選擇適切的學(xué)習(xí)材料，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展

沈海美

【摘 要】促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一，選擇適切的學(xué)習(xí)材料是通過教學(xué)發(fā)展學(xué)生思維的重要基礎(chǔ)。結(jié)合具體案例，圍繞如何設(shè)計(jì)適切的學(xué)習(xí)材料展開研究。實(shí)踐表明，有層次、有結(jié)構(gòu)、開放性的學(xué)習(xí)材料，可有效促進(jìn)學(xué)生的思維提升，滿足學(xué)生思維發(fā)展的個(gè)性需求。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；思維素養(yǎng)；課堂教學(xué)；培育策略

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式?！皶?huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出的數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)之一。通過數(shù)學(xué)思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系。學(xué)生的思維發(fā)展在數(shù)學(xué)教育中的重要性不言而喻。

教育理念要落實(shí)到課堂教學(xué)中才能真正發(fā)揮作用。學(xué)習(xí)材料是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題、獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)能力的基本載體，是學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，提高數(shù)學(xué)思維的重要資源。選擇適切的學(xué)習(xí)材料是通過教學(xué)發(fā)展學(xué)生思維的重要基礎(chǔ)。具體而言，教師應(yīng)設(shè)計(jì)有層次、有結(jié)構(gòu)、開放性強(qiáng)的學(xué)習(xí)材料，以幫助學(xué)生搭建思維發(fā)展的階梯，拓展思維發(fā)展的深度，滿足不同學(xué)生思維發(fā)展的個(gè)性需求。

一、設(shè)計(jì)有層次的學(xué)習(xí)材料，搭建思維發(fā)展的階梯

學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握與理解不是一蹴而就的，而是有層次、有梯度地逐步提升的。幫助學(xué)生搭建思維發(fā)展的階梯，需要設(shè)計(jì)有層次的學(xué)習(xí)材料。

有層次的學(xué)習(xí)材料不僅體現(xiàn)在難度的梯度變化上，還體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法本質(zhì)的進(jìn)階理解上?；诖嗽O(shè)計(jì)目標(biāo)，筆者嘗試以“將大長方形卡紙剪切成相等的若干小塊”為基礎(chǔ)材料，一材多用，讓學(xué)生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的過程中，更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，使思維走向深刻。

（一）設(shè)計(jì)基礎(chǔ)材料，銜接思維起始點(diǎn)

基于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性、針對(duì)性強(qiáng)的材料，找到學(xué)生思維發(fā)展的銜接點(diǎn)，搭建思維發(fā)展的階梯，可有效地幫助他們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【材料1】小南有一張長8厘米、寬6厘米的長方形卡紙，要剪成邊長為2厘米的正方形卡片，一共可以剪多少張？

學(xué)生獨(dú)立嘗試，簡(jiǎn)單地寫出（畫出）思考過程。

預(yù)設(shè)方法1：8×6=48（平方厘米），48÷2=24（張）。

預(yù)設(shè)方法2：8×6=48（平方厘米），2×2=4（平方厘米），48÷4=12（張）。

預(yù)設(shè)方法3：8÷2=4（張），6÷2=3（張），4×3=12（張）。學(xué)生畫圖表示，說明得到結(jié)果。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考“上述方法分別體現(xiàn)了怎樣的思路”，學(xué)生馬上意識(shí)到方法1錯(cuò)誤的原因。

以上案例中的問題本身難度不大，但解題過程能幫助學(xué)生通過不同方法的對(duì)比，更加深入地理解知識(shí)。通過分享辨析，學(xué)生從考慮不周、應(yīng)變不足到具體問題具體分析，其思維逐步走向多元、走向清晰。

（二）變換關(guān)鍵信息，萌發(fā)思維生長點(diǎn)

在學(xué)生初步掌握知識(shí)后，變換問題情境中的關(guān)鍵信息，讓學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生沖突，感受挑戰(zhàn)，是促進(jìn)學(xué)生思維提升的有效手段。

【材料2】小北有一張長10厘米、寬9厘米的長方形卡紙，要剪成邊長為3厘米的正方形卡片，不允許拼接，可以剪多少張？

學(xué)生獨(dú)立嘗試，簡(jiǎn)單地寫出（畫出）思考過程。

預(yù)設(shè)方法1：10×9=90（平方厘米），3×3=9（平方厘米），90÷9=10（張）。

預(yù)設(shè)方法2：10÷3≈3（張），9÷3=3（張），3×3=9（張）。學(xué)生畫圖表示，說明得到結(jié)果。

利用問題串引導(dǎo)學(xué)生思考：究竟可以剪幾張？哪種方法是對(duì)的？為什么？“小北剪卡片問題”與“小南剪卡片問題”看起來差不多，但“小南剪卡片問題”用兩種解法都能得到正確的答案，而“小北剪卡片問題”卻不行？什么情況下可以用“大圖形面積÷小圖形面積”這種方法？

在前一問題的基礎(chǔ)上，通過對(duì)比辨析，學(xué)生體會(huì)到當(dāng)直接用“大圖形面積÷小圖形面積”不能解決問題時(shí)，就需要深入思考大、小圖形長、寬之間的關(guān)系。在這一過程中，他們對(duì)解決問題的兩種思路的理解逐步加深。

（三）提升普適效能，突破思維關(guān)鍵點(diǎn)

對(duì)學(xué)生來說，掌握更多的解題方法本身不是目的，他們的思維也不應(yīng)僅停留于“解題方法的多元化”，而是要逐步學(xué)會(huì)因題而異，靈活地將不同方法應(yīng)用于真實(shí)的問題解決過程中。因此，學(xué)習(xí)材料也需要從特殊走向一般，從典型走向普適，使學(xué)生的思維在“問題鏈”中“淺入深出”。

【材料3】小東有一張長10厘米、寬9厘米的長方形卡紙，要剪成長3厘米、寬2厘米的長方形小卡片，不允許拼接，最多可以剪多少張？

預(yù)設(shè)1：橫向截取。沿著大長方形卡紙的長邊剪3厘米，一行可剪10÷3=3（張）……1（厘米），余1代表長邊最后余下1厘米成為下腳料。沿著寬邊，一列可剪9÷2=4（張）……1（厘米），余1代表寬邊最后余下1厘米成為下腳料。最后共可剪：3×4=12（張）。

預(yù)設(shè)2：縱向截取。沿著大長方形卡紙的長邊剪2厘米，一行可剪10÷2=5（張）。沿著寬邊，一列可剪9÷3=3（張）。最后共可剪5×3=15（張）。

“小東剪卡片問題”看起來難度更大了。解決這道題既要滿足截取整塊小卡片的條件，又要滿足“最多”的要求。但實(shí)際上，解決問題的思路依舊延續(xù)前面兩個(gè)問題。有了前面“小南、小北剪卡片問題”的基礎(chǔ)，學(xué)生通過自主探索是可以很快得到答案的。在解決問題的過程中，學(xué)生不僅再次應(yīng)用了所學(xué)方法，而且學(xué)會(huì)了結(jié)合題目靈活應(yīng)用，即截取方式要合理，截取張數(shù)“最多”而又沒有多余的下腳料。在類比討論中，學(xué)生的思維逐步向全面發(fā)展。

二、組建有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料，拓展思維發(fā)展的深度

有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料可以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性。它能夠幫助學(xué)生將松散的知識(shí)點(diǎn)勾連成有聯(lián)系的知識(shí)塊，助力學(xué)生在實(shí)際中的遷移應(yīng)用，從而幫助學(xué)生建立思維發(fā)展的結(jié)構(gòu)。

（一）求同與求通，突破本質(zhì)，在類比中理解

學(xué)生的遷移學(xué)習(xí)是有條件的。數(shù)學(xué)知識(shí)間共同要素的發(fā)現(xiàn)，能夠幫助學(xué)生把握表面異質(zhì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解與掌握。例如，引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義時(shí)，可呈現(xiàn)以下這組有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料。

問題：通過折一折、涂一涂，表示出[15]的[12]。

【材料4】如果把一張長方形紙看作1，那么先把長方形的長邊平均分成5份，每份表示它的[15]，再把[15]平均分成2份，取其中的1份即為1的[110]（如圖1），可以用算式表達(dá)為：[15]×[12]＝[110]。

【材料5】如果把一條線段和五個(gè)圓看作1，那么同樣可以用[15]×[12]表示出單位1的[110]（如圖2、圖3）。

對(duì)分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算方法的探索與理解是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生借助直觀模型，參與折紙、涂色等操作活動(dòng)，用數(shù)形結(jié)合思想打通知識(shí)間的聯(lián)系，可以促進(jìn)學(xué)生在類比中深層理解知識(shí)，從“舉三反一”走向“舉一反三”。

（二）回溯與展望，連點(diǎn)成線，在序列中建構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。教學(xué)時(shí)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回溯既往學(xué)習(xí)的內(nèi)容，將零散的、碎片的知識(shí)聯(lián)結(jié)起來，連點(diǎn)成線，然后再引導(dǎo)學(xué)生將新知納入原有的知識(shí)體系中，并進(jìn)一步展望知識(shí)的后續(xù)生長。

【材料6】千米是繼米、分米、厘米、毫米之后學(xué)習(xí)的第五個(gè)長度單位。自主整理過往的四個(gè)長度單位，在此基礎(chǔ)上，圍繞“如果人們?cè)賱?chuàng)造出第五個(gè)長度單位，這個(gè)長度單位該處在什么位置？跟學(xué)過的長度單位之間又是什么關(guān)系？”這一核心問題展開探究。

通過獨(dú)立思考、小組合作，學(xué)生呈現(xiàn)多種“創(chuàng)造”結(jié)果：有比單位“米”大的十米、百米、千米等，有比單位“米”小的絲米、忽米、微米等。

最后根據(jù)相鄰長度單位間的進(jìn)率，將學(xué)生“創(chuàng)造”的長度單位進(jìn)行結(jié)構(gòu)化排列（如圖4），讓學(xué)生清晰地知道“千米”所在的位置，明白“1千米=1000米”的意義。

在小組合作探究中，學(xué)生“創(chuàng)造”了多種長度單位，并根據(jù)相鄰長度單位間的進(jìn)率，將這些長度單位進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化排列，從而理解了“1千米=1000米”的意義。這是一個(gè)同化新知、建構(gòu)序列的過程，學(xué)生從中感受到長度單位序列蘊(yùn)含的整體性。

（三）勾連與突破，跨越認(rèn)知，在整合中重構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)其實(shí)是一種整體性建構(gòu)活動(dòng)。學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)時(shí)，通過喚醒已有的學(xué)習(xí)內(nèi)容，把握學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)系，完成一次全新的、不同于以往的新建構(gòu)。

【材料7】在進(jìn)行“圖形的面積”知識(shí)整理時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)過的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計(jì)算公式的內(nèi)在聯(lián)系，利用學(xué)具袋中的多邊形擺出圖形面積之間的結(jié)構(gòu)圖。學(xué)生操作，教師巡視，收集不同方法，集中展示（如圖5）。

在概括總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)呈現(xiàn)圖形的動(dòng)態(tài)演變過程。先呈現(xiàn)一個(gè)上底4厘米、下底6厘米、高4厘米的梯形，然后演示在梯形的高保持不變的情況下，上底逐漸變短，下底逐步變長（上下底之和保持不變），逐漸變?yōu)樯舷碌拙鶠?厘米的平行四邊形（或長方形），再變?yōu)樯系诪?厘米，下底為10厘米的三角形的過程。

整體把握的一個(gè)重要方法是在必要時(shí)將原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)打破，重新組合，構(gòu)成一個(gè)不同于以前的新結(jié)構(gòu)，即整合重構(gòu)。這組學(xué)習(xí)材料能幫助學(xué)生尋找圖形間的聯(lián)系，建構(gòu)更加清晰完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

三、采用開放性的學(xué)習(xí)材料，滿足個(gè)性發(fā)展的需求

開放性學(xué)習(xí)材料可以從“問題開放、策略開放”等維度進(jìn)行設(shè)計(jì)，拓展材料的寬度，讓學(xué)生從不同角度、不同方向思考問題，使學(xué)生的思維由封閉狀態(tài)轉(zhuǎn)化為開放狀態(tài)。

（一）問題開放，感悟數(shù)學(xué)思想

設(shè)計(jì)教學(xué)材料時(shí)，可以將教材上靜態(tài)呈現(xiàn)、抽象概括、結(jié)論固定的數(shù)學(xué)知識(shí)，還原成可以動(dòng)手操作的，內(nèi)容更加具體豐富的，路徑更加開放的，成系列、有聯(lián)系的挑戰(zhàn)性問題，引領(lǐng)學(xué)習(xí)進(jìn)程。設(shè)計(jì)教學(xué)材料時(shí)還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成，助力學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意義和價(jià)值。

【材料8】教學(xué)《不規(guī)則物體的體積》時(shí)，教師為學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)具：鵝卵石（大小不一）、鐵釘（一定數(shù)量）、橡皮泥和乒乓球（若干）；量杯、水槽、長尺等實(shí)驗(yàn)器材（如圖6）。

請(qǐng)學(xué)生小組合作，以問題串的形式，選擇感興趣的學(xué)習(xí)材料開展探究。

（1）橡皮泥、鵝卵石、鐵釘、乒乓球的體積不能直接計(jì)算，該如何測(cè)量？請(qǐng)自己設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。

（2）測(cè)量過程中有什么收獲？有什么困惑？

（3）今天的學(xué)習(xí)對(duì)你測(cè)量生活中不規(guī)則物體的體積有什么啟發(fā)？讓學(xué)生充分經(jīng)歷不規(guī)則物體體積測(cè)量的發(fā)生和發(fā)展過程。

不同的不規(guī)則物體體積的具體測(cè)量策略不同，但是都蘊(yùn)含了“轉(zhuǎn)化”的思想；學(xué)生在對(duì)問題的探究中不斷感悟“轉(zhuǎn)化”思想，在思想的統(tǒng)領(lǐng)下，對(duì)不規(guī)則物體的體積測(cè)量進(jìn)行意義建構(gòu)。在此過程中，學(xué)生用手操作和記錄實(shí)驗(yàn)過程，用眼觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，用口討論實(shí)驗(yàn)結(jié)論，用耳傾聽其他小組的結(jié)論，用頭腦對(duì)結(jié)論進(jìn)行反思，調(diào)動(dòng)了多種感官參與，獲得了殊途同歸的“轉(zhuǎn)化”思想。

（二）策略開放，促進(jìn)多元思維

如何運(yùn)用解決問題的策略是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的一個(gè)很重要的方面，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的重要途徑。多種解題策略、多種結(jié)果能促使學(xué)生運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，從而促進(jìn)學(xué)生思維的多元發(fā)展。

【材料9】呈現(xiàn)問題：有一個(gè)用9個(gè)小三角形搭成的三層大三角形，請(qǐng)你移動(dòng)幾個(gè)小三角形的位置，將大三角形“反轉(zhuǎn)”過來，你有什么辦法？怎樣移動(dòng)可以使移動(dòng)的小三角形數(shù)量更少？

學(xué)生自主嘗試，合作交流后發(fā)現(xiàn)：比較反轉(zhuǎn)前后三角形的位置，移動(dòng)前后，兩個(gè)大三角形中重疊的小三角形越多，需要移動(dòng)的小三角形就越少（如圖7）。

上述教學(xué)過程，既是學(xué)生展示解決問題方法多樣性的過程，也是學(xué)生不斷進(jìn)行反思、感悟知識(shí)本質(zhì)屬性的過程。

數(shù)學(xué)是思維的體操，發(fā)展學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中永恒的主題。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)離不開學(xué)習(xí)材料的依托與支撐。設(shè)計(jì)有層次、有結(jié)構(gòu)、開放性的學(xué)習(xí)材料，在一定程度上能夠促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升，讓課堂教學(xué)充滿思維含量。

（浙江省杭州市臨平區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）