空翻旋轉(zhuǎn)模型證明全等

趙紅余

撫順市第十五中學(xué)趙青麗老師的直播課“借空翻旋轉(zhuǎn)全等 提演繹推理能力”選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個性化提升.

趙青麗老師的直播課，從幾何綜合題的四種解題策略七種解題方法進(jìn)行探究，運用一題多解的方式，從不同的角度尋找空翻旋轉(zhuǎn)中心以證明全等，幫助同學(xué)們結(jié)合動態(tài)圖形理解、總結(jié)空翻旋轉(zhuǎn)的特點及其在全等證明中的重要作用.

模型識別

1.等邊三角形：（1）旋轉(zhuǎn)點P在等邊三角形ABC的一邊上，如圖1，結(jié)論為△AEP ≌ △PCD，AP = DP；

（2）旋轉(zhuǎn)點P在等邊三角形ABC的一邊的延長線上，如圖2，結(jié)論為△AEP ≌ △PCD，AP = DP.

2.等腰直角三角形：（1）旋轉(zhuǎn)點P在等腰直角三角形ABC的一邊上，∠C = 90°，AC = BC，如圖3，結(jié)論為△AEP ≌ △PBD，AP = DP；（2）旋轉(zhuǎn)點P在等腰直角三角形ABC的一邊的延長線上，∠C = 90°，AC = BC，如圖4，結(jié)論為△AEP ≌ △PBD，AP = DP.

3.一般等腰三角形：旋轉(zhuǎn)點P在等腰三角形ABC的一邊上，AC = BC，如圖5，結(jié)論為△AFP ≌ △PBE，AP = EP.

4.正方形：（1）旋轉(zhuǎn)點P在正方形ABCD的一邊上，如圖6，結(jié)論為△AFP ≌ △PCE，AP = EP；（2）旋轉(zhuǎn)點P在正方形ABCD的一邊的延長線上，如圖7，結(jié)論為△AFP ≌ △PCE，AP = EP.

典例探究

例 如圖8，在等邊三角形ABC中，E是BC邊上的一點，G為BC延長線上一點，過點E作∠AEM = 60°，交∠ACG的平分線于點M，求線段AE與線段EM的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)法指導(dǎo)1：如圖9，在 BA上取一點H使AH = CE，連接EH. 利用等邊三角形邊長相等的特點，證明△AHE ≌ △ECM，即可得到AE = EM.

學(xué)法指導(dǎo)2：如圖10，將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BF，連接CF，EF，易證EM[?]CF，CM[?]EF，可得四邊形MCFE為平行四邊形，從而可知AE = EM.

學(xué)法指導(dǎo)3：如圖11，作A關(guān)于BC的對稱點F，連接AF，CF，EF，易證∠BCF + ∠BCA + ∠ACM = 180°，可知M，C，F(xiàn)三點在同一條直線上，則△MEF為等腰三角形，可得AE = EM.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★解題時間：10分鐘

如圖12，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A，B重合），連接DE，點A關(guān)于直線DE的對稱點為F，連接EF，并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE，交DG的延長線于點H，連接BH.（1）求證：GF = GC. （2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明. （答案見第27頁）

〔作者單位：遼寧省實驗中學(xué)（初中部）〕