基于直觀想象探究一道切線問題

福建省安溪第一中學(xué) (362400) 吳志湖

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)指出,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形狀與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).筆者基于直觀想象視角,探究一道曲線的切線問題.

一、試題呈現(xiàn)

題目(2022年武漢市高三年級(jí)九月調(diào)研考試第12題)已知函數(shù)f(x)=ex-1+lnx,則過點(diǎn)(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線的充分條件可以是( ).

A.b=2a-1>1B.b=2a-1<1

C.2a-1

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)與方程等知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,直觀想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想,導(dǎo)向?qū)χ庇^想象,邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

二、解法探究

當(dāng)a≤0時(shí),令g′(x)=0,得x=1.當(dāng)00,g(x)遞增;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)遞減.又x→0時(shí),y→-∞;x→+∞時(shí),y→-∞.故當(dāng)b=2a-1≤-1時(shí),方程只有一解,切線只有一條.當(dāng)b<2a-1≤-1時(shí),方程有兩解,切線有兩條,故D正確.

當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí),易得g(x)在(0,1),(a,+∞)上遞減,在(1,a)上遞增.又x→0時(shí),y→+∞;x→+∞時(shí),y→-∞.當(dāng)b=2a-1>1時(shí),方程有兩解,切線有兩條,故選項(xiàng)A正確;而當(dāng)2a-1

綜上,本題選AD.

圖1

點(diǎn)評(píng):解法一通過定量計(jì)算,將切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程解個(gè)數(shù)問題,最終解決問題.解法二通過定性分析,結(jié)合圖像,直觀解決問題.從解法二可知:過一點(diǎn)作曲線的切線,切線的條數(shù)問題與點(diǎn)在平面中所處的位置有關(guān).結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性,分析點(diǎn)與曲線、曲線拐點(diǎn)處的切線和曲線的漸進(jìn)線的位置,我們便直觀作出判斷.基于直觀想象,我們更容易窺得問題的本質(zhì),既可直觀解決此類問題,還可洞悉作者的命題思路.

三、理解應(yīng)用

曲線的切線問題是高考的重要考查內(nèi)容,以下繼續(xù)解析兩道高考試題,進(jìn)一步感悟此類問題的直觀解法.

例1 (2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第7題)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A．eb

C．0

解析:函數(shù)y=ex是凸函數(shù)且x軸是曲線y=ex的切線.由函數(shù)圖像(見圖2)可知,只有點(diǎn)(a,b)在漸近線上方,且在圖像下方,才可作出兩條切線.故選D.

圖2

例2 (2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第15題)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是.

解析:由y′=(x+a+1)ex可知,函數(shù)y=(x+a)ex在(-∞,-a-1)上遞減,在區(qū)間(-a-1,+∞)上遞增.又x→-∞時(shí),y→0,所以x軸是曲線y=(x+a)ex的漸近線.由y″=(x+a+2)ex可知,函數(shù)為(-∞,-a-2)的凹函數(shù),區(qū)間(-a-2,+∞)上的凸函數(shù).點(diǎn)(-a-2,-2e-a-2)為曲線的拐點(diǎn),曲線在拐點(diǎn)處的切線方程為y+2e-a-2=-e-a-2(x+a+2),可求得此切線與x軸交于點(diǎn)A(-a-4,0).

又曲線y=(x+a)ex與x軸交于B(-a,0).做出簡(jiǎn)圖(見圖3),結(jié)合圖3可知:只有坐標(biāo)原點(diǎn)O在A點(diǎn)左側(cè),或者在B點(diǎn)右側(cè),才可做出兩條切線.

圖3

故-a-4>0或者-a<0,從而答案為a<-4或a>0..

四、試題命制

基于直觀想象,我們可掌握此類試題的命題手法,進(jìn)行試題命制.以下命制兩道試題,供讀者賞析.

試題1 若過點(diǎn)(1,0)可以作曲線y=ln(x+a)的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:曲線y=ln(x+a)有漸近線x=-a,且與x軸交于點(diǎn)A(1-a,0).結(jié)合圖像(見圖4)可知,點(diǎn)(1,0)應(yīng)位于A與漸近線之間,故有-a<1<1-a,解得-1

圖4

A.b=2-a>2B.b=2-a<2

C.2-a

圖5