集合思想作統(tǒng)領(lǐng)　經(jīng)典問(wèn)題創(chuàng)新意

李娜娜　陳昕

摘? 要：“有限樣本空間與隨機(jī)事件”是一節(jié)較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)概念課. 這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施較好地遵循了數(shù)學(xué)概念獲得的一般流程. 作為高中“概率”單元的起始課，這節(jié)課著眼于大單元教學(xué)目標(biāo)，采用基于情境和問(wèn)題導(dǎo)向的課堂教學(xué)方式，從學(xué)生初中階段的學(xué)習(xí)認(rèn)知出發(fā)，逐步形成以集合論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)觀，建立在集合基礎(chǔ)上的樣本空間與隨機(jī)事件的概念. 在教師的引導(dǎo)下，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)貫穿了整堂課教與學(xué)的過(guò)程，幫助學(xué)生獲得“四基”，提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：概念課；集合思想；問(wèn)題導(dǎo)向；數(shù)學(xué)探究

“有限樣本空間與隨機(jī)事件”是人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第十章“概率”第一節(jié)“隨機(jī)事件與概率”第1課時(shí)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是以經(jīng)典問(wèn)題和情境為載體，建立在集合基礎(chǔ)上的樣本空間與隨機(jī)事件的概念，為后續(xù)概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

樣本空間與隨機(jī)事件等概念的探究過(guò)程滲透歸納類比、數(shù)學(xué)抽象、模型轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，關(guān)注數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)課型按教學(xué)內(nèi)容和形式分類，可以分為概念課、規(guī)則課、解題課和復(fù)習(xí)課等.“有限樣本空間與隨機(jī)事件”是一節(jié)典型的概念課，具有很強(qiáng)的代表性. 下面就從執(zhí)教教師對(duì)本節(jié)課的教學(xué)定位、樣本空間和隨機(jī)事件概念的抽象、本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施三個(gè)角度談?wù)劰P者的看法.

一、關(guān)于本節(jié)課的教學(xué)定位

1. 課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)“有限樣本空間與隨機(jī)事件”的要求是“結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系”. 在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生在初中階段已經(jīng)形成了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件描述性的感性認(rèn)識(shí)，但不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫(huà)隨機(jī)事件，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確地理解隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件的關(guān)系，不能表達(dá)事件與事件的關(guān)系，進(jìn)而不能解決生活中更為復(fù)雜的概率問(wèn)題. 因此，教師需要結(jié)合大量實(shí)例情境，搭設(shè)合適的探究過(guò)程和遞進(jìn)的啟發(fā)問(wèn)題，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生理解引入集合語(yǔ)言對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行刻畫(huà)的合理性和必要性.

作為高中“概率”單元的起始課，基于整體單元化教學(xué)的需要，本節(jié)課兼具知識(shí)預(yù)備和單元導(dǎo)引的雙重價(jià)值——架起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中新、舊知識(shí)之間的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生了解概率的研究對(duì)象、研究方法和研究路徑. 主要任務(wù)是抽象概率的研究對(duì)象，重點(diǎn)是抽象出有限樣本空間和隨機(jī)事件的概念. 在初中描述性定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)不同實(shí)例抽象出概念，進(jìn)一步用集合工具對(duì)有限樣本空間、樣本點(diǎn)、隨機(jī)事件等核心概念用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行精確、簡(jiǎn)潔地表達(dá).

2. 為什么要引入樣本空間

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法和語(yǔ)言，幾乎所有的數(shù)學(xué)過(guò)程都從構(gòu)造集合開(kāi)始，概率論也不例外. 用集合語(yǔ)言重構(gòu)相關(guān)概念有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)方法與思想研究數(shù)學(xué)問(wèn)題；符號(hào)化語(yǔ)言描述概率問(wèn)題更加簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確；把隨機(jī)事件看成樣本空間的子集，揭示了隨機(jī)事件的本質(zhì)；類比集合的關(guān)系與運(yùn)算，更好地理解事件的關(guān)系和運(yùn)算的意義；有利于揭示隨機(jī)變量的本質(zhì)（樣本空間到實(shí)數(shù)集的映射）.

3. 教學(xué)問(wèn)題診斷及突破策略

經(jīng)過(guò)初中階段的學(xué)習(xí)，加之直覺(jué)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件有了初步的感性認(rèn)識(shí). 本節(jié)課用集合語(yǔ)言對(duì)“隨機(jī)事件”的概念進(jìn)行重構(gòu)，是學(xué)生首次接觸. 選擇集合語(yǔ)言表示樣本空間，是概率建模的關(guān)鍵一步，但面對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的不同結(jié)果，學(xué)生首先想到的是用“自然語(yǔ)言”表達(dá)，缺乏用適當(dāng)集合語(yǔ)言構(gòu)建樣本空間的程序與技巧. 因此，自然語(yǔ)言和集合語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).

為了突破這一難點(diǎn)，執(zhí)教教師從學(xué)生熟知的拋擲骰子試驗(yàn)入手，通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生自主探究、交流分享，并及時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)反饋. 以“隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”為導(dǎo)向，以“不同語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換”為手段，針對(duì)樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系等提出一系列問(wèn)題，層層遞進(jìn)，貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).

二、關(guān)于樣本空間和隨機(jī)事件的概念抽象

本節(jié)課最關(guān)鍵的內(nèi)容為樣本空間和隨機(jī)事件概念的抽象. 執(zhí)教教師對(duì)這兩個(gè)概念抽象的流程非常清晰.

樣本空間的概念抽象過(guò)程：提供具體的隨機(jī)試驗(yàn)—分析試驗(yàn)的可能結(jié)果—語(yǔ)言描述—符號(hào)表示—樣本點(diǎn)—集合表示所有樣本點(diǎn)—樣本空間—有限樣本空間.

隨機(jī)事件的概念抽象過(guò)程：描述性定義—明確事件發(fā)生的意義—逐步將隨機(jī)事件抽象為樣本空間的子集.

在概念的抽象過(guò)程中，執(zhí)教教師通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，給予學(xué)生充分探究與展示交流的機(jī)會(huì)，特別重視訓(xùn)練學(xué)生自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化.

三、關(guān)于本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1. 設(shè)置感性情境，抽象理性概念

首先，執(zhí)教教師將數(shù)學(xué)課堂與信息技術(shù)相融合，選擇學(xué)生熟悉的拋硬幣試驗(yàn)與有趣的謝爾賓斯基三角形試驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境，運(yùn)用GeoGebra軟件和Matlab軟件編程，制作重復(fù)試驗(yàn)動(dòng)畫(huà)，使學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：一次拋硬幣試驗(yàn)具有“偶然性”，但大量重復(fù)試驗(yàn)之后，結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)“穩(wěn)定性”（如圖1）；一開(kāi)始點(diǎn)的產(chǎn)生具有隨機(jī)性，呈“散亂”狀態(tài)，當(dāng)大量點(diǎn)（3 000余個(gè)）出現(xiàn)的時(shí)候，結(jié)果也呈“穩(wěn)定”狀態(tài)（如圖2）. 這種感性的情境激發(fā)了學(xué)生的好奇心，也引發(fā)了學(xué)生的理性思考. 從“偶然性”到“穩(wěn)定性”，從“散亂”到“穩(wěn)定”，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣.

接下來(lái)，為引入集合語(yǔ)言，執(zhí)教教師選擇了學(xué)生非常熟悉的拋擲骰子試驗(yàn)作為情境，并針對(duì)試驗(yàn)結(jié)果提出六個(gè)問(wèn)題：可能出現(xiàn)哪些點(diǎn)數(shù)？出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是奇數(shù)嗎？出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是3的倍數(shù)嗎？出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是3嗎？出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)大于0嗎？出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)會(huì)是7嗎？前五個(gè)問(wèn)題較容易回答，第六個(gè)問(wèn)題學(xué)生能自然想到用空集[?]來(lái)表示.

執(zhí)教教師趁勢(shì)引導(dǎo)，與學(xué)生充分互動(dòng)、交流，將六個(gè)問(wèn)題的結(jié)果都統(tǒng)一為集合的形式，實(shí)現(xiàn)將每個(gè)事件都跟集合對(duì)應(yīng)起來(lái). 這是實(shí)現(xiàn)理性抽象，用集合語(yǔ)言精準(zhǔn)表達(dá)的過(guò)程. 圖表的呈現(xiàn)，更加直觀地展示了樣本點(diǎn)、樣本空間與隨機(jī)事件、基本事件等的關(guān)系，如圖3所示.

2. 設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，提升能力素養(yǎng)

探究1：足球比賽的開(kāi)球權(quán)是由主裁判“拋硬幣”決定的. 在一場(chǎng)足球比賽開(kāi)賽前，主裁判拋擲一枚專用的硬幣，觀察它落地時(shí)朝上的面的情況，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

方法1：Ω₁用圖片表示，Ω₁={正面的圖片，反面的圖片}.

方法2：Ω=正面，反面.

方法3：設(shè)用z表示“正面”，用 f 表示“反面”，則Ω₁={z，f}.

方法4：設(shè)用1表示“正面”，用0表示“反面”，則Ω₁={1，0}.

學(xué)生口頭回答，執(zhí)教教師引導(dǎo)啟發(fā)，總結(jié)提供以上四種不同抽象程度的寫(xiě)法，經(jīng)歷“實(shí)物—文字—字母—數(shù)字”的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程. 執(zhí)教教師特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)字化表示形式的重要性和實(shí)用性，為學(xué)生后續(xù)概率的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

探究2：（1）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

（2）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面為正面的枚數(shù)，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

對(duì)于第（1）小題，學(xué)生結(jié)合樹(shù)狀圖、列表等方式分析試驗(yàn)的基本結(jié)果，并采用適當(dāng)?shù)男问綄?xiě)出樣本空間. 教師巡視并指導(dǎo)，挑選不同的寫(xiě)法代表進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生分享交流. 對(duì)于第（2）小題，對(duì)比第（1）小題，兩個(gè)試驗(yàn)背景相同，但觀察的角度和目的不相同. 據(jù)此，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：相同的試驗(yàn)背景，基于不同的觀察目的，可能寫(xiě)出不同的樣本空間.在這個(gè)過(guò)程中，執(zhí)教教師通過(guò)提出問(wèn)題，遞進(jìn)探究，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力. 整個(gè)教學(xué)過(guò)程按照教師的預(yù)設(shè)來(lái)推進(jìn)，學(xué)生知識(shí)的生成水到渠成.

探究3：如圖4，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電路元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效. 把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)整個(gè)電路進(jìn)行一次檢查，觀察各元件是否正常.

（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；

（2）用集合表示事件“恰好兩個(gè)元件正?！薄半娐肥峭贰薄半娐肥菙嗦贰?

該探究是一個(gè)較復(fù)雜的電路問(wèn)題. 第（1）小題要求學(xué)生用集合語(yǔ)言表示樣本空間，鞏固前面所學(xué). 第（2）小題為后續(xù)古典概型的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備. 整個(gè)探究過(guò)程，先分析試驗(yàn)結(jié)果，用符號(hào)表示樣本空間，接下來(lái)分析隨機(jī)事件，能夠?qū)懗鰧?duì)應(yīng)的樣本點(diǎn). 通過(guò)綜合分析解決問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3. 瞄準(zhǔn)兩個(gè)理解，精準(zhǔn)實(shí)施教學(xué)

（1）理解數(shù)學(xué).

從理解數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，理解《標(biāo)準(zhǔn)》，尊重教材，所有的問(wèn)題情境幾乎都來(lái)源于教材. 執(zhí)教教師對(duì)教材的設(shè)計(jì)意圖理解到位，主線清晰（如圖5），重點(diǎn)突出. 概念抽象的過(guò)程比較充分.

（2）理解教學(xué).

問(wèn)題的設(shè)計(jì)能激發(fā)學(xué)生的積極思考，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程合理. 問(wèn)題的挑戰(zhàn)性激發(fā)了學(xué)生思維的不斷深入，學(xué)生思維過(guò)程合理.

四、小結(jié)

1. 聚焦單元主題

作為“概率”起始課，注重從整體教學(xué)入手，聚焦大單元主題——集合思想的統(tǒng)領(lǐng). 核心概念串珠成線，織線成網(wǎng)，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2. 提煉思想方法

從對(duì)隨機(jī)事件的感性認(rèn)識(shí)到用集合工具進(jìn)行精準(zhǔn)定義，不同試驗(yàn)得到相同的樣本空間，從不同的觀察角度準(zhǔn)確表達(dá)相應(yīng)的樣本空間，都提煉了抽象、建模、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)科關(guān)鍵能力.

3. 示范引領(lǐng)教學(xué)

作為概念課型，經(jīng)歷了由回顧以往認(rèn)知到引發(fā)認(rèn)知沖突，從抽象概念到釋義與辨析、應(yīng)用概念深化認(rèn)知等過(guò)程，逐步形成以集合論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)觀，較好地示范了數(shù)學(xué)概念課型的教學(xué)過(guò)程，有效展示了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑，充分體現(xiàn)新課改的課堂教學(xué)方向.

參考文獻(xiàn)：

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［3］王姍，程?？? 有限樣本空間和隨機(jī)事件教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)反思與點(diǎn)評(píng)（續(xù)）［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2021（9）：14-16.