指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群的次生成元及其性質(zhì)

周 陽，趙華新，周裕然

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安716000)

算子半群的生成理論是算子半群的重要內(nèi)容之一，許多學者對此作了大量的研究工作。文獻[1-11]分別對局部有界雙連續(xù)n次積分C半群、n階α次積分C半群、指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C半群、雙參數(shù)n階α次積分C半群以及指數(shù)有界雙連續(xù)α次積分C半群等半群的概念、生成元、預(yù)解集、逼近及其相關(guān)性質(zhì)進行了研究?；谏鲜鑫墨I，本文提出了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群的定義，并研究了其次生成元的一些性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

在本文中，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)，

D(A)為線性算子A的定義域，設(shè)n∈N，α≥0。

T=0當且僅當存在n≥0，使JnT(t)=0，t≥0。

定義3[1]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界的，如果存在M≥0，ω∈R使T(t)≤Meωt，?t≥0成立。

2 主要結(jié)果

定義4 設(shè)n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，算子族{T(t):?t∈R}?B(X)被稱為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群，則以下條件成立：

(2)存在閉線性算子A，滿足

?x∈X,t∈R,JnT(t)∈D(A),

?x∈D(A),t∈R,

(3){T(t):?t∈R}?B(X)τ連續(xù)，即對每個x∈X映射(t→T(t)x)τ連續(xù)；

(5)存在M≥0，ω∈R使T(t)≤Meωt，

?t≥0。

稱A是{T(t)：?t∈R}?B(X)的次生成元，把Gτ(M,ω,C,t)記成為X內(nèi)的所有指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群。

T(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是A；當t≤0，T(-t)也是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是-A。

當t≥0時，把T(t)記作T1(t)，下面驗證T1(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是A。

CT1(t)=CT(t)=T(t)C=T1(t)C；

(2)任意x∈X，t≥0，有

(3)任意x∈D(A),t≥0,有

JnT(t)Ax=JnT1(t)Ax。

所以T1(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是A。

當t≤0時，把T(t)記作T2(t)，設(shè)T2(t)=T(-t)，下面驗證T2(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是-A。

T2(t)C=T(-t)C=CT(-t)=CT2(t)；

(2)任意x∈X,t≥0，有

AJnT(-t)x=AJnT2(t)x=-AJnT2(u)x,

t=-u；

(3)任意x∈D(A)，t≥0，有

JnT(-t)Ax=JnT2(t)Ax=

-JnT2(u)Ax=JnT2(u)(-A)x,

t=-u。

所以T2(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是-A。

定理得證。

由定理1知當t≥0時，把T(t)記作T1(t)，

T1(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是A，則

任意x∈X,t,s≥0，有

AJnT(s)T(t)x=AJnT(t)T(s)x=

AJnT1(t)T1(s)x=AJnT1(s)T1(t)x。

任意x∈D(A),t,s≥0，有

JnT(s)T(t)Ax=JnT(t)T(s)Ax=

JnT1(t)T1(s)Ax=JnT1(s)T1(t)Ax。

則AJnT(s)T(t)x=AJnT(t)T(s)x=

AJnT1(t)T1(s)x=AJnT1(s)T1(t)x=

JnT(s)T(t)Ax=JnT(t)T(s)Ax=

JnT1(t)T1(s)Ax=JnT1(s)T1(t)Ax。

由指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的定義知，對任意x∈D(A)，有

(1)T1(t)x=T(t)x∈D(A)；

(2)AT1(t)x=AT(t)x=T(t)Ax=T1(t)Ax，

?t≥0。

當t≤0時，把T(t)記作T2(t)，設(shè)T2(t)=T(-t)，T2(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群，次生成元是-A。

任意x∈X,t,s≤0，有

AJnT(-s)T(-t)x=AJnT(-t)T(-s)x=

AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

AJnT2(u)T2(t)x,

s=-u。

任意x∈D(A),t,s≤0，有

JnT(-s)T(-t)Ax=JnT(-t)T(-s)Ax=

JnT2(t)T2(s)Ax=JnT2(s)T2(t)Ax=

JnT2(t)T2(u)(-A)x=

JnT2(u)T2(t)(-A)x,

s=-u。

則AJnT(-s)T(-t)x=AJnT(-t)T(-s)x=

AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

-AJnT2(u)T2(t)x=JnT(-s)T(-t)Ax=

JnT(-t)T(-s)Ax=JnT2(t)T2(s)Ax=

JnT2(s)T2(t)Ax=JnT2(t)T2(u)(-A)x=

JnT2(u)T2(t)(-A)x。

由指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的定義知，對任意x∈D(A)，有

(1)T2(t)x=T(-t)x∈D(-A)；

(2)(-A)T2(t)x=(-A)T(-t)x=

T(-t)(-A)x=T2(t)(-A)x，?t≤0。

定理得證。