基于思維進(jìn)階的[v-t]圖像斜率教學(xué)設(shè)計(jì)

王良繼

［摘 要］文章以[v-t]圖像斜率教學(xué)為例，精準(zhǔn)劃分五級(jí)學(xué)習(xí)臺(tái)階，探索應(yīng)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，設(shè)計(jì)教學(xué)路徑，突破教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生的思維水平得到較大的提升。

［關(guān)鍵詞］思維進(jìn)階；[v-t]圖像斜率；教學(xué)設(shè)計(jì)

［中圖分類號(hào)］ ? ?G633.7 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2023）02-0064-03

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論認(rèn)為，學(xué)生對(duì)某一主題的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷進(jìn)階起點(diǎn)和許多不同的中間水平，然后到達(dá)進(jìn)階終點(diǎn)。進(jìn)階過(guò)程重視學(xué)生的深度思考，尋找最佳的教學(xué)模式，可以促進(jìn)各級(jí)水平“進(jìn)階”的發(fā)生。

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在“運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像”方面有這樣的內(nèi)容要求：“理解位移、速度和加速度。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，探究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，能用公式、圖像等方法描述勻變速直線運(yùn)動(dòng)，理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，能運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)科學(xué)思維中的抽象方法和物理問(wèn)題研究中的極限方法?！盵v-t]圖像是運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像的重要組成部分，學(xué)生對(duì)[v-t]圖像的掌握情況，則是衡量學(xué)生理解掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)好壞的標(biāo)志。對(duì)[v-t]圖像的學(xué)習(xí)，包含了圖像的“點(diǎn)、線、斜、截、面”等要素。

本文以[v-t]圖像斜率教學(xué)為例，精準(zhǔn)劃分五級(jí)學(xué)習(xí)臺(tái)階，探索應(yīng)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，設(shè)計(jì)教學(xué)路徑，突破教學(xué)難點(diǎn)，促使學(xué)生的思維水平躍升。

一、初階水平——數(shù)學(xué)圖像的斜率認(rèn)知

高一學(xué)生的思維尚停留在初中階段的認(rèn)知淺表層面，對(duì)數(shù)學(xué)圖像的斜率概念與意義的認(rèn)識(shí)水平也是參差不齊。筆者在組織教學(xué)時(shí)，首先復(fù)習(xí)這一內(nèi)容，旨在讓所有學(xué)生不會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)缺失而造成物理學(xué)習(xí)缺位。如圖1所示，在[xOy]坐標(biāo)系中，直線[QP]的斜率[k=OPOQ]，需要強(qiáng)調(diào)的是：這里的斜率是兩條線段的實(shí)際長(zhǎng)度之比。高一學(xué)生的思維延續(xù)了初中階段直觀形象的思維特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這樣的復(fù)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖像斜率就有了清晰的感性認(rèn)識(shí)，就是它等于兩條線段的實(shí)際長(zhǎng)度之比。這就為物理圖像斜率的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

二、次階水平——[ v-t]圖像的斜率教學(xué)

物理必修第一冊(cè)教材中的原文：物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的情況可以用圖像來(lái)直觀表示。以時(shí)間[t]為橫軸，速度[v]為縱軸，坐標(biāo)系中的圖像即為速度—時(shí)間圖像或[v-t]圖像。

圖2中的兩條直線[a]、[b]分別是兩個(gè)物體[A]和[B]的[v-t]圖像，[E]、[F]兩點(diǎn)所表示的時(shí)刻和速度分別為[t1]、[t2]和[v1]、[v2]。從圖中可以看出，小三角形的一條直角邊代表時(shí)間間隔[Δt]，另一條直角邊代表速度的變化量[Δv]，[Δv]與[Δt]的比為加速度大小，其比值為該直線的斜率。因此，由[v-t]圖像的傾斜程度可以判斷加速度的大小，所以由圖2可知物體[A]的加速度比物體[B]的加速度大。

鑒于此處學(xué)生接受難度較大，筆者教學(xué)時(shí)做如下設(shè)計(jì)：①用數(shù)軸描述時(shí)間和速度，先畫一條帶有箭頭的線段，再選定一定的標(biāo)度，即具體用多長(zhǎng)的線段來(lái)表示1 s和[1 ms]的大?。虎趯蓚€(gè)維度的數(shù)軸畫到一幅圖中，同時(shí)強(qiáng)調(diào)：[v-t]圖像中坐標(biāo)軸反映的是速度和時(shí)間的大小，不是幾何長(zhǎng)度大小，兩個(gè)坐標(biāo)軸能獨(dú)立描述各自物理量的數(shù)量特征，這里是借助數(shù)學(xué)坐標(biāo)系將兩數(shù)軸結(jié)合起來(lái)，建立速度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖。因此，直線的斜率不是線段實(shí)際幾何長(zhǎng)度之比，而是其代表的速度[v]和時(shí)間[t]大小的數(shù)值之比。圖中實(shí)際長(zhǎng)度是依據(jù)比例標(biāo)度畫出的，旨在將數(shù)量關(guān)系用幾何圖形直觀表示出來(lái)。斜率意義在于描述了[v]隨[t]變化的快慢程度，計(jì)算時(shí)只能用直線上兩點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)量值計(jì)算，具體用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值。

學(xué)到這里，學(xué)生知道數(shù)學(xué)圖像斜率和物理圖像斜率既有關(guān)聯(lián)又有區(qū)別，能夠基本掌握[v-t]圖像斜率的意義與計(jì)算方法，從知識(shí)層面跨越了思維的一級(jí)臺(tái)階。

從數(shù)學(xué)圖像的斜率的學(xué)習(xí)過(guò)渡到[v-t]圖像斜率的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了由具體形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡，思維層次得到了大幅提升。

三、中階水平——[ v-t]圖像斜率的簡(jiǎn)單運(yùn)用

數(shù)學(xué)圖像的斜率可用直線傾角正切表示，而[v-t]圖像斜率則不可用這種方法計(jì)算，原因是同一大小量值采用不同比例標(biāo)度作出的直線傾角是不同的。如圖3所示，某個(gè)物體的[v-t]圖像，采用不同的比例標(biāo)度，可以讓傾角[α]為[30°]，也可以為[40°]，甚至是[50°]，因此這種計(jì)算法不可取。

學(xué)到這里，學(xué)生提出這樣的問(wèn)題：對(duì)于一條直線，傾角沒有意義，對(duì)于兩條不同的直線有無(wú)意義呢？面對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題，教師和學(xué)生一起做如下討論：①在不同坐標(biāo)系中，由于采用的比例標(biāo)度不一定相同，傾角不能反映兩個(gè)物理量的變化快慢；②在同一坐標(biāo)系中，由于采用的是同一比例標(biāo)度，故傾角相對(duì)大小能夠反映兩個(gè)物理量的變化快慢，如圖2中直線[a]的傾角比直線[b]的傾角大，故其斜率就大，加速度也就大；③在同一坐標(biāo)系中，若已知兩條直線的傾角數(shù)值，其正切比值有無(wú)意義呢？答案是“有意義”，其比值等于加速度之比。由于采用的是同一標(biāo)度，兩個(gè)不同小直角三角形同一橫邊的實(shí)際長(zhǎng)度之比等于時(shí)間[t]量值之比，同一縱邊的實(shí)際長(zhǎng)度之比也等于速度[v]量值之比，由此可以得到兩直線實(shí)際傾角正切比值等于加速度之比。

四、高階水平—— [v-t]圖像三種斜率的意義

以上討論的是直線圖像，學(xué)生基本理解和掌握了圖像斜率的意義，在學(xué)生學(xué)習(xí)興頭正盛時(shí)，筆者適時(shí)引出問(wèn)題：“如果某個(gè)物體的[v-t]圖像是一條曲線，又該如何理解圖像斜率的意義呢？”

在學(xué)生理解直線圖像斜率的基礎(chǔ)上，教學(xué)曲線斜率時(shí)，可在曲線上選取不同的點(diǎn)，連線得到不同的直線，此時(shí)教師應(yīng)和學(xué)生一同探究取點(diǎn)方式，得到以下結(jié)果：圖線上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線，這是最簡(jiǎn)單也是最特殊的直線，理解其意義難度不大但很重要；圖線上任意兩點(diǎn)連成的直線；過(guò)圖像上任一點(diǎn)的切線。接下來(lái)分析各自斜率的意義。

（1）如圖4所示，圖像上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率等于這一過(guò)程的[Δv]與[Δt]之比，表示的是[t]時(shí)間內(nèi)的平均加速度，也就是從速度變化的實(shí)際效果出發(fā)，[t]時(shí)間內(nèi)可以用與原點(diǎn)連線這一勻加速等效代替曲線所表示的變加速。

（2）如圖5所示，圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率等于這兩點(diǎn)間[Δv]與[Δt]之比，表示這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度，其意義與（1）相同。A與B連線斜率則表示[t1]到[t2]這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度，從速度變化的實(shí)際效果出發(fā)， [t1]到[t2]這段時(shí)間內(nèi)可以用[A]與[B]連線這一勻加速等效代替這段曲線所表示的變加速。

（3）曲線圖像上過(guò)某點(diǎn)的切線斜率表示該時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。圖6中的過(guò)[P]點(diǎn)的切線[PQ]的斜率表示[t0]時(shí)刻的加速度，具體可以用極限思想來(lái)理解，即在圖像上另取一點(diǎn)無(wú)限接近[P]點(diǎn)，[Δv]與[Δt]無(wú)限趨近于零，此時(shí)兩者比值即等于切線的斜率。

拓展：學(xué)生學(xué)完之后，會(huì)不假思索地認(rèn)為只要縱軸表示速度，橫軸表示時(shí)間，直線圖像斜率就表示加速度。筆者立即提出問(wèn)題：在勻變速直線運(yùn)動(dòng)的圖像中，若橫軸表示時(shí)間[t]，縱軸表示位移與時(shí)間的比值[st]，那么其斜率的意義是什么？這時(shí)學(xué)生可能認(rèn)為，縱軸表示速度，橫軸依然是時(shí)間，故斜率仍然表示加速度。經(jīng)過(guò)一番討論后，筆者與學(xué)生一起分析如下：勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系式為[s=v0t+12at2]，兩邊同除以[t]得[st=v0+12at]，從結(jié)果可以看出[st-t]圖像是一條傾斜直線，斜率等于[12a]，而不是直接表示加速度[a]，其原因是因?yàn)榭v軸對(duì)應(yīng)的不是瞬時(shí)速度，而是平均速度。討論后筆者和學(xué)生一起總結(jié)：要想搞清縱、橫坐標(biāo)軸之間的具體關(guān)系，若不能依據(jù)定義直接得出，則需要從有關(guān)物理公式出發(fā)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變形，得出兩坐標(biāo)軸表示的物理量之間的具體關(guān)系式，根據(jù)斜率和截距求所要求的物理量。

通過(guò)[v-t]圖像三種斜率的意義的學(xué)習(xí)，學(xué)生思維的靈活性得到了訓(xùn)練。學(xué)生學(xué)到這里，頗感收獲滿滿，少數(shù)學(xué)生甚至飄飄然，以為只要出現(xiàn)圖像的斜率就都能理解，斜率都表示一個(gè)物理量隨時(shí)間變化的關(guān)系，為了不讓學(xué)生驕傲自滿，筆者此時(shí)不失時(shí)機(jī)地加以引導(dǎo)，提出探究問(wèn)題：“如果橫軸不表示時(shí)間又當(dāng)如何呢？”

五、從[v-t]圖像向其他圖像延伸與終階水平—— [v-t]斜率向其他要素的延展

（一）從[v-t]圖像向其他圖像延伸

從[v-t]圖像斜率的學(xué)習(xí)可以看出，斜率共分為兩種，一種是與原點(diǎn)連線斜率，等于縱、橫坐標(biāo)之比；另一種是切線斜率，等于縱、橫坐標(biāo)變化量之比，意義是不一樣的。如果不是[v-t]圖像，而是其他形式的圖像，斜率意義又當(dāng)如何呢？下面以[U-I]圖像為例，談?wù)勂湫甭蕟?wèn)題。

如圖7所示，圖中[P]點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率等于 [U0 ?I0]，也就是等于電阻[R]，而曲線上點(diǎn)的切線斜率則沒有意義，曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率增大，表示隨電流[I]增大電阻[R]增大。

若[U-I]圖像是如圖8所示的直線，則是電源的特征圖像，其斜率也是有意義的，由[U=E-Ir]可得[ΔUΔI=-r]，表示的是縱軸變化量與橫軸變化量的比值，即電源內(nèi)阻[r]的負(fù)值。

圖像斜率有無(wú)意義，意義如何，取決于縱、橫坐標(biāo)軸所表示的物理量之間有無(wú)關(guān)系，遵循什么物理規(guī)律，其變化量之比有無(wú)意義，可以從規(guī)律中找尋。

高中學(xué)生在尋找物理圖像斜率意義時(shí)，往往習(xí)慣于直接找尋其關(guān)系，這樣往往會(huì)受物理量表面關(guān)系干擾，誤入歧途。教師教學(xué)時(shí)一定要讓學(xué)生懂得物理圖像是用來(lái)描述物理規(guī)律的，縱、橫軸表示的物理量之間關(guān)系如何，取決于其遵循什么樣的物理規(guī)律，解決問(wèn)題時(shí)需從物理規(guī)律出發(fā)，然后基于規(guī)律找尋兩坐標(biāo)軸表示的物理量之間的數(shù)量關(guān)系。

（二）[v-t]圖像斜率向其他要素延展

在圖像的“點(diǎn)、線、斜、截、面”五要素中，斜率和面積是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教材在討論面積問(wèn)題時(shí)，首先從勻速直線運(yùn)動(dòng)出發(fā)，由公式得[s=vt]，再結(jié)合[v-t]圖像得出圖像與橫軸所圍成的面積表示位移，需要強(qiáng)調(diào)的是這里的面積是數(shù)值面積。在此基礎(chǔ)上再討論勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，雖然勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式不再是[s=vt]，但是可以通過(guò)微元法化變?yōu)楹?，?duì)時(shí)間微分，在每一微元過(guò)程里變速可近似處理成勻速，其中圖像與橫軸所圍成的面積就能表示該微過(guò)程位移，然后再對(duì)每一微過(guò)程的位移求和即可得全過(guò)程位移，在[v-t]圖像中就表現(xiàn)為圖像與橫軸所圍成的面積等于這一過(guò)程中的位移。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中都能理解和接受，但是不能將面積的來(lái)龍去脈遷移到其他運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像和其他物理圖像中去，這時(shí)需要教師強(qiáng)調(diào)面積的意義，分析面積的來(lái)龍去脈。例如，在[a-t]圖像中，學(xué)生會(huì)認(rèn)為圖像與橫軸所圍成的面積表示速度，一問(wèn)為什么？多數(shù)學(xué)生啞口無(wú)言，說(shuō)明學(xué)生是瞎蒙的。教師教學(xué)時(shí)，首先要求學(xué)生回顧勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程，順著該推導(dǎo)過(guò)程提出以下漸進(jìn)問(wèn)題：若為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，[a-t]圖像是什么曲線？這一曲線與[t]軸圍成的數(shù)值面積有無(wú)意義？若有，意義是什么？若[a-t]圖像是傾斜直線，如何探索面積的意義？學(xué)生在這一連串問(wèn)題引導(dǎo)下終于明白[a-t]圖像中圖像與橫軸所圍成的面積不再表示速度，而是表示速度的變化量[Δv]，并能正確計(jì)算出面積。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出問(wèn)題：若是其他圖像，如何確定面積有無(wú)意義？有的學(xué)生回答：只需要將縱軸表示的物理量與橫軸表示的物理量的乘積找出來(lái)看有無(wú)異議即可，具體可按上述過(guò)程分析。

通過(guò)從[v-t]圖像向其他圖像的斜率教學(xué)延伸和[v-t]圖像斜率向其他要素的教學(xué)延展，學(xué)生思維的廣闊性得到了很好的培養(yǎng)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也會(huì)隨之發(fā)展。

高中階段是學(xué)生形成物理思想，提升思維能力的重要階段。本文以[v-t]圖像斜率教學(xué)為例，設(shè)計(jì)了如圖9所示的教學(xué)路徑，促使學(xué)生的思維進(jìn)階，訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性、靈活性和批判性。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書物理必修第一冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ ?胡衛(wèi)雄.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的進(jìn)階式復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)：以“電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系”為例［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2020，49（22）：26-30.

（責(zé)任編輯 易志毅）