用問題引領(lǐng) 促規(guī)律探索
——《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考（一）

文|劉萍萍

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第96、97 頁。

【教學(xué)過程】

一、基于經(jīng)驗(yàn)，提出問題

師：回憶一下，我們是怎樣得到三角形內(nèi)角和的？

生：用量角器量出三個角的度數(shù)相加得到三角形的內(nèi)角和是180°。

生：把三角形的三個角撕下來拼在一起，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)角和是180°。

師：知道了三角形的內(nèi)角和是180°，你能想到什么問題呢？

生：四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少？多邊形的內(nèi)角和有沒有什么規(guī)律？多邊形的內(nèi)角和是怎樣計(jì)算的……

師：大家提出的問題都很有研究價(jià)值。今天我們一起研究“多邊形的內(nèi)角和”。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷過三角形內(nèi)角和的探索過程，激活學(xué)生的舊知，在交流中啟發(fā)學(xué)生提出問題，用問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“多邊形的內(nèi)角和”的規(guī)律探索活動。不僅明確了本課活動的目標(biāo)，更激發(fā)了學(xué)生參與探索活動的積極性?！?/p>

二、嘗試研究，明確方法

1.探索任意四邊形的內(nèi)角和

（1）自主探究

師：想先研究哪個多邊形？

生：四邊形，因?yàn)樗倪厰?shù)少。

師：從簡單情況想起，很好。誰能大膽猜測一下四邊形的內(nèi)角和？

生：四邊形的內(nèi)角和是360°，因?yàn)殚L方形和正方形都是四邊形，它們的四個角都是直角，四個角的和是360°。

生：但長方形和正方形是特殊的四邊形，它們是360°，也不能說明所有的四邊形都是360°。

師：是啊，一般的四邊形是不是360°呢？大家可以根據(jù)研究要求自主研究。

（2）匯報(bào)交流

生1：我們組是用量一量的方法研究的。我們分別測出手中四邊形的四個角是30°、150°、30°、150°，加起來就是360°。

生2：我們組是用拼一拼的方法研究的。我們把四邊形的四個角全部剪下來，剛好能拼成一個周角，也就是360°。

生3：我們組是用分一分的方法研究的。我們把四邊形分成兩個三角形，因?yàn)槊總€三角形的內(nèi)角和是180°，兩個180°就是360°，所以這個四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：聽明白了嗎？有什么疑問？

生：明明是兩個三角形的內(nèi)角和，為什么又是四邊形的內(nèi)角和？

師：問得真好！誰能在圖上描一描、畫一畫，回答這個問題呢？

生：大家看（出示圖1），∠1、∠2、∠3 是一個三角形的三個內(nèi)角，∠4、∠5、∠6 是另一個三角形的三個內(nèi)角，這六個角的和正好是四邊形的內(nèi)角和。

圖1

師：你是怎么想到把四邊形分成兩個三角形的？

生：三角形的內(nèi)角和為180°是我們學(xué)習(xí)過的知識，因此，我就想能不能將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形來思考，于是就將四邊形分成了兩個三角形，沒想到真的可以。

【設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生獨(dú)立自主地進(jìn)行方法探索，出現(xiàn)不同的方法都是“原生態(tài)”的思考?；谝延械闹R經(jīng)驗(yàn)，在前面的學(xué)習(xí)中積累了求“三角形的內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，且多次進(jìn)行過用三角形拼四邊形或把四邊形分成兩個三角形的活動。因此，在操作及交流啟發(fā)下學(xué)生想到測量角度、剪拼內(nèi)角、分割為兩個三角形求和等計(jì)算四邊形的內(nèi)角和的方法。再經(jīng)過交流、比較，學(xué)生對多種方法的認(rèn)識會提升一個臺階，發(fā)現(xiàn)不同方法的優(yōu)劣，從而優(yōu)化方法，并思考后續(xù)問題的解決，可以為后面的高效探索服務(wù)。】

2.探索任意五邊形的內(nèi)角和

（1）遷移方法，展示研究

師：下面你們想研究哪個圖形的內(nèi)角和？準(zhǔn)備怎么研究？

生：研究五邊形的內(nèi)角和，可以把它分成幾個三角形進(jìn)行研究。

生1：從頂點(diǎn)開始（如圖2），把五邊形分成三個三角形，三個三角形的內(nèi)角和就是五邊形的內(nèi)角和。

圖2

生2：我從五邊形內(nèi)找一點(diǎn)進(jìn)行分割（如圖3），五邊形被分成五個三角形，要計(jì)算五邊形的內(nèi)角和，還要把中間這個周角減掉。

圖3

師：為什么要把周角減掉？

生2：因?yàn)檫@個周角不是五邊形的內(nèi)角。

生3：我從邊上找了一點(diǎn)分割（如圖4），把五邊形分成了四個三角形。這四個角組成的平角不是五邊形的內(nèi)角，所以要減掉180°。

圖4

（2）比較方法，提升認(rèn)知

師：剛剛同學(xué)們用不同的分法都探究出了五邊形的內(nèi)角和，有什么相同的地方？

生：都是分成了三角形，通過三角形的內(nèi)角和計(jì)算出五邊形的內(nèi)角和，都是540°。

師：探究四邊形的內(nèi)角和時，大家用了不同的方法，為什么現(xiàn)在大家不約而同地選擇用“分三角形”的方法？

生：測量法會有誤差，而且角越多誤差就越大；撕拼法比較費(fèi)時間，也不太方便；把四邊形分割成三角形后計(jì)算，簡單又方便。

生：三角形的內(nèi)角和我們已經(jīng)知道了，所以只要通過分一分、算一算就能知道五邊形的內(nèi)角和。

師：看來，我們要善于用好已經(jīng)得出的規(guī)律去探索新的問題。那么，同樣是“分三角形”，這幾個作品又有什么不一樣呢？

生：分法不同，分成的三角形的個數(shù)也不同。

生：我喜歡第一種分法，分出的幾個三角形的內(nèi)角和正好是五邊形的內(nèi)角和。第二種、第三種分法分出的三角形的內(nèi)角中，有的不是原來五邊形的內(nèi)角，所以后面還要減去，有些麻煩。

生：從頂點(diǎn)出發(fā)分三角形不會出現(xiàn)多余的角，計(jì)算比較簡便。

【設(shè)計(jì)意圖：“分三角形”的方法是學(xué)生自我感悟而得，更真實(shí)。而把一個五邊形分成方便計(jì)算內(nèi)角和的三角形，部分學(xué)生可能存在一定的困難。因此先讓學(xué)生自主探索，再組織交流，了解不同的分法。教學(xué)中給學(xué)生足夠的時間對自己的研究方法進(jìn)行交流、討論，在對比中優(yōu)化。這樣，全體學(xué)生參與活動，經(jīng)歷了知識的發(fā)生發(fā)展的過程，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的主體性。同時，避免部分學(xué)生在探索過程中成為“看客”和“聽眾”?！?/p>

三、深入研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.互相合作，填表整理

出示要求：

（1）選擇一個多邊形分一分，算一算。

（2）組內(nèi)交流你的發(fā)現(xiàn)。

（3）匯總數(shù)據(jù)，填寫表格。

2.觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

我研究的多邊形邊數(shù)分成的三角形個數(shù) 多邊形內(nèi)角和六邊形64180°×4=720°七邊形75180°×5=900°八邊形86180°×6=1080°……………………

師：觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)分成的三角形的個數(shù)越多，內(nèi)角和也就越大。

生：我發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和就是分成的三角形的個數(shù)乘180°。

生：我發(fā)現(xiàn)分成的三角形的個數(shù)比多邊形的邊數(shù)少2。

師：為什么分成的三角形的個數(shù)比多邊形的邊數(shù)少“2”呢？請同學(xué)們觀察圖形想一想。

生：因?yàn)閺亩噙呅蔚囊稽c(diǎn)出發(fā)，它不能與自己相鄰的兩個點(diǎn)連線，所以分成的三角形個數(shù)比邊數(shù)少2。

3.歸納總結(jié)，建構(gòu)模型

師：你能用一個式子表示多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法嗎？

生：多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)－2）。

生：多邊形的內(nèi)角和=180°×（n－2）。

師：這里的n 表示什么？

生：多邊形的邊數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的形式，把任意的多邊形分成幾個三角形，計(jì)算每個多邊形的內(nèi)角和，并列表整理所獲得的數(shù)據(jù)，學(xué)生經(jīng)歷了探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。接著啟發(fā)學(xué)生觀察表中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在交流中幫助學(xué)生理清思路，發(fā)現(xiàn)計(jì)算多邊形內(nèi)角和的基本方法，獲得一般性的規(guī)律。發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，啟發(fā)學(xué)生用一個式子把所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，幫助學(xué)生初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性?！?/p>

四、回顧反思，溝通聯(lián)系

1.回顧總結(jié)，交流體會

師：在探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，你有哪些經(jīng)驗(yàn)要分享？

生：把多邊形分成三角形，可以推算出它們的內(nèi)角和。

生：從四邊形、五邊形、六邊形開始想起，多邊形的邊數(shù)越來越多，但規(guī)律是相同的。

生：n 邊形的內(nèi)角和=180°×（n－2）。

2.立體切換，多維溝通

師：用乘法分配律將多邊形的內(nèi)角和公式變一變，180°×（邊數(shù)－2）=180°×邊數(shù)-180°×2=180°×邊數(shù)-360°，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從多邊形中間任一點(diǎn)出發(fā)，幾邊形就可以分割成幾個三角形，但內(nèi)角和多一個周角，所以減去360°才是原多邊形的內(nèi)角和。

生：從多邊形邊上任意一點(diǎn)出發(fā)分割，分出的三角形比邊數(shù)少“1”，同時還多出了一個平角，所以原圖形的內(nèi)角和是180°×（邊數(shù)-1）-180°=180°×邊數(shù)-360°=180°×（邊數(shù)-2）。

師：根據(jù)“多邊形內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）”這個規(guī)律，你能提出什么問題考考伙伴呢？

生：二十邊形的內(nèi)角和是多少？

生：有沒有內(nèi)角和是1000°的多邊形？

【設(shè)計(jì)意圖：通過經(jīng)驗(yàn)分享讓學(xué)生主動回顧總結(jié)。在反思、交流中，幫助學(xué)生進(jìn)一步整理在探索多邊形內(nèi)角和計(jì)算方法過程中積累的經(jīng)驗(yàn)，感悟類比、歸納、轉(zhuǎn)化等思想方法，發(fā)展初步的問題意識、探索意識和創(chuàng)新意識。本環(huán)節(jié)沒有將目標(biāo)局限在探究出多邊形內(nèi)角和的通用公式，而是通過乘法分配律溝通多種分割方法之間的聯(lián)系，學(xué)生深刻體會到分割方法的多樣性和數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性，提升觀察、比較、歸納等多項(xiàng)能力?！?/p>

【教學(xué)反思】

亞里士多德說“思維自疑問和驚奇開始”。數(shù)學(xué)過程是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的動態(tài)化過程。好的問題能誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)、啟迪思維、激發(fā)求知欲和創(chuàng)造欲。

1.問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)

課始，學(xué)生在回顧三角形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)過程的基礎(chǔ)上，教師以問題啟思考，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探索多邊形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)需求，從而以飽滿的熱情投入到探索與研究之中。此外，在探索規(guī)律時，引導(dǎo)學(xué)生遵循一般的由簡入難的規(guī)律，從四邊形、五邊形到其他多邊形的探索，隨著數(shù)學(xué)思維的不斷進(jìn)階，學(xué)生能夠持續(xù)保持探究興趣。

2.發(fā)展模型意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“模型意識”里指出：“數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。”課堂中，首先探索四邊形的內(nèi)角和時，學(xué)生經(jīng)歷自主研究的過程，獨(dú)立研究出度量法、剪拼法、分割法等不同的方法，體會到了數(shù)學(xué)探究方法的多樣性，并在交流中將方法優(yōu)化。接著，在探索五邊形內(nèi)角和時，學(xué)生雖然都使用了分割法來進(jìn)行研究，但是方法各不相同，教師尊重學(xué)生的個性化思維，適時引導(dǎo)學(xué)生加以理解。最后在總結(jié)環(huán)節(jié)，借助乘法分配律這一知識將學(xué)生的幾種不同分割方法進(jìn)行有效串聯(lián)，更有效幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)方法間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生初步形成模型意識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。