明算理建算法，探究小學(xué)除法運(yùn)算本質(zhì)

張苒

摘? 要：除法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的地位至關(guān)重要，影響著學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，部分教師僅根據(jù)教學(xué)表面呈現(xiàn)的內(nèi)容按部就班地開(kāi)展教學(xué)，通過(guò)做大量的題對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算能力訓(xùn)練，并未深入剖析學(xué)生出錯(cuò)的內(nèi)在原因。文章在除法意義和數(shù)的意義教學(xué)基礎(chǔ)上，以“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”主題單元為例，分析學(xué)生出錯(cuò)的內(nèi)在原因，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，創(chuàng)新教學(xué)模式，分析除法運(yùn)算的本質(zhì)，建構(gòu)有關(guān)除法運(yùn)算的新體系。

關(guān)鍵詞：除法運(yùn)算；除法算理；運(yùn)算能力

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”是對(duì)除法意義地再理解和應(yīng)用，計(jì)算過(guò)程與除數(shù)是一位數(shù)的除法相比更為復(fù)雜，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中，由于部分教師看不到教材背后隱藏的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，容易依據(jù)教材照本宣科，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程忽視除法運(yùn)算中的內(nèi)在聯(lián)系和學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)成了一種機(jī)械化的操作。同時(shí)將學(xué)生的錯(cuò)誤原因歸結(jié)為“粗心”“馬虎”，卻很少去關(guān)心除去心理層面上的粗心、馬虎之外，學(xué)生真正的錯(cuò)誤原因。

基于此，本研究以“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”為例進(jìn)行了教學(xué)整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐，在除法意義和數(shù)的意義學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際情況，給予學(xué)生自主探索的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)操作、交流、反思等活動(dòng)自主遷移以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，理解除法運(yùn)算的本質(zhì)，明晰除法運(yùn)算的算理，掌握除法運(yùn)算的方法，建構(gòu)有關(guān)除法運(yùn)算的新體系，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。

一、單元教學(xué)設(shè)計(jì)分析及具體概念

（一）課標(biāo)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０２２年版）》指出：運(yùn)算能力作為運(yùn)算教學(xué)的核心素養(yǎng)之一，主要是指“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算規(guī)律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。

結(jié)合本單元的教學(xué)，提升學(xué)生的運(yùn)算能力便體現(xiàn)在認(rèn)識(shí)除法運(yùn)算是對(duì)除法意義的再次應(yīng)用和深入理解；能夠通過(guò)四則運(yùn)算之間的關(guān)系獲得除法運(yùn)算的結(jié)果；掌握豎式作為一種程序化方法可以更為合理簡(jiǎn)潔地獲得除法運(yùn)算的結(jié)果。

（二）教材分析

通過(guò)縱向梳理北師大版教材中有關(guān)除法的教學(xué)內(nèi)容，可以歸納為從生活情境引入，豐富對(duì)除法意義的理解；強(qiáng)調(diào)對(duì)算理的深入理解，體會(huì)除法運(yùn)算的本質(zhì)；強(qiáng)調(diào)算法的優(yōu)化過(guò)程，將算理算法合為一體等方面。三年級(jí)除數(shù)是一位數(shù)的除法，包含口算和豎式計(jì)算。通過(guò)對(duì)教材的梳理發(fā)現(xiàn)，三年級(jí)所涉及的兩個(gè)除法單元教學(xué)，其運(yùn)算結(jié)果的獲得均經(jīng)歷了從實(shí)物操作到豎式計(jì)算的過(guò)程，學(xué)生認(rèn)識(shí)到計(jì)數(shù)單位發(fā)生了轉(zhuǎn)化，由一變成了十。有了這樣的新認(rèn)識(shí)，在一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程中，兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法可以依據(jù)十進(jìn)位值制進(jìn)行“拆數(shù)”轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法，而除法運(yùn)算就是不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位的過(guò)程。

四年級(jí)學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法，８０÷２０作為除數(shù)兩位數(shù)除法的起始課，就是看８０里面包含幾個(gè)２０。獲得結(jié)果的過(guò)程是從具體操作到豎式計(jì)算，仍舊是對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的操作。但與三年級(jí)教學(xué)內(nèi)容不同的是，這次是在計(jì)數(shù)單位相同時(shí)，看被除數(shù)與除數(shù)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)之間的包含關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)計(jì)數(shù)單位為十時(shí)，８０就是８?jìng)€(gè)１０，２０就是２個(gè)１０，８０里面有幾個(gè)２０就是看８里面有幾個(gè)２。這也就是為什么８÷２＝４，所以８０÷２０也＝４的道理。用豎式記錄這個(gè)過(guò)程，８０里面有４個(gè)２０，所以商就要寫在個(gè)位上。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，兩位數(shù)除以整十?dāng)?shù)的除法再次轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法，除法運(yùn)算仍舊體現(xiàn)的是對(duì)計(jì)數(shù)單位的操作。

（三）單元具體概念

學(xué)生有能力遷移之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自主探索除數(shù)是兩位數(shù)除法的運(yùn)算算理和算法，因此教學(xué)單元的具體概念確定為：１． 基于除法的意義和數(shù)的意義尋求合理的運(yùn)算方法。２． 四則運(yùn)算之間的關(guān)系，十進(jìn)位值制可以幫助理解除數(shù)是兩位數(shù)除法的運(yùn)算道理。在計(jì)數(shù)單位相同的情況下，除數(shù)是兩位數(shù)的除法可以表示計(jì)算單位個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。３． 在遵從除法運(yùn)算法則的前提下，可以利用乘法進(jìn)行除數(shù)是兩位數(shù)除法的試商和調(diào)商。這樣獲得運(yùn)算結(jié)果的過(guò)程可以用豎式記錄。４． 本單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將會(huì)遷移至后續(xù)學(xué)習(xí)中，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。

二、學(xué)生前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分析

學(xué)生對(duì)除數(shù)是兩位數(shù)除法的前期基礎(chǔ)掌握情況如何，是否可以基于自己對(duì)除法意義的理解尋找到正確的商？為此，在單元教學(xué)之前，教師對(duì)北京石油學(xué)院附屬小學(xué)四年級(jí)（１２）班３７名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情調(diào)研。

１． 調(diào)研問(wèn)題：計(jì)算下面各題，寫一寫你用了哪些方法找到運(yùn)算結(jié)果。

（１）２００÷５０（２）１８４÷４６（３）６３９÷２９（４）９１５÷１２

２． 調(diào)研結(jié)果：

（１）多數(shù)學(xué)生能夠找到正確的運(yùn)算結(jié)果。

３７名學(xué)生中有２８人四道題目全部正確，四道題目的正確率如表１。

測(cè)試前原本以為除數(shù)是兩位數(shù)的除法應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但調(diào)研結(jié)果出乎意料。學(xué)生如何運(yùn)用知識(shí)遷移解決新問(wèn)題？到底是哪些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)在遷移中起了作用？這些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法是否有幫助？為此筆者對(duì)１０名學(xué)生進(jìn)行了訪談。訪談發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生會(huì)計(jì)算，但是說(shuō)不清楚這樣算的道理；有的學(xué)生是遷移了三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算方法，不斷平均分計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，找到除數(shù)是兩位數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。這種知識(shí)經(jīng)驗(yàn)也是后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)除法的關(guān)鍵因素，這為該單元的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)提供了學(xué)情支持。

在對(duì)運(yùn)算錯(cuò)誤的學(xué)生進(jìn)行分析中發(fā)現(xiàn)：試題（１）問(wèn)題比較大；試題（２）（３）（４）都是在乘法和減法運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。從試題（１）的錯(cuò)例分析中，可以看到除法豎式的算理仍然需要厘清和明確。

（２）學(xué)生試商的方式豐富多樣。 在對(duì)運(yùn)算結(jié)果正確試題分析中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生尋找正確結(jié)果的方式豐富多樣。有依據(jù)乘法與除法、減法與除法、加法與除法的關(guān)系找到正確運(yùn)算結(jié)果的，也有直接試商的。在試商中又有不同，有的學(xué)生把除數(shù)估成整十?dāng)?shù)；有的學(xué)生從１開(kāi)始試商；有的學(xué)生從９開(kāi)始試商；有的從５開(kāi)始試商。不同的運(yùn)算方法為學(xué)生明確算理提供了支持，多樣的試商方式為后續(xù)靈活地試商奠定了基礎(chǔ)。這些發(fā)現(xiàn)都為該單元知識(shí)點(diǎn)的重組提供了有力的依據(jù)。

（３）學(xué)生對(duì)有余數(shù)除法存在好奇。在調(diào)研訪談中還發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生對(duì)有余數(shù)的除法存疑，有的學(xué)生問(wèn)道：“個(gè)位余下的數(shù)還能繼續(xù)除嗎？”這個(gè)問(wèn)題反映了兒童的好奇心和想象力，他們想到了整數(shù)除法以外的世界，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探究，能夠幫助兒童發(fā)現(xiàn)除法豎式的本質(zhì)。兒童的真實(shí)問(wèn)題是寶貴的思維火花，這些火花一碰即燃，能夠引領(lǐng)學(xué)生自主探究和發(fā)現(xiàn)。因此，是該單元學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)的寶貴資源。

三、遷移—理解—知能—情感（ＴＵＫＥ）學(xué)習(xí)目標(biāo)及結(jié)果表現(xiàn)

（一）遷移—理解—知能—情感（ＴＵＫＥ）學(xué)習(xí)目標(biāo)

１． 遷移（Ｔ）目標(biāo)：體會(huì)到四則運(yùn)算是對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的操作，在后續(xù)除法學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠利用除法意義和數(shù)的意義進(jìn)行合理嘗試。

２． 理解（Ｕ）目標(biāo)：經(jīng)歷除數(shù)是兩位數(shù)除法算理和算法的探究過(guò)程，基于除法意義和數(shù)的意義可以解釋除法運(yùn)算的道理；豎式可以記錄對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的操作過(guò)程。

３． 知能（Ｋ）目標(biāo)：理解除數(shù)是兩位數(shù)除法的算理，掌握除數(shù)是兩位數(shù)除法的算法，進(jìn)一步體會(huì)除法意義；能夠熟練計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，并解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展運(yùn)算能力。

４． 情感（Ｅ）目標(biāo)：感受學(xué)習(xí)除法運(yùn)算的價(jià)值，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中體會(huì)到自主探究和交流分享的快樂(lè)，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

（二）結(jié)果表現(xiàn)

依據(jù)單元具體觀念和學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

１． 能夠用多種方法獲得除數(shù)是兩位數(shù)除法運(yùn)算的結(jié)果，并說(shuō)明可以這樣算的道理；２． 能夠歸納概括三位數(shù)除以兩位數(shù)的試商和調(diào)商的方法，并應(yīng)用這些方法獲得運(yùn)算的結(jié)果；３． 能夠掌握計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的豎式除法的計(jì)算方法，并解決實(shí)際問(wèn)題。

四、單元結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)任務(wù)序列

根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，將上述關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步分解，同時(shí)梳理分析教材中的學(xué)習(xí)任務(wù)，得到該單元的學(xué)習(xí)任務(wù)序列（如圖１）。

（一）多種運(yùn)算方法，明確除法求商的算理

經(jīng)過(guò)調(diào)研分析可知，學(xué)生能夠運(yùn)用多種方法找到除法的正確結(jié)果。無(wú)論用加法、減法、乘法、除法還是哪一種方法，其表達(dá)的意思是一致的，都是在找尋找較大數(shù)里面有幾個(gè)相同的較小數(shù)，這正是后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法需要遷移的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，教師給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在對(duì)話中逐漸明晰除法算理，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供遷移的力量。因而學(xué)習(xí)任務(wù)中筆者設(shè)計(jì)了任務(wù)１～４。在學(xué)習(xí)任務(wù)３中，試圖讓學(xué)生列舉一組商一致的除法算式，探尋商一致背后的道理，使學(xué)生將除法算理理解得更深入清晰。

（二）自主遷移舊知，分享除法試商方式

從學(xué)生調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生各自有著不同的試商方式，在這樣的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，可以嘗試讓學(xué)生在課堂中分享自己的方式方法，促使學(xué)生在交流中相互學(xué)習(xí)、相互借鑒，以達(dá)到靈活運(yùn)算的學(xué)習(xí)目的。因而筆者將教材中三課時(shí)的試商整合為任務(wù)５。

（三）提煉試商經(jīng)驗(yàn)，鞏固試商方法

運(yùn)算追求的是簡(jiǎn)潔、正確、靈活且相對(duì)快速，僅僅掌握運(yùn)算的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到以上要求。因而，設(shè)計(jì)了任務(wù)６～７。希望學(xué)生能夠在辨析錯(cuò)誤中，提煉試商的經(jīng)驗(yàn)，固化試商的方法。

（四）反思除法求商本質(zhì)，滿足學(xué)生好奇

任務(wù)８～１０帶領(lǐng)學(xué)生回顧整數(shù)除法的學(xué)習(xí)歷程，希望在回顧反思中能夠喚起學(xué)生的回憶；在交流中激發(fā)學(xué)生的思考，幫助學(xué)生尋根溯本，找到除法運(yùn)算的本質(zhì)；為后續(xù)自主學(xué)習(xí)積蓄遷移的力量。

在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元教學(xué)研究中，通過(guò)闡述分析單位學(xué)習(xí)主題、具體概念及學(xué)生前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)該單元特點(diǎn)建立遷移－理解－知能－情感（ＴＵＫＥ）學(xué)習(xí)目標(biāo)和結(jié)果表現(xiàn)，并根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，詳細(xì)分解和梳理分析學(xué)習(xí)任務(wù)，明確本單元的學(xué)習(xí)任務(wù)序列。通過(guò)進(jìn)行上述研究分析，確定除法運(yùn)算算理，培養(yǎng)學(xué)生自主遷移的能力，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。

參考文獻(xiàn)：

［１］王焱烽． 學(xué)生的“深度理解”是怎樣煉成的——特級(jí)教師夏永立《除數(shù)是兩位數(shù)的除法練習(xí)》教學(xué)賞析［Ｊ］． 小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，２０２２（２０）：６３－６５．

［２］任志梅，史頌． 整體視角下單元備課，助力學(xué)生學(xué)習(xí)力提升——以“除數(shù)是兩位數(shù)除法”為例［Ｊ］． 華夏教師，２０２２（１０）：１９－２２．

［３］方蘇云． 基于大概念，構(gòu)建單元整合教學(xué)——以“小數(shù)除法”與“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”兩個(gè)單元為例［Ｊ］． 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），２０２２（０３）：４０－４４．

（責(zé)任編輯：莫唯然）