從“淺層默會”到“深度建構(gòu)”：優(yōu)化小數(shù)初步認識的思考與實踐

文|盛文雅

一、巧用默會，具物建構(gòu)

創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，引入帶具體單位的小數(shù)，啟用并深化學生具體實物層次的認知儲備，為操作說明做好鋪墊。

1.啟默會：借量識數(shù)

課伊始，大家一起閱讀一篇學生自己寫的數(shù)學日記：

我和爸爸一起去買菜。我記了賬：爸爸買了15 個雞蛋共30.8元，還買了一根甘蔗。這根甘蔗好長，賣甘蔗的說大約有2.4 米長，我的身高大約1.47 米，高出我好多啊。這根甘蔗打完電子秤后是12.85 元。我們一共花了0.5 小時買完了菜。

觀察日記中的數(shù)，并分類，從表征形式上，知道小數(shù)是帶有小數(shù)點的，接著嘗試認讀小數(shù)。通過圈一圈錢幣，了解用整數(shù)30 元不夠付，用31 元來付，錢又多出來，用小數(shù)30.8 元支付剛好。借助米尺認識2.4 米，通過比劃長短，發(fā)現(xiàn)用整數(shù)表示有不夠準確的困難，可以用小數(shù)表示。

總結(jié)起來，學生對小數(shù)的發(fā)生有了初步的印象：隨著計量的精確，產(chǎn)生了用小數(shù)表征的需要，不足1 的那部分，可以用小數(shù)點后面的數(shù)來表示。

2.調(diào)經(jīng)驗：橋式架構(gòu)

要更深入地認識小數(shù)，則必須借助操作，架構(gòu)起小數(shù)與分數(shù)之間的橋梁。

以研究0.8 元為主任務，學習流程設(shè)計見圖1。

圖1

【情節(jié)回放】

圈30.8 元的幣值時，學生發(fā)現(xiàn)比30 元多0.8 元。

師：你能用框一框的方式來說明一下0.8 元為什么比1 元小，它和1 元又有怎樣的關(guān)系呢？

學生嘗試用10 個格子框住角幣（見圖2），表示1 元就是10個1 角，8 角占了其中的8 格（不足1 元）。

圖2

師：剛才這位同學的操作過程就是我們以前學的什么知識？

這一過程是通過實物操作并演示來達成的，學生感知到0.8=之后用相同的學習流程，又分析了2.4 米表示的意義，明確了0.4 米=米=4 分米的道理，展開實物操作的過程，并步步配以準確的數(shù)學表達，克服學生原認知中模糊的地方，落實小數(shù)與分數(shù)、小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系，建構(gòu)小數(shù)的意義。

二、多元表征，操作建構(gòu)

概念的掌握需經(jīng)歷一個從具體到表象再到抽象的過程。通過改變單位，進行多元表征，便于學生進行對比，概括出本質(zhì)屬性。

1.借直觀：形中悟數(shù)

運用面積模型、線段模型、集合模型等直觀手段解釋小數(shù)的意義，并在“形”的對比中，抽象出共同屬性，即小數(shù)單位與“1”之間的關(guān)系。

【情節(jié)回放】

（1）獨立探究0.4。

師：如果把0.4 米改成0.4 千克，你打算如何表示它的大??？請同學們說一說、畫一畫、寫一寫。

（2）集體反饋交流。

4 位同學展示了自己的作品（見圖3）并分別作出了說明。

圖3

師：這4 位同學說的和0.4 米有共同的地方嗎？

生：它們都是把一樣物品平均分成10 份，其中的4 份表示0.4，也就是

2.集數(shù)軸：串式感序

在數(shù)軸上表示小數(shù)，進一步抽象小數(shù)的意義，使小數(shù)及其表征融入到整個有理數(shù)的系統(tǒng)中。

設(shè)計了把已學過的小數(shù)“請”到數(shù)軸上的教學環(huán)節(jié)，把實物和圖形中表示過的一位小數(shù)，進一步表征到數(shù)軸上，之后，又數(shù)出了其他一些小數(shù)，逐步形成圖4。為小數(shù)排序：數(shù)軸的上面是小數(shù)，下面是對應的分數(shù)，便于學生觀察發(fā)現(xiàn)：一位小數(shù)都可以表示為分母是10 的分數(shù)；從1 份數(shù)到9份，即從0.1 數(shù)到0.9；關(guān)聯(lián)小數(shù)的符號書寫意義：不足“1”的部分，是把“1”進行十等分后的再計量，小數(shù)點后的數(shù)據(jù)就是計量結(jié)果的記錄；感悟小數(shù)和整數(shù)計數(shù)的共同之處，結(jié)合對是幾的思考，建立起整數(shù)、分數(shù)與小數(shù)的關(guān)聯(lián)，為揭示小數(shù)也是十進制數(shù)做好鋪墊。

圖4

三、遷移實踐，抽象建構(gòu)

小數(shù)初步認識到一定程度時，可以借助概念的正、負遷移，去偽存真，完善小數(shù)模型。

1.巧遷移：鏈式完善

教學中，布置任務：嘗試找“我”的具體身高1.47 米（圖5）。學生在充分討論之后反饋，在數(shù)軸上標出了1.47，并嘗試說明其意義。

圖5

利用已經(jīng)習得的一位小數(shù)的認知經(jīng)驗，創(chuàng)造性地理解1.47 米的意義，正遷移體會小數(shù)點后第二位上的數(shù)表示0.1 再十等分后計數(shù)的結(jié)果。（兩位小數(shù)的意義雖不是本節(jié)課學習要求，但可以拓展）

還可以利用負遷移，辨析、厘清一些非本質(zhì)屬性，強化概念模型。由于前面學習的小數(shù)數(shù)量之間的進率都是10 或100，如0.8元=8 角，0.4 米=4 分米，部分學生容易形成錯誤的概括：零點幾加大單位等于去掉零和小數(shù)點后的數(shù)加小單位。當遇到“0.5 時是多少時間”時，錯誤認知（0.5 時=5分）與默會認知（0.5 時是30 分鐘）產(chǎn)生沖突，沖突引發(fā)爭論。矛盾的解決需要學生聯(lián)系所學的小數(shù)模型去解釋，這樣小數(shù)的意義更加明晰。

2.微主題：深度建構(gòu)

本文中的“深度建構(gòu)”指向兩個方面：一是知識內(nèi)部建立聯(lián)結(jié)，即把小數(shù)和分數(shù)關(guān)聯(lián)起來；二是數(shù)學和生活建立聯(lián)結(jié)，用學到的數(shù)學知識去解決生活中的實際問題，提升學生學以致用的能力。

課后開展了微主題學習“制作身高尺”。

【情節(jié)回放】

（1）布置小組任務（見下表）。

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（2）學習成果及分享。

下面選取了部分小組的制作方案：

圖6：為了方便讀，我們組按每5 厘米記一個小數(shù)。大家都是1米多，記錄身高時，小數(shù)點前是1米，小數(shù)點后的兩位就是比1 米多的幾厘米。

圖6

圖7：我們發(fā)現(xiàn)三年級學生身高大致在1.3 米到1.6 米之間，于是我們先找到紙條的0.3 米與0.6米，再在兩個刻度之間用厘米進行細致刻畫。

圖7

圖8：我們組都較矮，就將1米對折找到0.5 米，然后從1.5 米往下用厘米刻畫了20 厘米即0.2米范圍的刻度，剛好夠量。

圖8

從呈現(xiàn)結(jié)果來看，學生對小數(shù)都已有了較深刻的認識：不僅會在紙條上表征小數(shù)，也會以小數(shù)來計量身高，還會從量的角度進行大小比較，進行加減運算。

【課后反思】

小數(shù)的初步認識是小數(shù)意義學習的初始課，把重點放在小數(shù)應用的直觀感受，小數(shù)意義的操作感知，以及概念模型的初步抽象上，可以優(yōu)化教學、提升學生學習收獲。

發(fā)揮學生在具體實物水平的認知基礎(chǔ)，結(jié)合真實情境，理解小數(shù)不同數(shù)位的計量意義，展開合理的估計與判斷，體會用小數(shù)刻畫生活現(xiàn)象的簡潔與精確。

在操作說明水平上做實做細，從實物模型到數(shù)學直觀模型的演示，再到實踐應用，梳理出小數(shù)和分數(shù)的關(guān)系，得出研究小數(shù)的方法。

基于豐富的小數(shù)表象，設(shè)計任務，進行正、負遷移，并在此基礎(chǔ)上進行初步的抽象和概括，進階數(shù)學思維，進而進行實踐應用，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。