加減法運(yùn)算意義理解中的情境原型研究

余水琴

［摘 要］探究加減法運(yùn)算的基本意義，特別是在生活化情境原型中的意義，是幫助學(xué)生有效建構(gòu)四則運(yùn)算思維模型的重要措施?；诖?，教師要摒棄純計(jì)算方法的機(jī)械式教學(xué)，把教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)落在引導(dǎo)學(xué)生感知不同事例中加減法情境的存在上，使他們建立起對(duì)應(yīng)的情境模型，為學(xué)生真正理解運(yùn)算意義打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，以提高學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)；加減法運(yùn)算；情境原型；比較關(guān)系；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）03-0037-03

傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)的弊端顯而易見(jiàn)，部分教師在教學(xué)中要求學(xué)生記住題型、記住方法，解答應(yīng)用題時(shí)直接套用，這樣教學(xué)不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，與新課程理念相違背。因此，教師要摒棄傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)模式，把學(xué)生引向有邏輯關(guān)聯(lián)的問(wèn)題情境和運(yùn)算意義的探究上，幫助學(xué)生較好地理解情境原型，激活他們記憶中情境原型的經(jīng)驗(yàn)，為他們的終身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積蓄潛能。

一、加減法情境原型的研究背景

“對(duì)正整數(shù)加減法現(xiàn)實(shí)意義而言，其情境原型主要有四種：聚合、比較、增加性變化、減少性變化?！边@是鄭毓信教授提出的有關(guān)情境原型的觀(guān)念，它對(duì)于本課題研究有著積極的指導(dǎo)意義。

（一）研究對(duì)象

考慮到測(cè)試的代表性，主要抽選了全區(qū)一至三年級(jí)的部分學(xué)生。

（二）研究方法

首先，利用樣本測(cè)試等方式，結(jié)合大數(shù)據(jù)分析等手段，真實(shí)地把握本地小學(xué)生情境原型建立的情況，分析其中可能存在的有利因素和不利因素。其次，采取后期跟蹤、回訪(fǎng)等措施，弄清學(xué)生在建立情境原型中的實(shí)際困難，排查清楚緣由，為后續(xù)開(kāi)展課題研究提供信息支持。

1.前期樣本測(cè)試與數(shù)據(jù)分析

（1）開(kāi)展全區(qū)一至三年級(jí)學(xué)生的樣本測(cè)試，初步了解學(xué)生對(duì)加減法情境原型的建立情況。

（2）采取問(wèn)卷調(diào)查等方式，采集學(xué)生較為喜愛(ài)的問(wèn)題情境信息，為后續(xù)的深入研究提供信息支持。

（3）比較不同版本教材和不同學(xué)段的學(xué)生，了解他們對(duì)情境原型建立的差異，為課題研究提供信息保障。

（4）采集學(xué)生在練習(xí)或測(cè)試中的錯(cuò)誤案例，解析其原因，分析情境原型建立的不足之處。

2.后期樣本測(cè)評(píng)跟蹤和回訪(fǎng)目的

（1）徹底摸清學(xué)生對(duì)加減法運(yùn)算意義在理解上的不足之處，特別是數(shù)學(xué)知識(shí)提取中出現(xiàn)的困難或偏差。

（2）初步分析學(xué)生在情境原型提取、應(yīng)用中的思維差異，探尋突破難點(diǎn)的新路徑。

（三）測(cè)試和訪(fǎng)談

本次樣本測(cè)試的題目有兩類(lèi)：一是看算式創(chuàng)設(shè)情境；二是一步計(jì)算解決問(wèn)題。

1.看算式創(chuàng)設(shè)情境的測(cè)試情況

學(xué)生對(duì)這類(lèi)題都比較喜愛(ài)，各年級(jí)的水平差距不明顯?？紤]到低年級(jí)學(xué)生的識(shí)字量少、抽象思維水平低、理解數(shù)量關(guān)系能力弱等情況，設(shè)計(jì)的測(cè)試題中，前兩題只需要學(xué)生畫(huà)圖明義就可以了，后兩題則需要學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)。測(cè)試題如下：

（1）用喜歡的圖畫(huà)，表示算式3+5。

（2）畫(huà)圖表示算式5-3。

（3）結(jié)合自己的平時(shí)學(xué)習(xí)，創(chuàng)設(shè)兩個(gè)問(wèn)題情境，需要反映出算式9+3的解答過(guò)程。

（4）創(chuàng)設(shè)兩個(gè)不一樣的問(wèn)題情境，用到9-3這一算式。

2.一步計(jì)算解決問(wèn)題的測(cè)試情況

這主要考查察對(duì)不同的問(wèn)題情境時(shí)，學(xué)生所顯示出來(lái)的綜合應(yīng)用知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思維研究問(wèn)題的能力。按照合理配比、有序測(cè)試的原則，一二年級(jí)均設(shè)計(jì)了10道題，即一年級(jí)測(cè)試的是聚合原型題，二年級(jí)測(cè)試的是比較原型情境題。其中，面對(duì)同一情境原型，既創(chuàng)設(shè)了加法情境，又創(chuàng)設(shè)了減法情境，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈敏性、嚴(yán)謹(jǐn)性得到一定的鍛煉。同時(shí)，設(shè)計(jì)題目時(shí)不僅關(guān)注學(xué)生的思維創(chuàng)新，還注重學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的夯實(shí)，將傳統(tǒng)的11種基本應(yīng)用題型全部融入其中，使測(cè)試更具整體性，更有利于課題研究的深入。如設(shè)計(jì)“已知兩數(shù)的和與其中一個(gè)數(shù)，計(jì)算另一個(gè)數(shù)”的常規(guī)題型，目的是了解學(xué)生對(duì)加法情境、減法情境原型的建立度有多高，及對(duì)應(yīng)的思維模型水平怎樣。

3.測(cè)試結(jié)果計(jì)分和解釋

測(cè)試中的每一道題都包含不同的情境原型。為了更精準(zhǔn)地了解學(xué)生對(duì)不同情境原型的掌握情況，不采取總分統(tǒng)計(jì)的方式，而是采取分題統(tǒng)計(jì)的方式，以便進(jìn)行必要的數(shù)據(jù)甄別，從正確率、失分率中探尋問(wèn)題的癥結(jié)所在，為后續(xù)進(jìn)一步研究提供必要的數(shù)據(jù)。如果學(xué)生對(duì)某一類(lèi)情境原型理解的正確率達(dá)到85%及以上，則可以認(rèn)為學(xué)生對(duì)該原型的建立是合格的。

4.訪(fǎng)談

訪(fǎng)談是課題研究中最為常用的方法之一，也是最有針對(duì)性和實(shí)效性的方式之一。為深入了解學(xué)生對(duì)比較情境原型的理解和掌握情況，特別是學(xué)生對(duì)該類(lèi)型問(wèn)題的思考與探究困難，教師有必要展開(kāi)訪(fǎng)談、調(diào)查等活動(dòng)。提綱訪(fǎng)談擬訂如下：

（1）仔細(xì)閱讀問(wèn)題，簡(jiǎn)要分析題目大意，明晰其中的數(shù)學(xué)信息。

（2）嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)陳述思考過(guò)程，或展示研究問(wèn)題的思路。

（3）要求學(xué)生說(shuō)出自己選擇運(yùn)用加減法的緣由。

（4）給予必要的指導(dǎo)或啟發(fā)，如指導(dǎo)畫(huà)示意圖、線(xiàn)段圖或聯(lián)系常見(jiàn)的學(xué)習(xí)例子等。

低年級(jí)學(xué)生由于邏輯思維和抽象思維還未發(fā)展成熟，所以即使理解一般的加減法運(yùn)算，也需要借助形象直觀(guān)的素材，甚至是借助直觀(guān)操作來(lái)完成知識(shí)同化。但是，可供揭示加減法運(yùn)算意義的直觀(guān)情境非常繁雜，表象也非常多，容易使學(xué)生迷失在情境中，難以歸納出情境的共性，無(wú)法提煉出其本質(zhì)特征，更無(wú)法將這些情境分門(mén)別類(lèi)。通過(guò)訪(fǎng)談?wù){(diào)查、問(wèn)卷調(diào)查，可以迅速摸清學(xué)生對(duì)加減法應(yīng)用模型的掌握情況，進(jìn)而制訂一系列的應(yīng)對(duì)和補(bǔ)救措施，深化學(xué)生對(duì)加減法運(yùn)算意義的理解。特別是后期讓學(xué)生根據(jù)同一道加法算式創(chuàng)設(shè)兩個(gè)不同情境、根據(jù)同一道減法算式創(chuàng)設(shè)兩個(gè)不同情境的教學(xué)實(shí)踐，能夠較好地激發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣。同時(shí)，這樣能夠給予學(xué)生更大的自由度，讓他們充分發(fā)揮想象，自主決策。經(jīng)過(guò)這樣逆向思維的情境創(chuàng)設(shè)后，學(xué)生會(huì)對(duì)加減法的基本意義和運(yùn)算原理有一個(gè)全面的把握。

二、解析情境原型的研究現(xiàn)實(shí)

（一）測(cè)試結(jié)果分析

隨著研究的開(kāi)展，學(xué)生對(duì)各種情境原型理解的正確率均已超過(guò)85%，他們能夠較好地建立起加減法情境的原型，并能夠運(yùn)用該模型解決問(wèn)題。我們課題組在研究中還發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：學(xué)生對(duì)比較情境原型的解讀與領(lǐng)悟較為困難，正確率只有78.91%，遠(yuǎn)沒(méi)有預(yù)期的效果。特別是分析“水果超市有45千克蘋(píng)果，比鴨梨少10千克，鴨梨有多少千克？”這種情境原型的問(wèn)題時(shí)尤為嚴(yán)峻，學(xué)生解題的正確率僅有63.54%。另外，一年級(jí)學(xué)生在解題時(shí)，約有24%的學(xué)生會(huì)采取類(lèi)似方程的策略表示出題中的數(shù)量關(guān)系，但是這種思維在二年級(jí)的解決問(wèn)題的練習(xí)中卻很少使用，甚至是銷(xiāo)聲匿跡了。

（二）看算式創(chuàng)設(shè)情境的測(cè)試結(jié)果及分析

從分析的統(tǒng)計(jì)信息中，能夠看出最受學(xué)生青睞的加法情境原型是聚合與增加性變化兩類(lèi)，最喜愛(ài)的減法情境原型是減少性變化。

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)教材版本的敏感度是較低的，這對(duì)測(cè)試結(jié)果幾乎是沒(méi)有影響的。同時(shí)，發(fā)現(xiàn)班級(jí)不同，測(cè)試結(jié)果的差異較大。這些都能夠較清晰地顯示出教師的教學(xué)方式、教學(xué)行為對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的影響是巨大的，可謂是至關(guān)重要的。

另外，部分學(xué)生學(xué)會(huì)一式多型，即由一道算式創(chuàng)設(shè)出多種不同的情境。

（三）學(xué)生的主要錯(cuò)誤

學(xué)生的主要錯(cuò)誤集中在一些逆向思維描述的比較關(guān)系模型上。如“蘋(píng)果有8個(gè)，比桃子個(gè)數(shù)少3個(gè)，桃子有多少個(gè)？”，有些學(xué)生會(huì)列式解答為8-3，顯然這是錯(cuò)誤的。

（四）訪(fǎng)談?dòng)涗?/p>

測(cè)試后，對(duì)不同的學(xué)生進(jìn)行訪(fǎng)談，從中了解到情境原型掌握不夠靈活或是不甚透徹的原因。梳理分析后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維程式化的現(xiàn)象較為明顯，思考問(wèn)題的方式較為單一。如見(jiàn)到題目中有“比……多……”就一律用加法，看到題目中有“比……少……”則用減法。從這種現(xiàn)象能夠看出，教師在教學(xué)中對(duì)加減法情境原型變化的靈活性欠缺，導(dǎo)致學(xué)生在情境原型中提取信息時(shí)出現(xiàn)思維混亂的情況。結(jié)合學(xué)生的測(cè)試結(jié)果分析，我們課題組將比較情境原型列為重點(diǎn)來(lái)研究。

三、造成比較情境原型障礙的原因與教學(xué)思路

（一）學(xué)生的思維障礙

障礙1：比較關(guān)系理解欠缺

如“烏龜跑了30米，烏龜比兔子少跑10米”，學(xué)生常常斷章取義，錯(cuò)誤地理解為“烏龜跑了30米，兔子跑了10米”。這說(shuō)明學(xué)生對(duì)“烏龜比兔子少跑10米”的理解尚未達(dá)到悟透的層次，對(duì)其中邏輯關(guān)系的解讀是模糊的。

障礙2：能理解關(guān)系，但不能列出算式

題目：小明有20顆玻璃珠，小華有25顆玻璃珠，小華比小明多幾顆玻璃珠？

生：（閱讀題目后）這題用加法計(jì)算，即20+25=45（顆）。

師：?jiǎn)栴}是什么？它到底是什么含義？

生：比如說(shuō)，我有3塊橡皮，小紅有6塊橡皮，6塊橡皮比3塊橡皮多幾塊？

師：怎樣列式？

生：6+3=9（塊）。

師：可以用畫(huà)圖來(lái)解析這個(gè)問(wèn)題嗎？

（學(xué)生邊畫(huà)圖邊描述）

……

障礙3：受思維定式（如見(jiàn)“多”就用加法，見(jiàn)“少”就用減法）影響

題目：折紙比賽中，李晨折了30只紙鶴，李晨比劉強(qiáng)少折10只。劉強(qiáng)折了多少只紙鶴？

師：怎么列式？

生：有“比……少……”，毫無(wú)疑問(wèn)，這題用減法計(jì)算，即30-10。

師：用減法來(lái)計(jì)算，你的想法是什么？

生：因?yàn)椤袄畛勘葎?qiáng)少折10只”，明確說(shuō)到“少”，少就是減少，用減法計(jì)算。

……

（二）學(xué)生的學(xué)習(xí)思路

我們課題組既重視研究的順利推進(jìn)，又關(guān)注學(xué)生對(duì)情境原型的建立，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖等策略去明晰比較的關(guān)系，使學(xué)生有序思考的思維能力得到培養(yǎng)與發(fā)展。結(jié)合具體事例，學(xué)生能夠較好地理解比較關(guān)系中的主體和客體、標(biāo)準(zhǔn)量和相對(duì)量，進(jìn)而把它們與加減法運(yùn)算順利對(duì)接。標(biāo)準(zhǔn)量和相對(duì)量之間的互逆關(guān)系，可以對(duì)應(yīng)到加減法的互逆轉(zhuǎn)換上，實(shí)現(xiàn)加減法思維模型的初步建立。

例如：“肖戰(zhàn)今年接拍商業(yè)代言15個(gè)，王俊博比肖戰(zhàn)少接商業(yè)代言5個(gè)。王俊博接拍商業(yè)代言幾個(gè)？”教師讓學(xué)生拿出小棒，模擬題目中的對(duì)應(yīng)關(guān)系擺出小捧，幫助學(xué)生較好地感悟其中的邏輯關(guān)系。

生：15根小棒是肖戰(zhàn)接拍商業(yè)代言的數(shù)量，10根小棒是王俊博接拍商業(yè)代言的數(shù)量。

師：少的5根小棒是什么呢？

生：（指向“空白處”）是王俊博比肖戰(zhàn)少接拍的商業(yè)代言數(shù)，即15-10=5（個(gè)）。

……

通過(guò)實(shí)踐操作及分析數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生明晰了減法的意義?？墒牵S著訪(fǎng)談的開(kāi)展，發(fā)現(xiàn)了不少令人匪夷所思的現(xiàn)象，那就是學(xué)生“心口不一”“想做缺位”。具體表現(xiàn)為：學(xué)生的表層意識(shí)與外顯表達(dá)嚴(yán)重脫節(jié)，外顯表達(dá)具有嚴(yán)重的經(jīng)驗(yàn)性和機(jī)械性，導(dǎo)致理解與列式南轅北轍，最終出現(xiàn)認(rèn)知障礙和表達(dá)偏差的“綜合征”。

加減法互為逆運(yùn)算，邏輯上本就有許多的共通之處。隨著情境原型的改變，學(xué)生就會(huì)隨意轉(zhuǎn)換視角，把數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系混為一談，導(dǎo)致知識(shí)提取、經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用出現(xiàn)錯(cuò)誤。為此，教師要針對(duì)這一情況對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的邏輯訓(xùn)練，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)表達(dá)的矯正訓(xùn)練，讓學(xué)生徹底厘清各個(gè)數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找準(zhǔn)基準(zhǔn)量和比較量，從而列出正確的算式，真正明確算式各部分的含義。

四、比較情境原型的教學(xué)方向

首先，通過(guò)研究進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)加減法情境原型的建立情況。隨著年級(jí)的遞增，情境原型的學(xué)習(xí)也變得豐富起來(lái)，但是學(xué)生對(duì)比較情境原型的學(xué)習(xí)還是顯得非常吃力。

其次，通過(guò)研究初步了解學(xué)生學(xué)習(xí)加減法情境原型的困難所在：對(duì)比較關(guān)系理解、情境理解和運(yùn)算意義理解斷裂，使得學(xué)習(xí)中難以實(shí)現(xiàn)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和思維的全方位對(duì)接。

最后，通過(guò)研究了解學(xué)生理解比較關(guān)系的思維方式：先理解比較關(guān)系，再畫(huà)圖表示對(duì)應(yīng)數(shù)量，將數(shù)量對(duì)比關(guān)系抽象成加減法算式，然后選擇方法計(jì)算，解決問(wèn)題。

從多次訪(fǎng)談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維過(guò)程理解才是核心，表象是參照。唯有如此，學(xué)生才能在不同情境中靈活分析原型與解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要適時(shí)為學(xué)生提供多樣化的情境原型，重視學(xué)生積累比較關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生真正理解與掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，助力他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（責(zé)編 杜 華）