在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的過程中實(shí)現(xiàn)立德樹人

“立德樹人，為國(guó)育人，提高教育質(zhì)量，提升學(xué)生素養(yǎng)”專題文章之五

【摘要】黨的二十大報(bào)告中指出育人的根本在于立德，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也強(qiáng)調(diào)“立德樹人”的問題.數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人、實(shí)施素質(zhì)教育的重任.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生具有良好的思想品質(zhì)放在首位，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過程中，逐步提升學(xué)生的思想道德水平.“函數(shù)”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，在函數(shù)概念的建立、函數(shù)性質(zhì)的探究以及建立函數(shù)模型解決問題的過程中，既可以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，又能形成學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì).

【關(guān)鍵詞】立德樹人;數(shù)學(xué)品質(zhì);核心素養(yǎng);函數(shù)主題

黨的二十大報(bào)告中指出，教育是國(guó)之大計(jì)、黨之大計(jì).培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人是教育的根本問題.育人的根本在于立德.全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人.初中數(shù)學(xué)課程一直把“德育”作為課程教學(xué)的首要目標(biāo)（以前的教學(xué)大綱現(xiàn)在的課程標(biāo)準(zhǔn)都是這樣要求的）.本文以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“函數(shù)主題”為例，談?wù)勅绾卧谂囵B(yǎng)學(xué)生“核心素養(yǎng)”的同時(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育的問題.

1初中數(shù)學(xué)教學(xué)要把德育教育放在首位

我們國(guó)家歷來就十分重視德育教育，數(shù)學(xué)大綱或課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要求中，都含有對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育的要求，例如：

1951年3月教育部召開了第一次全國(guó)中學(xué)教育工作會(huì)議，會(huì)議討論通過了《中學(xué)數(shù)學(xué)科課程的標(biāo)準(zhǔn)草案》.此草案把教學(xué)目標(biāo)分為“形數(shù)知識(shí)”“科學(xué)習(xí)慣”“辯證思維”和“應(yīng)用技能”四個(gè)部分，并指出“數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)科學(xué)的基本工具，鍛煉思維的體操”.

1952年12月教育部頒布了新中國(guó)第一個(gè)《中學(xué)數(shù)學(xué)大綱（草案）》，草案中除了強(qiáng)調(diào)知識(shí)外，還要求“在數(shù)學(xué)課中貫徹新民主主義教育”.新民主主義教育是伴隨著新民主主義革命形勢(shì)的發(fā)展而發(fā)展起來的，在“新民主主義教育”中就含有“德育”教育的成分.

2000年3月出版的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（使用修訂版）》在“教學(xué)目的”中要求“培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和初步的辯證唯物主義觀點(diǎn)”.這里的“個(gè)性品質(zhì)”“辯證唯物主義觀點(diǎn)”就屬于德育的范疇.

2001年7月出版的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在“總體目標(biāo)”中提出了“知識(shí)與技能”“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感與態(tài)度”的目標(biāo)要求，并且針對(duì)“情感與態(tài)度”的目標(biāo)，給出了4條具體的闡述.

2012年3月出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)于課程“總目標(biāo)”提出了三條要求，其中第（3）條是“了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度”[1].針對(duì)“總目標(biāo)”，該標(biāo)準(zhǔn)又從“知識(shí)技能”“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”四個(gè)方面進(jìn)行了具體闡述，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的“情感態(tài)度”目標(biāo)提出了5條具體要求，這里的“情感態(tài)度”目標(biāo)就是德育在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn).

當(dāng)時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有一個(gè)口號(hào)，即“數(shù)學(xué)教學(xué)必須整體實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)”[2].把知識(shí)目標(biāo)作為“顯性目標(biāo)”，把德育目標(biāo)作為“隱性目標(biāo)”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中既要落實(shí)“顯性目標(biāo)”，也要落實(shí)好“隱性目標(biāo)”，從而整體實(shí)現(xiàn)“課程目標(biāo)”.

2022年5月出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）的“課程目標(biāo)”是：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）.學(xué)生能：

（1）獲得適應(yīng)未來生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題.

（3）對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神[3].

這里的第（3）條就是“德育”目標(biāo)，在要求上比前版本的第（3）條更加具體明確.教育的主體是“學(xué)生”，各科教師分別用不同的“學(xué)科”作為載體，共同作用于“學(xué)生”.德育教育是“群體”教育，不是某一學(xué)科能單獨(dú)完成的.

例如，張三是數(shù)學(xué)教師，我們不能說張三是“教”數(shù)學(xué)的，應(yīng)該說他是用“數(shù)學(xué)”教育學(xué)生的.同理，物理老師是用“物理”教育學(xué)生的，語文老師是用“語文”教育學(xué)生的，……這樣各科老師都把各自的學(xué)科教學(xué)“聚焦”于學(xué)生，如此培養(yǎng)出來的學(xué)生就是有“德”之才.

進(jìn)一步分析《課標(biāo)（2022年版）》的目標(biāo)（3）可以發(fā)現(xiàn)德育的“成分”很廣，在四個(gè)領(lǐng)域的課程內(nèi)容中，都可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育.例如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”主題的課程內(nèi)容中，能讓學(xué)生意識(shí)到事物是相互聯(lián)系的，如給汽車加油時(shí)，油費(fèi)隨加油數(shù)量的增加而增加（單價(jià)不變）；一天中，氣溫隨時(shí)間的變化而變化等等，又能通過這些實(shí)例的理解進(jìn)一步體會(huì)兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系和依賴關(guān)系，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；學(xué)生在根據(jù)函數(shù)表達(dá)式經(jīng)歷“畫出圖象—觀察圖象—?dú)w納性質(zhì)”的同時(shí)能進(jìn)一步感悟到“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)到數(shù)學(xué)美；在應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題時(shí)，通過對(duì)一些典型實(shí)際問題背景（如國(guó)家跳水隊(duì)、鉛球比賽、羽毛球比賽等為背景的題目以及解決趙州橋、港珠澳大橋、火箭發(fā)射等傳統(tǒng)文化或現(xiàn)代科技為背景的題目）的介紹和問題解決過程中可自然地培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情感，對(duì)學(xué)生進(jìn)行人格教育，幫助學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)學(xué)即生活”的深刻含義；在探究知識(shí)以及利用知識(shí)解決問題的過程中，可培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于探索及合作交流的精神與能力，這些都是重要的德育因素，對(duì)于學(xué)生的健康發(fā)展至關(guān)重要.

2德育教育伴隨在核心素養(yǎng)的形成過程之中

《課標(biāo)（2022年版）》中的課程目標(biāo)和課程內(nèi)容是通過數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)現(xiàn)的，《課標(biāo)（2022年版）》在課標(biāo)“總目標(biāo)”中提出了以“三會(huì)”為統(tǒng)領(lǐng)的義務(wù)教育階段的核心素養(yǎng)體系.對(duì)應(yīng)的解讀認(rèn)為，實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)體系是一個(gè)以“三會(huì)”為中心的多層次目標(biāo)體系，這個(gè)目標(biāo)體系的不同層次之間以遞進(jìn)的方式聯(lián)結(jié).基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系的層次、結(jié)構(gòu)以及相互關(guān)系如圖1所示.

“三會(huì)”處于目標(biāo)體系的核心位置，即核心素養(yǎng)是所有具體目標(biāo)的總目標(biāo).初中核心素養(yǎng)的9種主要表現(xiàn)是為達(dá)成“三會(huì)”而設(shè)置的中間目標(biāo).“四基”“四能”是達(dá)成核心素養(yǎng)目標(biāo)主要表現(xiàn)的支撐目標(biāo).以“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”為支撐的教學(xué)實(shí)施路徑，通過指向核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，達(dá)成培育核心素養(yǎng)的目的[4].

知識(shí)與技能蘊(yùn)含在情境中，學(xué)生在真實(shí)的情境中挖掘、提煉和發(fā)現(xiàn)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，在獲取知識(shí)、形成技能的過程中，積累思考和體驗(yàn)[4]276.隨著學(xué)習(xí)的深入，一旦這些思考和體驗(yàn)再一次出現(xiàn)時(shí)，就會(huì)逐漸上升到思想和經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與目標(biāo)體系中的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)融為一體，便指向了達(dá)成“三會(huì)”的教學(xué)目標(biāo).

《課標(biāo)（2022年版）》指出，“四基”“四能”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體，核心素養(yǎng)對(duì)“四基”“四能”教學(xué)目標(biāo)提出了更高要求.“核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的.”[3]2這里的學(xué)習(xí)主要指對(duì)“課程內(nèi)容”的學(xué)習(xí).下面結(jié)合“函數(shù)主題”的教學(xué)，談?wù)勅绾卧凇昂瘮?shù)”知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中培育和提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

對(duì)于函數(shù)，初中階段主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，學(xué)習(xí)這幾種函數(shù)都是按照下面的過程進(jìn)行的[5]：

（1）從實(shí)際問題情境中抽象得到函數(shù)的模型；

（2）給出函數(shù)的描述性定義；

（3）利用列表、描點(diǎn)、連線這些步驟畫出函數(shù)的圖象；

（4）借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；

（5）應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題.

我們可以用下面的圖2表示這個(gè)學(xué)習(xí)“程序”：

《課標(biāo)（2022年版）》關(guān)于“課程性質(zhì)”的第一句話是“數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系”[3]1.從圖2所示的“程序”可以看出，（1）函數(shù)學(xué)習(xí)起始于“實(shí)際問題”，最后又落腳于解決“實(shí)際問題”，這不僅驗(yàn)證了第一句話的“真實(shí)可靠性”，而且說明“數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面”；（2）學(xué)習(xí)函數(shù)的過程有“概念—性質(zhì)—應(yīng)用”三個(gè)核心環(huán)節(jié).

基于函數(shù)主題培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要途徑有三：

2.1重視函數(shù)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的基本結(jié)構(gòu)單位，正是因?yàn)檫@些數(shù)學(xué)概念的存在，才形成了數(shù)學(xué)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu).“函數(shù)主題”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的三個(gè)主題之一，函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.主要概念有函數(shù)、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、二次函數(shù)和反比例函數(shù).

案例1一次函數(shù)概念的建立過程.

數(shù)學(xué)概念的建立是一個(gè)過程，為了讓學(xué)生經(jīng)歷一次函數(shù)的建立過程，我們根據(jù)《課標(biāo)（2022年版）》提出的“素材的選取應(yīng)盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過程，發(fā)展抽象能力、推理能力等”[3]94要求，設(shè)計(jì)了下面的實(shí)驗(yàn)情境.

【實(shí)驗(yàn)探究】

為了測(cè)定一根彈簧的長(zhǎng)度與所掛重物間的函數(shù)關(guān)系，小澤林設(shè)計(jì)了圖3所示的一個(gè)裝置：

（1）把彈簧的上端固定在鐵架的橫臂上，把一個(gè)刻度尺垂直樹立在鐵架臺(tái)上面，并且量出彈簧下面不掛任何重物時(shí)的長(zhǎng)度S0.

（2）在彈簧的下端掛上一個(gè)鉤碼，在鉤碼靜止不動(dòng)后，量出彈簧的長(zhǎng)度S1.之后，依次在彈簧下端掛2個(gè)、3個(gè)、…、10個(gè)鉤碼，同時(shí)測(cè)量出彈簧的長(zhǎng)度S2，S3，…，S10，把所得到的數(shù)據(jù)填寫在下面的表格中：

【思考解答】

（1）如果設(shè)懸掛的鉤碼數(shù)量為n，彈簧長(zhǎng)度用S表示，在彈簧的彈性限度內(nèi)，隨著n的逐漸增加，S將會(huì)怎么變化？

（2）鉤碼n每增加1個(gè)時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度S伸長(zhǎng)了多少？

（3）你能直接寫出彈簧長(zhǎng)度S與鉤碼個(gè)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

【抽象概括】

你得到的函數(shù)與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)y=x+1，y=-12x，y=3x有哪些共同特征？

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是玩概念的，不是玩技巧的[6]，“玩”是在“過程”中進(jìn)行的，沒有“過程”就不能建立數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一次函數(shù)的建立“過程”，教師必須給學(xué)生提供相應(yīng)的素材.為此，本案例設(shè)計(jì)了上面的問題情境，情境分為“實(shí)驗(yàn)探究”“思考解答”“抽象概括”三個(gè)環(huán)節(jié).

在“實(shí)驗(yàn)探究”環(huán)節(jié)，學(xué)生將根據(jù)“鉤碼的個(gè)數(shù)”測(cè)量出相應(yīng)“彈簧的長(zhǎng)度”，得到下表中第二行的數(shù)據(jù)：

對(duì)于“思考解答”中的三個(gè)問題，學(xué)生根據(jù)表中的數(shù)據(jù)能得到下面的答案：

（1）在彈簧的彈性限度內(nèi)，當(dāng)n逐漸增加時(shí)，S逐漸變大.

（2）每增加1個(gè)鉤碼，彈簧的長(zhǎng)度S都會(huì)增加5mm.

（3）彈簧的長(zhǎng)度S與鉤碼的個(gè)數(shù)n之間函數(shù)的表達(dá)式是S=120+5n.

在“抽象概括”環(huán)節(jié)，學(xué)生在觀察四個(gè)函數(shù)表達(dá)式（S=120+5n，y=x+1，y=-12x，y=3x）特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過比較、抽象、概括等一系列的思維活動(dòng)，抽象出事物的本質(zhì)屬性“表達(dá)式都是自變量的一次式，都可以寫成y=kx+b的形式”.有了這樣的認(rèn)識(shí)，給出一次函數(shù)的概念就水到渠成了.

本案例通過實(shí)驗(yàn)操作引出了一次函數(shù)概念，完成了建立一次函數(shù)概念的任務(wù).從德育方面看，有助于引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，測(cè)量過程有助于培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)操作、認(rèn)真觀察的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.從核心素養(yǎng)角度看，學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、概括表達(dá)能力、模型觀念等核心素養(yǎng)都將得到培養(yǎng)和發(fā)展，也有助于學(xué)生逐步形成應(yīng)用意識(shí).

初中數(shù)學(xué)教材中大約有400個(gè)數(shù)學(xué)概念[7]，對(duì)于每一個(gè)概念，我們都要精心設(shè)計(jì)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問題—感性認(rèn)識(shí)—理性認(rèn)識(shí)”的認(rèn)識(shí)過程.在經(jīng)歷這一系列的過程后，學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)概念，還能感受、領(lǐng)悟到隱含于概念形成過程中的數(shù)學(xué)思想和方法，體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)的性質(zhì)

在引出函數(shù)概念后，就要探究函數(shù)的性質(zhì)，這是學(xué)生必須掌握的“課程內(nèi)容”，探究性質(zhì)的過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也有助于對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育.

案例2探究反比例函數(shù)的性質(zhì).

畫出反比例函數(shù)y=8x的圖象.

【嘗試畫圖】

（1）列表：在x≠0的范圍內(nèi)，選定x的下列值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，完成下面的表格.

（2）描點(diǎn)：如圖4所示.

（3）連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，即可得到反比例函數(shù)y=8x的圖象（圖5）.

【類比應(yīng)用】

你能用上面的方法畫出反比例函數(shù)y=-8x的圖象嗎？試一試（圖6）．

【概括歸納】

（1）觀察圖5和圖6，你發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)y=8x與y=-8x的圖象形狀、位置有哪些共同特征和不同點(diǎn)？

（2）你能說出反比例函數(shù)y=kx（k≠0）及其圖象的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生探究一次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，已經(jīng)積累了描點(diǎn)法畫圖的經(jīng)驗(yàn)，本案例分為“嘗試畫圖”“類比應(yīng)用”“概括歸納”三個(gè)環(huán)節(jié).對(duì)于“嘗試畫圖”中的“列表—描點(diǎn)—連線”問題，所有學(xué)生都能自主完成.由于反比例函數(shù)的圖象不是直線，而且在x=0處是間斷的，所以在某種程度上，這里的描點(diǎn)法畫圖的步驟更具有一般性和代表性.“類比應(yīng)用”的目的是讓學(xué)生利用畫反比例函數(shù)y=8x圖象的方法，畫出反比例函數(shù)y=-8x的圖象.“概括歸納”的目的是讓學(xué)生在觀察比例函數(shù)y=8x和y=-8x的圖象的基礎(chǔ)上，歸納概括出反比例函數(shù)y=kx性質(zhì)（如果認(rèn)為僅僅讓學(xué)生觀察兩個(gè)圖象還不足以概括出性質(zhì)的話，可以再讓學(xué)生畫出y=6x和y=-6x的圖象）.

反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的，這一特性有助于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成勇于探索的科學(xué)精神.從核心素養(yǎng)角度看，本案例有助于學(xué)生進(jìn)一步感悟到數(shù)形結(jié)合，提高了學(xué)生的運(yùn)算能力、觀察能力，培養(yǎng)了學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題”的能力，也有助于幾何直觀和應(yīng)用意識(shí)的形成與發(fā)展.

2.3注重函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用

《課標(biāo)（2022年版）》指出“數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透到現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展”[3]1.數(shù)學(xué)幾乎滲透到了每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面，得到了空前的應(yīng)用.數(shù)學(xué)教育應(yīng)通過數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，讓學(xué)生形成在這個(gè)信息世界里生存的本領(lǐng).

生產(chǎn)生活中的很多問題，都可以通過建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識(shí)加以解決，在這個(gè)過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，初步形成模型觀念，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，不斷增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

案例3工人師傅的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱？

某橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=12m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是5m．

（1）建立如圖7所示的平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)寬為1.2m的打撈船駛到橋拱下方且船的左邊沿距O點(diǎn)0.6m時(shí)，有一名身高1.78m的工人站立在打撈船的正中間，清理河中的垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱？為什么？（假設(shè)船底與水面齊平）

析解（1）由題意得點(diǎn)O（0，0），A（12，0），頂點(diǎn)B（6，5）．觀察發(fā)現(xiàn)拋物線以x=6為對(duì)稱軸，所以可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-6）2+5，將點(diǎn)O（0，0）代入函數(shù)表達(dá)式，解得a=-536，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-536（x﹣6）2+5，即y=-536x2+53x，其中0≤x≤12．

（2）因?yàn)樾〈郞點(diǎn)0.6m，小船寬1.2m，工人直立在小船中間，所以工人距O點(diǎn)距離為0.6+12×1.2=1.2（m）.將x=1.2代入y=-536x2+53x，解得y=1.8（m）．

因?yàn)?.8m＞1.78m，所以此時(shí)工人不會(huì)碰到頭．

設(shè)計(jì)意圖本題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的性質(zhì)后，為了考察學(xué)生利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題的能力而設(shè)計(jì)的.題目以工人在“橋拱截面的河中清理垃圾”為背景，設(shè)計(jì)了兩個(gè)小題.對(duì)于第（1）個(gè)問題，學(xué)生通過觀察圖7可以得到O，A，B三點(diǎn)的坐標(biāo)，并且發(fā)現(xiàn)對(duì)稱軸為x=6，由此設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-6）2+5，并將O點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a的值.解決第（2）的關(guān)鍵是確定出x=1.2.

本題主要考查了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的理解和運(yùn)用情況，解題的前提是觀察圖形，獲取有關(guān)的信息，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，靈活利用二次函數(shù)的性質(zhì).在解答本題的過程中，學(xué)生對(duì)圖8所示的數(shù)學(xué)建模過程有了更深刻的理解，進(jìn)一步促進(jìn)了模型觀念的養(yǎng)成.

除此之外，還可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、空間觀念、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)，不斷提高學(xué)生解決問題的能力.從德育教育來看，解答本題使學(xué)生加深了對(duì)“數(shù)學(xué)服務(wù)于生活”的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)的價(jià)值并感受到數(shù)學(xué)美的真諦，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，這些數(shù)學(xué)品質(zhì)對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及學(xué)生的健康成長(zhǎng)都具有積極的意義.

3教學(xué)啟示

“立德樹人”是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，這項(xiàng)工程體現(xiàn)在教學(xué)、科研、管理、服務(wù)和實(shí)踐等諸多活動(dòng)中.學(xué)校應(yīng)建立思想道德教育、科學(xué)知識(shí)教育、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育、實(shí)踐能力教育、綜合素質(zhì)教育相結(jié)合的立德樹人體系.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，德育教育與核心素養(yǎng)教育是緊密聯(lián)系在一起的，二者是“相互相成”的.教師一定不能將其分開，更不會(huì)有這樣的數(shù)學(xué)課出現(xiàn)：這節(jié)課是專門培養(yǎng)德育的課，這節(jié)課是純粹進(jìn)行核心素養(yǎng)教育的課.

德育教育與核心素養(yǎng)教育都是在“過程”中進(jìn)行的，在引導(dǎo)學(xué)生掌握“四基”形成“四能”的過程中，自然形成了良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，這些數(shù)學(xué)品質(zhì)就是“立德”的具體表現(xiàn)；反之，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，一旦能感知數(shù)學(xué)美，知道了數(shù)學(xué)的價(jià)值，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，能大膽探索數(shù)學(xué)中存在的規(guī)律，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率.

觀察圖1可以看出，培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，為了陪養(yǎng)學(xué)生的9條具體核心素養(yǎng)，應(yīng)大力加強(qiáng)“四基”“四能”的教學(xué).圖1還告訴我們“四基”“四能”的形成離不開“情境”，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的課程內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)與之“相配”的問題情境.

注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)，數(shù)學(xué)應(yīng)用有兩個(gè)階段：一是由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)問題（即實(shí)際問題數(shù)學(xué)化）.二是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題（即解數(shù)學(xué)應(yīng)用題）.前一個(gè)階段是學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程，后一個(gè)階段是利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程.

根據(jù)《課標(biāo)（2022年版）》的要求，對(duì)于新知識(shí)的學(xué)習(xí)（如案例1，2），我們要向?qū)W生展現(xiàn)“知識(shí)背景—知識(shí)形成—揭示聯(lián)系”的過程；運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程（如案例3），應(yīng)體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是在學(xué)生參與這兩個(gè)活動(dòng)的過程中形成與發(fā)展而來的，在這些過程中同時(shí)會(huì)實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)品質(zhì)的德育目標(biāo).

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作者簡(jiǎn)介李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學(xué)正高級(jí)教師;全國(guó)義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）核心作者，中國(guó)人民大學(xué)《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委，湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委，《山東教育》特約記者.