雙參數(shù)C半群及其生成和表示定理

秦喜梅　張玉　陳佩樹(shù)　葛國(guó)菊

摘 要：算子半群作為泛函分析的一個(gè)分支，在微分方程、概率論、量子理論等方面有著廣泛的應(yīng)用。如何利用生成元的特性來(lái)研究算子半群與生成元之間的依賴關(guān)系、根據(jù)指數(shù)公式涉及的表達(dá)形式來(lái)研究算子半群的表示問(wèn)題，這些都是算子半群理論討論的經(jīng)典話題。因此對(duì)每一個(gè)半群，它的生成定理、表示定理都是算子半群理論中研究的重要內(nèi)容。本文利用經(jīng)典的算子半群理論和雙參數(shù)C0半群中的方法，把強(qiáng)連續(xù)半群生成元的相關(guān)特性推廣至雙參數(shù)C半群，討論了雙參數(shù)C半群生成元的性質(zhì)及生成定理；受強(qiáng)連續(xù)半群表示定理中指數(shù)公式的啟發(fā)，根據(jù)單參數(shù)C半群的表示定理和C預(yù)解式的性質(zhì)，證明了雙參數(shù)C半群的表示定理。

關(guān)鍵詞：雙參數(shù)C半群；生成元；指數(shù)有界

中圖分類號(hào)：O177.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2023）05-0029-07

1 引言

為求解無(wú)窮維空間上的算子值函數(shù)方程

T（s+t）=T（s）T（t），s，t∈R+，T（0）=I

Hille于1936年開(kāi)啟了對(duì)一些特殊算子半群的研究，使得Banach空間上的算子半群得以蓬勃發(fā)展。1948年K.Yosida和E.Hille提出的無(wú)窮小生成元的概念，建立了基本的表示定理，得到了算子半群很多重要的結(jié)論，其在發(fā)展方程、調(diào)和分析、散射理論、量子場(chǎng)論等領(lǐng)域中有著廣泛地應(yīng)用。而繼C0半群之后，Arent提出的積分半群[1]和Davis和Pang提出的C半群[2]是單參數(shù)算子半群理論逐漸發(fā)展起來(lái)的兩個(gè)主要分支，其理論已日臻完善[3-7]。近年來(lái)，雙參數(shù)以及n參數(shù)半群理論也得到了很多重要的結(jié)論，并有著廣泛地應(yīng)用[8-18]。而算子半群中的生成定理和指數(shù)公式、表示問(wèn)題依然是多參數(shù)算子理論中的兩類熱門(mén)且有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。C半群是強(qiáng)連續(xù)半群的一個(gè)重要推廣。M.Janfada定義了雙參數(shù)C半群，并且討論了兩參數(shù)抽象柯西問(wèn)題解的存在和唯一性[10]；Mohamed Akkouchi等展示了Banach空間上雙參數(shù)半群的理論框架，并推廣了單參數(shù)算子半群的Hille-Yosida定理[11]；薛雙、趙華新等在Banach空間上以單參數(shù)C0群為基礎(chǔ)，結(jié)合雙參數(shù)C半群的無(wú)窮小生產(chǎn)元與C群的性質(zhì)，提出雙參數(shù)C群的無(wú)窮小生成元概念，并討論了雙參數(shù)有界C群無(wú)窮小生成元的性質(zhì)，得出雙參數(shù)有界線性算子在（0，0）處的全微分與C-1的積即為雙參數(shù)有界C群的無(wú)窮小生成元[12]；姚嵐、趙華新等不僅把單參數(shù)的C半群推廣到多參數(shù)的C半群，而且討論了多參數(shù)的C半群對(duì)生成元的連續(xù)依賴等一些關(guān)于多參數(shù)半群生成元的性質(zhì)[13]；根據(jù)經(jīng)典算子半群理論中的方法，畢偉在多參數(shù)n階？琢次積分C半群概念的基礎(chǔ)上，引入了多參數(shù)n階？琢次積分C半群無(wú)窮小生成元的定義，并給出了多參數(shù)n階？琢次積分C半群的生成定理[14]；蔡亮、宋曉秋等根據(jù)單參數(shù)C0半群的指數(shù)公式和Yosida逼近，證明了雙參數(shù)C0半群的表示問(wèn)題中的指數(shù)公式[15]；趙華新、趙拓等利用C半群的Yosida逼近，討論了雙參數(shù)C半群的Yosida逼近指數(shù)公式，其證明方法類似于C0半群表示定理中拆分積分區(qū)間的辦法[16，17]；倉(cāng)定幫等借助概率論這一工具，采用Riemann-Stieltjes積分、矩生成函數(shù)等方法，給出了雙參數(shù)算子半群的概率逼近指數(shù)公式[18]。本文把強(qiáng)連續(xù)半群生成元的相應(yīng)性質(zhì)推廣至雙參數(shù)C半群，得到雙參數(shù)C半群生成元的性質(zhì)及生成定理，并借助C半群的表示定理和C預(yù)解式的性質(zhì)，證明了雙參數(shù)C半群表示問(wèn)題中的指數(shù)公式，此證明方法更具一般性。

設(shè)空間X是一個(gè)Banach空間，且C∈B（X）是單射算子，其中B（X）表示X上的有界線性算子全體所構(gòu)成的Banach空間。所有算子均為線性算子。R+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集。

2 半群的基本概念和表示定理

3 雙參數(shù)C半群

3.1 雙參數(shù)C半群的定義

3.2 雙參數(shù)C半群生成元的性質(zhì)

3.2 雙參數(shù)C半群的生成定理

3.3 雙參數(shù)C半群的表示定理

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要介紹了指數(shù)有界的雙參數(shù)C半群生成元的一些性質(zhì)和雙參數(shù)C半群的生成定理及表示定理，這些結(jié)果有利于以后關(guān)于雙參數(shù)C半群、雙參數(shù)C群等相關(guān)領(lǐng)域的擾動(dòng)、逼近和齊次抽象柯西問(wèn)題及非齊次抽象柯西問(wèn)題的研究。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Ardent W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems[J]. Israel Journal of Mathematics，1987，59（03）：327-352.

〔2〕Davies， E. B.， Pang， M. M. H. The Cauchy Problem and a Generalization of the Hille-Yosida Theorem[J].Pro-ceedings of the London Mathematical Society，1987，55（01）： 181-208.

〔3〕Sen-Yen Shaw， Yuan-Chuan Li. Representation Formulas for C-Semigroups[J]. Semigroup Forum，1993，46： 123-125.

〔4〕孫國(guó)正.α次積分C半群與抽象柯西問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，42（04）：757-762.

〔5〕劉瑞，王小霞.C半群高階微分算子的譜[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，40（02）：103-106.

〔6〕劉杰.一類２×２無(wú)界算子矩陣的壓縮半群生成充要條件[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021， 42（02）：97-101.

〔7〕劉敬懷，宋曉秋.m次積分半群逼近及在抽象Cauchy問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2022，52（01）：245-251.

〔8〕M. Janfada. On Two-Parameter Dynamical Systems and Applications[J]. Joural of Sciences，Islamic Repulic of Iran，2004，15（02）： 163-169.

〔9〕Sh. Al-Sharif，R. Khalil. On the generator of two parameter semigroups[J]. Applied Mathematics and Computation，2004，156： 403-414．

〔10〕M. Janfada. On two-parameter regularized semigroups and the Cauchy problem[J]. Abstract and Applied Analysis， Article ID 415847. Hindawi. Https：//doi.org/10.1155/2009/415847，2009.

〔11〕Mohamed Akkouchi， Mohamed Houimdi，Hicham Lalaoui Rhali. A Theoretical Framework for Two-Para-meter Semigroups[J]. Gulf Journal of Mathematics，2019，7（01）：1-17.

〔12〕薛雙，趙華新，薛風(fēng)風(fēng).雙參數(shù)有界算子C群的生成定理[J].沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，34（01）：41-44.

〔13〕姚嵐，趙華新，龐芙蓉.多參數(shù)C半群無(wú)窮小生成元及其性質(zhì)[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，36（04）：87-89.

〔14〕畢偉.多參數(shù)n階α次積分C半群的生成定理[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，40（03）：61-70.

〔15〕蔡亮，宋曉秋，俞曉紅.雙參數(shù)C0半群的指數(shù)公式與預(yù)解式[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，28（04）：43-45.

〔16〕趙拓，趙華新，徐敏.C半群和雙參數(shù)C半群的指數(shù)公式[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，33（04）：13-15.

〔17〕趙華新，趙拓，徐敏.雙參數(shù)C半群的指數(shù)公式[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，32（01）：44-46.

〔18〕倉(cāng)定幫，閆守峰，陳藏，許璐.雙參數(shù)算子半群概率逼近問(wèn)題[J].南京師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，39（01）：36-40.