指向“挑戰(zhàn)性”的高中數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)計(jì)

劉鐵智

【摘 要】當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂提問普遍存在過度誘導(dǎo)的弊端，消除這些弊端的方法就是讓課堂提問充滿“挑戰(zhàn)性”，通過賦予問題真實(shí)的情境、結(jié)構(gòu)化的特征、更多的開放性使學(xué)生已有的認(rèn)知、傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)思維的廣度與深度得到充分的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】挑戰(zhàn)性；誘導(dǎo)性；問題設(shè)計(jì)；深度學(xué)習(xí)

問題既是思維的起點(diǎn)，也是創(chuàng)造的前提，一切發(fā)明創(chuàng)造都是從問題開始的［1］，數(shù)學(xué)教學(xué)就是以不斷地提出問題并解決問題的方式來實(shí)現(xiàn)知識建構(gòu)的過程。好的問題是打開學(xué)生思維的鑰匙、驅(qū)動學(xué)習(xí)進(jìn)程的動力之源，正所謂“問得好即教得好”“善教者必善問”。但在實(shí)際教學(xué)中，由于教師對數(shù)學(xué)問題的教學(xué)功能認(rèn)識不足，在問題設(shè)計(jì)上只強(qiáng)調(diào)“誘導(dǎo)性”，而忽視“挑戰(zhàn)性”，使得課堂提問無法取得預(yù)期的成效。下面筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐來談?wù)勛约旱囊恍┛捶ā?/p>

一、過度誘導(dǎo)引發(fā)的教學(xué)弊端

心理學(xué)家梅耶認(rèn)為，當(dāng)問題解決者想讓某種情境從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N不同的狀態(tài)，而且問題解決者不知道如何掃除兩種狀態(tài)之間的障礙時，就產(chǎn)生了問題；而解決問題的有效辦法就是通過課堂提問來啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的思維，使學(xué)生調(diào)動自身的知識儲備和思維來進(jìn)行問題的分析和探究。由此可見，“誘導(dǎo)性”是課堂提問中所要遵循的一個基本原則。但是課堂提問不能僅關(guān)注“誘導(dǎo)性”，也不能把“誘導(dǎo)性”作為問題設(shè)計(jì)的唯一準(zhǔn)則，否則會引發(fā)一系列教學(xué)弊端。

（一）過度誘導(dǎo)削弱思考能力的形成

問題是一種特殊的情境，是個體面臨一個不易達(dá)到的目標(biāo)和困難課題時的情境，必須運(yùn)用相關(guān)的理論或方法，在教師的引導(dǎo)與啟迪下，師生之間、學(xué)生之間通過思想交流、思維碰撞才能解決問題。因此，問題的一個重要功能就是引發(fā)學(xué)生的獨(dú)立思考，而過度誘導(dǎo)會讓學(xué)生失去思考的能力。

例如，在“導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義”一課中，為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“導(dǎo)數(shù)的值就是切線的斜率”這一結(jié)論，教師設(shè)計(jì)了如下問題。

問題1-1 平均變化率[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的幾何意義是什么？

學(xué)生都知道平均變化率表示的是割線P0P的斜率。

教師首先讓學(xué)生在幾何畫板上動手操作，即拖動點(diǎn)P（[x0+Δx]，[f（x0+Δx）]）沿著曲線f（x）趨近于點(diǎn)P0（[x0]，[f（x0）]），接著又提出了第二個問題。

問題1-2 割線P0P與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系？

教師在給出切線的一般定義后，又提出了下列問題。

問題1-3 在初中時，我們怎樣定義圓的切線？

在學(xué)生回答問題后，教師接著追問。

問題1-4 圓的切線定義適合于任意曲線嗎？現(xiàn)在所學(xué)的切線的定義符合我們在初中學(xué)的圓的切線定義嗎？

教師首先讓學(xué)生畫圖舉出反例，說明圓的切線定義不再適用任意曲線；接著再借助幾何畫板，讓學(xué)生驗(yàn)證現(xiàn)在的切線定義對任意曲線都適用。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)，教師的意圖是以求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意義入手，探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，抓住[Δx→]0的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題。教師讓學(xué)生在獲得直觀感知的基礎(chǔ)上，通過合作探索，親身經(jīng)歷一般曲線切線的發(fā)生、發(fā)展過程，上升到理性思維，形成切線定義，體會逼近的思想。

教師的設(shè)計(jì)意圖沒錯，但是這樣的課堂提問方式能否起到預(yù)期的效果？我們發(fā)現(xiàn)，無論是切線的定義還是對切線定義的驗(yàn)證，學(xué)生都是在教師的“指令”下完成的，例如，教師要求學(xué)生“把點(diǎn)P拖動到點(diǎn)P0”或要求學(xué)生類比圓的切線或直接告訴學(xué)生切線的定義，至于為什么這樣做？這樣做有何目的？學(xué)生根本不知道，教師也沒有給學(xué)生思考的機(jī)會，學(xué)生只是按照教師的指令行事，糊里糊涂地學(xué)。

（二）過度誘導(dǎo)影響學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累

傳統(tǒng)教學(xué)是以知識點(diǎn)為單位逐個實(shí)施教學(xué)，并以獲得知識為最終目標(biāo)的一種教學(xué)方式。因此，傳統(tǒng)教學(xué)中提出的問題針對的就是教材中的特定內(nèi)容，答案也是唯一的或者是教師預(yù)設(shè)好的，目的就是引導(dǎo)學(xué)生在規(guī)定的時間內(nèi)順利發(fā)現(xiàn)與快速掌握有用的結(jié)論。這種“急于求成”的問題設(shè)計(jì)理念容易導(dǎo)致課堂提問出現(xiàn)過度誘導(dǎo)，學(xué)生根本不用動腦筋也能解決問題。

例如，在“基本不等式”一課中，教師為了能夠快速完成基本不等式的幾何證明，設(shè)計(jì)了下面兩個問題。

問題2-1 如圖1，AB是圓O的直徑，過AB上一點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，比較OD，CD長度的大小關(guān)系。

問題2-2 設(shè)AC=a，BC=b，你能利用找到的OD，CD長度的大小關(guān)系解釋基本不等式嗎？

如果教師已經(jīng)明確告訴學(xué)生用基本不等式[a+b2≥ab]進(jìn)行解釋，這兩個問題就無須思考，也無法達(dá)到讓學(xué)生掌握幾何證明的目的。在后續(xù)的教學(xué)中，當(dāng)教師讓學(xué)生從趙爽弦圖中提取基本不等式時，學(xué)生也許根本無從下手，因?yàn)樵谇懊鎯蓚€問題的解決過程中，學(xué)生沒有獲得從幾何圖形中提取不等關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)。因此，過度誘導(dǎo)反而影響學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累。

（三）過度誘導(dǎo)讓學(xué)生“不會學(xué)”

雖然問題的設(shè)計(jì)是在既定的目標(biāo)下，層層深入，由此及彼，從而驅(qū)動學(xué)生思考和實(shí)踐，但過度誘導(dǎo)容易讓學(xué)生對教師產(chǎn)生過度依賴。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于“教師問，學(xué)生答”的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生思維就容易被禁錮在教師的問題中，從而逐步喪失提出問題的意識與能力，無法從“學(xué)會”走向“會學(xué)”。

例如，在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)課中，有的教師就是按照以下設(shè)計(jì)問題來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”。

問題3-1 觀察二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3的圖象，并計(jì)算其零點(diǎn)所在的區(qū)間［2，4］和［-2，0］上端點(diǎn)處的函數(shù)值，并說出你有什么發(fā)現(xiàn)。

在區(qū)間［2，4］上，零點(diǎn)左側(cè)的圖象在x軸下方，零點(diǎn)右側(cè)的圖象在x軸上方。相應(yīng)的函數(shù)f（x）的取值在零點(diǎn)左側(cè)小于0，在零點(diǎn)右側(cè)大于0，即函數(shù)在端點(diǎn)x=2和x=4的取值異號，f（2）f（4）＜0，在區(qū)間［-2，0］亦然。

問題3-2 對于一般的函數(shù)y=f（x），在其零點(diǎn)所在的區(qū)間［a，b］上，f（a）f（b）是否也有上面的結(jié)論？

問題3-3 當(dāng)f（a）f（b）＜0時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的零點(diǎn)個數(shù)情況如何？

問題3-4 當(dāng)f（a）f（b）＞0時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的零點(diǎn)個數(shù)情況如何？

問題3-5 根據(jù)以上結(jié)論，函數(shù)y=f（x）滿足什么條件時，在區(qū)間（a，b）上就一定有零點(diǎn)？

函數(shù)y=f（x）滿足以下兩個條件時，在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)：（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；（2）區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號，即f（a）f（b）＜0。這個結(jié)論我們稱為函數(shù)零點(diǎn)存在定理。

上述問題囊括了構(gòu)成“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”的三個關(guān)鍵點(diǎn)：連續(xù)曲線、f（a）f（b）＜0、有零點(diǎn)。換句話說，這些問題是為這三個關(guān)鍵點(diǎn)量身打造的，所起到的誘導(dǎo)效果應(yīng)該是比較好的，但能否把這些問題遷移運(yùn)用到其他類似定理的建構(gòu)當(dāng)中呢？或者說，學(xué)生經(jīng)歷了“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”的學(xué)習(xí)，能否獲得運(yùn)用函數(shù)視角來研究方程問題的經(jīng)驗(yàn)？答案顯然是否定的。

二、“挑戰(zhàn)性”的問題要“挑戰(zhàn)”什么

神經(jīng)科學(xué)研究表明，“挑戰(zhàn)性”的問題能夠加快大腦中“網(wǎng)狀激活系統(tǒng)”的運(yùn)行，讓大腦分泌更多的多巴胺，讓學(xué)生持續(xù)保持高度興奮的學(xué)習(xí)狀態(tài)［2］。在這種狀態(tài)下，不僅問題解決的進(jìn)程得到加速，而且還會有更多的奇思妙想從學(xué)生頭腦中涌現(xiàn)出來。那么“挑戰(zhàn)性”的問題到底要“挑戰(zhàn)”什么？

（一）挑戰(zhàn)學(xué)生已有的認(rèn)知

皮亞杰的“平衡化”觀點(diǎn)認(rèn)為，認(rèn)知發(fā)展是平衡不斷建構(gòu)的過程，智力正是在有機(jī)體作用于環(huán)境（同化作用）和環(huán)境作用于有機(jī)體（順應(yīng)作用）兩種機(jī)能作用下，經(jīng)過不平衡—平衡—不平衡的不斷循環(huán)往復(fù)，從低到高不斷得以發(fā)展和豐富［3］。在問題設(shè)計(jì)上，教師要提供與已有經(jīng)驗(yàn)相矛盾的內(nèi)容，挑戰(zhàn)學(xué)生已有的認(rèn)知，從而引起認(rèn)知沖突，打破原有的認(rèn)知平衡狀態(tài)，促使其向新的平衡狀態(tài)發(fā)展。

（二）挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式

以聽講、記憶、模仿、練習(xí)為主要形式的學(xué)習(xí)方式，雖然能夠讓學(xué)生在較短的時間里獲得知識，但從長期來看，這種單一的單向傳授、被動接受、機(jī)械訓(xùn)練的學(xué)習(xí)行為容易削弱學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性與能動性。因此，教師應(yīng)通過設(shè)計(jì)“挑戰(zhàn)性”的問題，讓問題的解決變得不那么輕而易舉。例如，獨(dú)立思考、自主探究、動手實(shí)踐、合作交流等，都讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中由“被動”變“主動”，由簡單“學(xué)會”到“會學(xué)”。

（三）挑戰(zhàn)思維的廣度與深度

思維廣度指的是橫向思考的能力，思維深度則體現(xiàn)在集中思考的方向；思維廣度意味著學(xué)生要能夠從多角度獨(dú)立地思考與解決問題，思維深度則更注重通過事物的現(xiàn)象能夠挖掘出其內(nèi)在的本質(zhì)。“挑戰(zhàn)性”的數(shù)學(xué)問題，不僅問題域?qū)拸V，而且站在數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)的制高點(diǎn)，直面思維的廣度與深度，需要學(xué)生通過對新知與已有心理圖式、認(rèn)知框架的整合來實(shí)現(xiàn)問題的解決，最終達(dá)到發(fā)展高階思維能力的目標(biāo)。

三、如何賦予問題更具“挑戰(zhàn)性”

美國心理學(xué)家蓋澤爾斯把數(shù)學(xué)問題大致分為三類：顯現(xiàn)型問題、發(fā)現(xiàn)型問題、創(chuàng)造型問題。顯現(xiàn)型問題的答案、求解思路均是現(xiàn)成的，學(xué)生只需照章辦事，無須想象與創(chuàng)造；發(fā)現(xiàn)型問題雖然有已知答案，但問題是由學(xué)生提出或發(fā)現(xiàn)的，對學(xué)生個體而言，是一種探索、獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)；創(chuàng)造型問題是人們從未提出過的，屬原創(chuàng)性問題［4］。顯然，顯現(xiàn)型問題不具備“挑戰(zhàn)性”，要使問題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)“挑戰(zhàn)性”，需要在發(fā)現(xiàn)型問題與創(chuàng)造型問題上做文章。

（一）賦予問題真實(shí)的情境

賦予問題真實(shí)的情境，就是要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與真實(shí)世界的聯(lián)系，數(shù)學(xué)源于真實(shí)世界又應(yīng)用于真實(shí)世界。真實(shí)情境不僅有助于激發(fā)學(xué)生的求知欲，而且能促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維理解世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界；讓學(xué)生經(jīng)歷從真實(shí)世界中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程，挑戰(zhàn)的是學(xué)生的創(chuàng)新意識與質(zhì)疑精神。

例如，在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”這節(jié)課中，教師可以這樣改進(jìn)問題的設(shè)計(jì)。

情境：如圖2所示，觀察這兩幅圖，回答以下問題。

（1）小馬是否過了河，請說明理由。

（2）如果小馬過了河，小馬的行走路線與河流呈現(xiàn)什么關(guān)系？（行走路線穿過河流）

（3）如果把河流看成x軸，如何用代數(shù)式表示小馬行走的路線“穿過”河流？

“小馬過河”與函數(shù)零點(diǎn)存在定理的意象相通，通過類比過河的條件，建立數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，為數(shù)學(xué)定理的抽象奠定認(rèn)知基礎(chǔ)，明確探究的方向。對學(xué)生而言，要把“穿過”這個幾何現(xiàn)象用代數(shù)式進(jìn)行刻畫非常具有“挑戰(zhàn)性”。首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考“穿過前”與“穿過后”函數(shù)值的變化趨勢，從而發(fā)現(xiàn)f（a）f（b）＜0這一結(jié)論；接著，教師再組織學(xué)生對結(jié)論從充分性與必要性的角度進(jìn)行質(zhì)疑與辨析，從而獲得完整的定理表述。

（二）賦予問題結(jié)構(gòu)化的特征

在對數(shù)學(xué)知識整體把握的基礎(chǔ)上，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，以科學(xué)性和梯度性為原則，將孤立、分散的小問題整合成具有邏輯關(guān)聯(lián)和綜合性、開放性的核心問題，讓學(xué)生圍繞核心問題進(jìn)行深度思考和交流，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)與聯(lián)系。核心問題結(jié)構(gòu)化著力于建構(gòu)一個系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，引領(lǐng)學(xué)生挑戰(zhàn)知識的整體關(guān)聯(lián)建構(gòu)，形成系統(tǒng)方法和思維。

例如，在“導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義”一課中，核心問題就是“如何認(rèn)識切線”，圍繞這個核心問題可以設(shè)計(jì)以下問題。

（1）當(dāng)[Δx→]0時，[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的幾何意義是什么？請用你的方式進(jìn)行說明。（既可以從數(shù)與形兩個角度進(jìn)行說明，也可以借助信息技術(shù)）

（2）請說明割線與切線之間的聯(lián)系。

（3）與函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)的直線是切線嗎？反過來對不對？

（4）能否給切線重新下個定義？

以上教學(xué)設(shè)計(jì)，通過結(jié)構(gòu)化的核心問題作用于學(xué)生主體，按照“切線”內(nèi)部各要素之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行連接、組合，使各部分之間的聯(lián)系條理化、清晰化，從而實(shí)現(xiàn)對切線概念的整體建構(gòu)。

（三）賦予問題更多的開放性

涂榮豹教授認(rèn)為，啟發(fā)探究最重要的就是在教學(xué)中盡可能多采用一些元認(rèn)知問題，即通過提高問題的開放性來激發(fā)學(xué)生探究的積極性。數(shù)學(xué)問題的開放性是相對于傳統(tǒng)的“條件完備、結(jié)論確定”的封閉性而言的，主要體現(xiàn)在條件開放、結(jié)論開放、解決問題的策略開放等方面。問題具備一定的開放性和自由度，能夠給學(xué)生的獨(dú)立思考和主動探究留下更多的時間與空間，提高學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)觀念解決問題的能力。例如，在探索“基本不等式”的幾何證明中，可以設(shè)計(jì)以下開放性問題：在弦圖中，利用面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)重要不等式[a2+b22≥ab]，那么你能否從線段長度的視角構(gòu)造幾何圖形來解釋基本不等式[a+b2≥ab]？

這個問題的結(jié)論具有開放性，構(gòu)造圖形的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣。但正是因?yàn)檫@樣，才有利于教師捕捉?jīng)_突點(diǎn)、引發(fā)思維碰撞，有助于學(xué)生建構(gòu)知識，使每個學(xué)生在原有基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的發(fā)展。

當(dāng)然，“挑戰(zhàn)性”并不等同于“高難度”，不能認(rèn)為“高難度”的問題更具有“挑戰(zhàn)性”。“挑戰(zhàn)性”問題是那些真實(shí)鮮活的、能激發(fā)學(xué)生高階思維且能促進(jìn)知識整合與靈活遷移的問題，它常常以“為什么”“如何”“從哪些方面”等詞語作為開頭，意在激發(fā)學(xué)生的探究欲望，并從不同角度對問題進(jìn)行持續(xù)不斷的思考。設(shè)計(jì)富有“挑戰(zhàn)性”的問題，不僅能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動機(jī)，而且還能為挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)的開展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：陸順演）