凸顯本質(zhì) 促進(jìn)統(tǒng)計(jì)意義的理解
——《平均數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

文|吳玉蘭 劉 璨

“平均數(shù)”是小學(xué)階段要學(xué)習(xí)的重要統(tǒng)計(jì)量，能代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。生活中的許多現(xiàn)象都需要用平均數(shù)來(lái)進(jìn)行解釋說(shuō)理，一些實(shí)際問(wèn)題也需要用平均數(shù)來(lái)解決。學(xué)生雖然在學(xué)習(xí)這一知識(shí)前對(duì)平均數(shù)已有所了解，但更關(guān)注如何計(jì)算平均數(shù)，因而忽視了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。因此，在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，更需要突出平均數(shù)的本質(zhì)，理解它的統(tǒng)計(jì)意義，感受數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，能用合適的方法分析數(shù)據(jù)，形成一定的數(shù)據(jù)意識(shí)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、整體感知，“創(chuàng)生”平均數(shù)

1.情境引入，選擇代表數(shù)

我們學(xué)校的同學(xué)都很喜歡運(yùn)動(dòng)，體育老師統(tǒng)計(jì)了一下，發(fā)現(xiàn)喜歡籃球的同學(xué)最多。所以，體育組準(zhǔn)備開(kāi)展年級(jí)籃球賽。我們班的小黃同學(xué)很想?yún)⒓樱肴プ晕彝扑]。為了讓老師更好地了解自己的水平，提高入選的可能性，他特意在放學(xué)后練習(xí)了一分鐘投籃，還記錄了投中的數(shù)量，我們一起來(lái)看一下。

小黃一分鐘投籃投中數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

為了大家看起來(lái)更方便，我把小黃的投籃情況做成了統(tǒng)計(jì)圖。

師：如果你是小黃，你打算用哪個(gè)數(shù)來(lái)表示你的一分鐘投籃水平？把你的選擇和理由輕輕地說(shuō)給同桌聽(tīng)一聽(tīng)。

生：我選5，因?yàn)? 出現(xiàn)的次數(shù)最多。

生：我選8，因?yàn)? 是最好成績(jī)，可以讓老師覺(jué)得小黃很厲害。

生：但是小黃不是經(jīng)常能投中8 個(gè)，萬(wàn)一下次投不中8 個(gè)了呢？所以我覺(jué)得應(yīng)該選他的平均數(shù)6 個(gè)。（教師板書(shū)平均數(shù)）

2.說(shuō)明解釋，理解平均數(shù)

師：什么是平均數(shù)？能解釋一下嗎？

生：平均數(shù)=總個(gè)數(shù)÷次數(shù)，所以只要把所有投中的個(gè)數(shù)加起來(lái)除以5 就行了。

師：能列式嗎？

生：（5+8+5+5+7）÷5=6（個(gè)）。

師：這位同學(xué)先求出所有投中的總個(gè)數(shù)，再平均分給每一次求出平均數(shù)，用“先合再分”的方法得到了小黃平均每次投中的個(gè)數(shù)。有不同的方法嗎？

生：我是從第二次里面拿出一個(gè)給第一次，再拿出一個(gè)給第三次，然后從最后一次里拿出一個(gè)給第四次，這樣每次都變成6 個(gè)了。

師：誰(shuí)聽(tīng)明白了？

生：他是從個(gè)數(shù)多的里面拿出幾個(gè)來(lái)分給少的。

師：我們一起來(lái)看一下剛才大家所說(shuō)的變化過(guò)程（動(dòng)畫(huà)演示移多補(bǔ)少）。像這樣從多的里面拿出一些給少的，我們也可以說(shuō)是“移多補(bǔ)少”。

3.引發(fā)矛盾，體會(huì)虛擬性

師：剛才同學(xué)們用“先合再分”和“移多補(bǔ)少”兩種方法得到了小黃平均每次投中的個(gè)數(shù)是6，但是這個(gè)數(shù)量小黃并沒(méi)有投到，能代表他的投籃水平嗎？

生：我覺(jué)得可以，因?yàn)槠骄忠院竺看尉? 個(gè)了。

生：我也覺(jué)得可以，因?yàn)槠骄鶖?shù)可以代表他的整體水平。

師：看來(lái)平均數(shù)雖然是虛擬的，不一定真實(shí)存在，但可以代表整體水平。

（板書(shū)：虛擬 代表整體水平）

【評(píng)析：“平均數(shù)”是生活中常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量。因此，本環(huán)節(jié)從學(xué)生熟悉的場(chǎng)景引入，選擇一個(gè)數(shù)據(jù)代表自己的投籃水平，引發(fā)產(chǎn)生平均數(shù)的必要性。同時(shí)，通過(guò)解釋平均數(shù)的得到方法，感知移多補(bǔ)少，并體會(huì)平均數(shù)雖然是一個(gè)虛擬的數(shù)，卻能代表整體水平，初步感知平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義?！?/p>

二、操作探究，領(lǐng)會(huì)平均數(shù)

1.操作中體會(huì)平均數(shù)的代表性

（1）提出問(wèn)題：我們班還有兩個(gè)同學(xué)也很想?yún)⒓?，也拿著自己一分鐘投籃的數(shù)據(jù)去自我推薦。但是除去班里校籃球隊(duì)的成員，只剩兩個(gè)名額了。如果你們是這個(gè)班的同學(xué)，會(huì)推薦誰(shuí)去參加呢？

?

（2）操作研究。

①想一想：用哪個(gè)數(shù)代表小許和小吳的水平比較合適？可以在圖中畫(huà)一畫(huà)，也可以算一算。

②選一選：推薦哪兩個(gè)同學(xué)參加籃球比賽？說(shuō)一說(shuō)理由。

（3）小組交流：四人小組中說(shuō)明各自推薦的理由；推薦一人代表小組匯報(bào)。

（4）全班交流。

師：哪個(gè)組愿意來(lái)分享研究成果？

生：我們是先合再分的，小許是（4+8+6+6+6）÷5=6（個(gè)），小吳是（1+4+10+5）÷4=5（個(gè)），所以我們推薦小黃和小許參加比賽。

生：我們組用移多補(bǔ)少的方法，發(fā)現(xiàn)小許平均每次投中6 個(gè)，小吳平均每次投中5 個(gè)，所以我們也推薦小黃和小許去參加比賽。

師：同學(xué)們不僅推薦出了參賽人員，還能用自己的方法說(shuō)明理由，真好！我們來(lái)看一下你們的想法（課件演示移多補(bǔ)少的過(guò)程，并在課件中展示平均線的位置）。演示完后將平均線上移、下移，追問(wèn)：表示平均數(shù)的線會(huì)不會(huì)在這里？為什么？——指出平均數(shù)大于最小值，小于最高值。

2.變化中感悟平均數(shù)的敏感性

（1）提出問(wèn)題。

師：小吳落選了，但他很不甘心，你們知道為什么嗎？

生：其他兩個(gè)同學(xué)都投了5 次，他只投了4 次，不公平。萬(wàn)一他下一次投了很多個(gè)呢？

（2）操作解決。

師：老師很善解人意，又給了小吳一次一分鐘投籃的機(jī)會(huì)，并給他定了三個(gè)目標(biāo)：5 個(gè)、6 個(gè)、8 個(gè)。你覺(jué)得哪個(gè)目標(biāo)能讓他反敗為勝？先猜，再在活動(dòng)紙上畫(huà)一畫(huà)驗(yàn)證。

（學(xué)生紛紛猜8 個(gè)）

學(xué)生操作完以后交流反饋。

生：5 個(gè)不用考慮，因?yàn)樾窃瓉?lái)每次平均投5個(gè)，這次還是5 個(gè)的話，不會(huì)改變平均數(shù)；6 個(gè)也不會(huì)反超，因?yàn)殡m然增加了一個(gè)，但這一個(gè)平均分給5次，每次一個(gè)都不到，平均數(shù)是5 個(gè)多一點(diǎn)點(diǎn)；8 個(gè)也不行，多出來(lái)的3 個(gè)也不夠分，所以平均數(shù)還是不到6 個(gè)。

（根據(jù)學(xué)生描述出示統(tǒng)計(jì)圖）

師：想知道小吳最終投了幾個(gè)嗎？（出示數(shù)據(jù)：10個(gè)）現(xiàn)在他的平均成績(jī)是多少？

生：6 個(gè)。

師：怎么一下子就高了？

生：因?yàn)樗淖詈笠淮瓮吨泻芏?，給自己留6 個(gè)，多出來(lái)的4 個(gè)能補(bǔ)給前幾次，每次正好一個(gè)，這樣平均成績(jī)就從5 個(gè)變成6 個(gè)了。

生：我覺(jué)得平均數(shù)會(huì)受某一次成績(jī)的影響。即使前面不怎么好，如果最后一次很好，平均數(shù)也有可能超越其他人。

師：確實(shí)平均數(shù)很容易受某次成績(jī)的影響，非常敏感。（板書(shū)：敏感 易受極端值影響）

師：現(xiàn)在三人的平均成績(jī)相同，那你們推薦誰(shuí)呢？

生：我想推薦小吳和小許。因?yàn)樾≡S比較穩(wěn)定，經(jīng)常能投6 個(gè)，小吳能投高分。

生：我還是推薦小黃和小許。雖然小吳投了兩次10 個(gè)，但他成績(jī)不穩(wěn)定，參加比賽還是穩(wěn)定更重要。

師：看來(lái)，平均數(shù)只能給我們提供一定的參考，我們還需要結(jié)合其他的因素作出決定。

【評(píng)析：在知道“什么是平均數(shù)”“平均數(shù)是怎么得到的”基礎(chǔ)上，本環(huán)節(jié)讓學(xué)生借助條形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)解釋說(shuō)理，在畫(huà)一畫(huà)的過(guò)程中進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)“平均數(shù)介于最大值與最小值之間”“平均數(shù)具有一定的敏感性，容易受極端分值的影響”“平均數(shù)能幫我們作出判斷，但不一定是決定性因素”……這樣的教學(xué)流程使學(xué)生跳出平均數(shù)的算術(shù)意義，促進(jìn)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解。同時(shí)感悟數(shù)據(jù)是蘊(yùn)含信息的，我們能用數(shù)據(jù)來(lái)描述生活中的現(xiàn)象，數(shù)據(jù)能幫我們作出判斷與決策，增強(qiáng)數(shù)據(jù)意識(shí)。】

三、聯(lián)系生活，體會(huì)應(yīng)用性

1.生活中你聽(tīng)說(shuō)過(guò)平均數(shù)嗎？

2.任選一份學(xué)習(xí)材料研究說(shuō)理（獨(dú)立思考后同桌交流，再全班匯報(bào)）。

材料一：一分鐘跳繩，每人測(cè)4 次，佳佳的平均成績(jī)是183 個(gè)/分；慧慧的平均成績(jī)是186 個(gè)/分。判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)一說(shuō)理由。

（1）慧慧第一次跳繩的個(gè)數(shù)一定比佳佳多。

（2）慧慧跳繩的整體水平比佳佳高。

（3）佳佳一定有一次跳繩的個(gè)數(shù)是183 個(gè)。

材料二：迪迪所在的五（1）班同學(xué)的平均身高是1.36 米，佳佳所在的五（2）班同學(xué)的平均身高是1.32米。判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)一說(shuō)理由。

（1）迪迪一定比佳佳長(zhǎng)得高。

（2）總體上來(lái)說(shuō)，五（1）班同學(xué)比五（2）班同學(xué)長(zhǎng)得高。

（3）如果五（1）班有一個(gè)同學(xué)的身高是1.40 米（1.40=1.36+0.04），那么這個(gè)班一定有一個(gè)同學(xué)的身高是1.32 米（1.32=1.36-0.04）。

材料三：國(guó)家統(tǒng)計(jì)局曾經(jīng)發(fā)布中國(guó)人平均壽命大約是75 歲。74 歲的王奶奶看了這個(gè)新聞后，憂心忡忡，飯也吃不下，睡也睡不著。你想對(duì)王奶奶說(shuō)什么？

3.課堂小結(jié)：這節(jié)課研究了什么？現(xiàn)在你對(duì)平均數(shù)有哪些了解？

【評(píng)析：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包含以下三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。本環(huán)節(jié)提供了生活中真實(shí)存在的三個(gè)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去分析人文現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，用數(shù)學(xué)知識(shí)描述、解釋現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展?！?/p>