循主線問題 促素養(yǎng)提升
——兼評(píng)《多邊形的內(nèi)角和》一課

文|仇學(xué)春

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）明確指出：“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）?！薄叭龝?huì)”是總目標(biāo)、長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，“四基”與“四能”是形成核心素養(yǎng)的載體；同時(shí)素養(yǎng)形成能促進(jìn)“四基”“四能”的發(fā)展。因此我們要把培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)放在首位，以發(fā)現(xiàn)并提出問題為起點(diǎn)，以分析并解決問題為過程，以反思并產(chǎn)生新問題為新的出發(fā)點(diǎn)。主線問題是一種將目標(biāo)、問題、活動(dòng)、思維調(diào)適到恰當(dāng)高度的教學(xué)，是一種以兒童的現(xiàn)實(shí)水平作起點(diǎn)，以兒童學(xué)習(xí)進(jìn)階為方向的適切教學(xué)。

《多邊形的內(nèi)角和》是一節(jié)探索規(guī)律的課，通過觀察、操作、歸納、類比等具體活動(dòng)，探索并發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，并用學(xué)生自己能理解的方式表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，運(yùn)用不同方式刻畫規(guī)律的模型。在教學(xué)中怎樣變教師問為學(xué)生問？什么樣的問題能把學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)素材的興趣轉(zhuǎn)移到對(duì)規(guī)律的關(guān)注上面？怎樣利用問題激活學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從探索規(guī)律走向模型建構(gòu)？真正做到因“問”而“學(xué)”，“問”從“思”來，“問”“學(xué)”交融。

劉萍萍老師的《用問題引導(dǎo) 促規(guī)律探索》（以下簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)一）和王守建老師的《問題導(dǎo)學(xué)：從探索規(guī)律走向模型建構(gòu)》（以下簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)二）為我們帶來一些啟發(fā)和思考。

一、以疑促問，問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)

思維自疑問和驚奇開始，問題是思維的起點(diǎn)，只有有了問題，學(xué)生才會(huì)去思考、鉆研、探索與反思?？梢姅?shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于問題，問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，只有問題才能把學(xué)生的思維引向深入。布魯姆按認(rèn)知方式的高低將問題分為：知識(shí)性問題、理解性問題、應(yīng)用性問題、分析性問題、綜合性問題和評(píng)價(jià)性問題?；诖耍覀?cè)诮虒W(xué)中可以按照“是什么？”“為什么？”“怎么辦？”“為什么可以這樣？”“還可以怎樣？”“這些辦法哪個(gè)更好？”等問題順序分階段培養(yǎng)學(xué)生提問的能力。

1.看舊知提問

新知識(shí)是在舊知識(shí)處生長(zhǎng)起來的，新知識(shí)往往是舊知識(shí)的延伸和發(fā)展，又是后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。多邊形的內(nèi)角和是在三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上教學(xué)的。設(shè)計(jì)一中，劉老師在復(fù)習(xí)時(shí)提出了一個(gè)問題：“知道了三角形的內(nèi)角和是180°，你能想到什么問題呢？”學(xué)生提出了幾個(gè)問題：“四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少？多邊形的內(nèi)角和有沒有什么規(guī)律？多邊形的內(nèi)角和是怎樣計(jì)算的……”學(xué)生從舊知中自主發(fā)現(xiàn)問題，啟迪思維。

2.看課題提問

課題往往揭示了教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，圍繞課題提問，有利于讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激活學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生帶著問題主動(dòng)探究。設(shè)計(jì)二中，王老師在課始提出：“同學(xué)們，看到課題，你有什么疑問？”于是學(xué)生紛紛提出問題：“什么是多邊形的內(nèi)角和？怎么計(jì)算多邊形的內(nèi)角和？多邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和有關(guān)系嗎？怎樣探究多邊形的內(nèi)角和？”運(yùn)用學(xué)生提出的問題引領(lǐng)新知的學(xué)習(xí)。

3.探究中提問

“主線問題”特別關(guān)注學(xué)生探究問題的情感態(tài)度，以積極的情感與態(tài)度推動(dòng)問題思考的不斷深入，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知與情感的良性互動(dòng)。設(shè)計(jì)一中，劉老師結(jié)合一個(gè)學(xué)生把四邊形分成兩個(gè)三角形時(shí)問學(xué)生“聽明白了嗎？有什么疑問？”學(xué)生提出了“明明是兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，為什么又是四邊形的內(nèi)角和？”一個(gè)很有價(jià)值的問題，正是這個(gè)問題加深了方法的理解。設(shè)計(jì)二中，王老師在學(xué)生分四邊形出現(xiàn)了三種分法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生提出：“這幾種方法之間有什么相同和不同之處？”就這樣在討論中優(yōu)化了解決問題的方法。

二、因問而學(xué)，任務(wù)驅(qū)動(dòng)思考

真正的學(xué)習(xí)是從學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題開始的，不斷產(chǎn)生問題也成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力。主線問題是以學(xué)生問題為起點(diǎn)、學(xué)科問題為基礎(chǔ)、教師問題為引導(dǎo)的一個(gè)問題系統(tǒng)（如下表）。

學(xué)生問題學(xué)生提出的問題（預(yù)估起點(diǎn)）學(xué)生難點(diǎn)問題預(yù)估（學(xué)習(xí)難點(diǎn)）學(xué)科基本問題（核心問題）學(xué)科重點(diǎn)問題（探究問題）教師問題 教師引導(dǎo)性問題（階段關(guān)鍵問題）學(xué)科問題

如何形成“多邊形的內(nèi)角和”主線問題呢？在學(xué)生提出“什么是多邊形的內(nèi)角和？怎么計(jì)算多邊形的內(nèi)角和？多邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和有關(guān)系嗎？怎樣探究多邊形的內(nèi)角和？”等諸多問題時(shí)，圍繞學(xué)生的問題進(jìn)行排序、細(xì)化，通過歸納整理，從而梳理出“多邊形的內(nèi)角和有什么規(guī)律？”這一核心問題，帶領(lǐng)學(xué)生圍繞此核心問題展開學(xué)習(xí)。

兩位教師根據(jù)核心問題設(shè)計(jì)了不同的任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考，將不同的想法關(guān)聯(lián)起來，與同學(xué)、老師分享想法，促使自己生成新的想法。這樣的思維過程從平衡到失衡，再形成新的平衡，從而深度建構(gòu)對(duì)新學(xué)內(nèi)容的理解。

1.研究性任務(wù)，尋找探索規(guī)律的方向

兒童帶著研究的視角和眼光，以一系列富含“研究”意蘊(yùn)的問題為抓手，開展自主、合作、重在探索與發(fā)現(xiàn)的研究性任務(wù)。聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，選擇并開展探索活動(dòng)，尋找探索多邊形內(nèi)角和規(guī)律的方向。

設(shè)計(jì)一中，劉老師把四邊形內(nèi)角和的探索完全交給學(xué)生，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)通過量一量、拼一拼、分一分等不同方法得到四邊形內(nèi)角和，而多種方法的“優(yōu)”與“劣”是學(xué)生在真實(shí)的經(jīng)歷中感悟的，學(xué)生體會(huì)到測(cè)量法有誤差、撕拼法比較費(fèi)時(shí)間，于是自主優(yōu)化，在五邊形內(nèi)角和的探索中，自覺采用了分割成幾個(gè)三角形后計(jì)算的方法。

設(shè)計(jì)二中，王老師直接把四邊形的內(nèi)角和設(shè)計(jì)成探索性任務(wù)，從四邊形頂點(diǎn)處分割成兩個(gè)三角形，從四邊形邊上取一點(diǎn)分割成三個(gè)三角形，從四邊形中間選一點(diǎn)分割成四個(gè)三角形，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“這幾種方法之間有什么相同和不同之處？”找到內(nèi)在的聯(lián)系：結(jié)果都是“180°×2”。

2.創(chuàng)造性任務(wù)，展示表征規(guī)律的方式

創(chuàng)造性任務(wù)是一種創(chuàng)造力強(qiáng)、探究度大、信息量足、應(yīng)用味濃的學(xué)習(xí)活動(dòng)。任務(wù)的完成或需要綜合運(yùn)用已有的知識(shí)模塊，或需要借助豐富的生活背景，或需要突破固有的思維框架。兩位教師在概括多邊形內(nèi)角和的規(guī)律時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算、觀察、歸納等過程，讓學(xué)生用一個(gè)式子表示多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，多邊形的內(nèi)角和可以寫成“180°×（邊數(shù)－2）”，也可以寫成“180°×邊數(shù)－360°”和“180°×（邊數(shù)-1）-180°”。讓學(xué)生運(yùn)用多種方式表征規(guī)律，發(fā)現(xiàn)計(jì)算多邊形內(nèi)角和的基本方法，獲得一般性的規(guī)律，從而加深對(duì)多邊形內(nèi)角和規(guī)律的理解。

3.表達(dá)性任務(wù)，解釋規(guī)律產(chǎn)生的道理

“數(shù)學(xué)表達(dá)”指的是學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行的解釋、表征，用于交流思維的過程與結(jié)果，實(shí)現(xiàn)解決問題的目標(biāo)。數(shù)學(xué)表達(dá)強(qiáng)調(diào)了對(duì)于核心問題的追蹤與聚焦，強(qiáng)調(diào)了個(gè)體參與的深入，展示了學(xué)生的思維個(gè)性。

設(shè)計(jì)一中，劉老師進(jìn)行了兩次比較，第一次比較180°×（邊數(shù)－2）=180°×邊數(shù)-180°×2=180°×邊數(shù)-360°，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形中間任一點(diǎn)出發(fā)分割的方法總是多出一個(gè)周角，所以要減去360°，才是多邊形的內(nèi)角和。第二次比較180°×（邊數(shù)-1）-180°=180°×邊數(shù)-360°=180°×（邊數(shù)-2）。體驗(yàn)還可以從“多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)”“從任意一個(gè)頂點(diǎn)到它相對(duì)頂點(diǎn)連線分的次數(shù)”來探究多邊形內(nèi)角和。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)有序排列的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察和比較，在交流中，逐步抽象概括出多邊形的內(nèi)角和的一般計(jì)算方法，幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)探究的意義和推理的價(jià)值。

設(shè)計(jì)二中，王老師提出了為什么三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形體會(huì)與某個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)的邊都對(duì)應(yīng)一個(gè)分出的三角形，使學(xué)生從不同角度理解“邊數(shù)-2”的道理，知其然，亦知其所以然。

三、問學(xué)交融，提升核心素養(yǎng)

問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)、動(dòng)力和途徑，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，問學(xué)交融，引領(lǐng)學(xué)生不斷提出新問題顯得尤為重要。我們的教學(xué)從老問題開始，引出新問題，在解決新問題時(shí)又進(jìn)一步讓學(xué)生碰到疑難題，再在解決疑難題中發(fā)現(xiàn)新問題。兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)，以問題為引領(lǐng)，聚焦核心概念，探索多邊形的內(nèi)角和的規(guī)律，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.問題引領(lǐng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光

2022年版課標(biāo)指出：“能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究?！眱晌唤處煻际且詥栴}開始，以問題結(jié)束，整節(jié)課都是用問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)。如劉老師用“多邊形的內(nèi)角和有沒有什么規(guī)律？”“怎么想到把四邊形分成兩個(gè)三角形的？”“觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？”“根據(jù)‘多邊形內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）’這個(gè)規(guī)律，你能提出什么問題？”等問題引領(lǐng)教學(xué)。如王老師提出“我們已經(jīng)探究了三角形的內(nèi)角和是180°，請(qǐng)大家猜一猜，四邊形、五邊形……的內(nèi)角和分別是多少？它們又與什么有關(guān)系？”“分成三角形的個(gè)數(shù)為什么總比多邊形的邊數(shù)少2 呢？”等問題，課尾引導(dǎo)學(xué)生提出新問題：“多邊形有內(nèi)角，有沒有外角？如果有，它的外角和又是多少？”用有內(nèi)在聯(lián)系的問題引領(lǐng)教學(xué)的全過程，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探索多邊形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)需求，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光。

2.合情推理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

2022年版課標(biāo)中指出：“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力?！薄岸噙呅蔚膬?nèi)角和”規(guī)律探尋能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有利于改變“重演繹、輕歸納”的傾向。合情推理主要指不完全歸納推理和類比推理，這些推理的結(jié)論具有或然性?？茖W(xué)結(jié)論往往發(fā)端于合情推理所提出的猜想，再由演繹推理論證其是否正確。兩位教師都是通過重點(diǎn)研究四邊形的內(nèi)角和，分割成兩個(gè)三角形；放手研究五邊形到八邊形的內(nèi)角和，依次分割成三個(gè)、四個(gè)、五個(gè)、六個(gè)三角形；最后概括出多邊形的內(nèi)角和的規(guī)律180°×（n-2），通過不完全歸納的方法體驗(yàn)“個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2”的道理，從而發(fā)展推理能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

3.模型建構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言

2022年版課標(biāo)中指出：“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為：數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念、應(yīng)用意識(shí)?！薄岸噙呅蔚膬?nèi)角和”在探索規(guī)律時(shí)，反映的是在動(dòng)態(tài)變化過程中變量與變量之間始終存在一種普遍、穩(wěn)固、必然的聯(lián)系，這種關(guān)系就是數(shù)學(xué)模型。兩位教師都是經(jīng)過對(duì)四邊形、五邊形、其他多邊形內(nèi)角和的探索，最后通過乘法分配律溝通課堂中出現(xiàn)的多種分割方法之間的聯(lián)系，學(xué)生深刻體會(huì)到分割方法的多樣性和數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，建構(gòu)出多邊形內(nèi)角和的規(guī)律模型“180°×（n－2）”。

由此可見，主線問題教學(xué)，是一種把數(shù)學(xué)知識(shí)和兒童經(jīng)驗(yàn)螺旋上升為結(jié)構(gòu)化知識(shí)和結(jié)構(gòu)化思維的教學(xué)；是一種以兒童的現(xiàn)實(shí)水平作起點(diǎn)，以兒童未來的可能發(fā)展水平為方向的適切的數(shù)學(xué)教學(xué)。