)可以保證運(yùn)算結(jié)果的簡(jiǎn)約屬性.這就明白為什么會(huì)在進(jìn)行二次根式運(yùn)算之前要學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì).當(dāng)然在實(shí)際教學(xué)中可以充分發(fā)揮“分式的先行組織者”的示范作用，先概括分式的研究歷程、線索和基本方法，以流程圖的圖式體系呈現(xiàn)（圖2），以期學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，研究的方法有一個(gè)清晰的方向.認(rèn)清學(xué)習(xí)二次根式內(nèi)容的大方向，厘清知識(shí)間的前后邏輯，學(xué)會(huì)用基本套路實(shí)現(xiàn)整體架構(gòu).

這種“全景式”的認(rèn)識(shí)和把握，不僅可以明白知識(shí)的產(chǎn)生以及背后的邏輯；還可以將思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等隱性知識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；這種用相似的方法做不同的事情一般方法，思想連貫、方法普適，極具遷移性.整體性結(jié)構(gòu)化教學(xué)讓教學(xué)主線連貫；研究對(duì)象統(tǒng)一，研究思想一致；整體系統(tǒng)規(guī)劃、教學(xué)目標(biāo)協(xié)同，可高瞻遠(yuǎn)矚的教，亦能胸有成竹的學(xué)，好似胸中有丘壑，輕松繪出數(shù)學(xué)壯美的山河.

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