初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)實驗的開展與注意點

孟娜

［摘? 要］ 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中借助實驗的方法能夠促進學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu). 認識到數(shù)學(xué)實驗的價值、尋找到數(shù)學(xué)實驗開展的有效策略、能夠規(guī)避數(shù)學(xué)實驗開展過程中的一些誤區(qū)，那數(shù)學(xué)實驗所發(fā)揮的作用就一定是積極的，在促進學(xué)生學(xué)習(xí)并運用數(shù)學(xué)知識方面一定是高效的. 站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度看數(shù)學(xué)實驗，可以發(fā)現(xiàn)其價值在于可以塑造數(shù)學(xué)學(xué)科的全新形態(tài)；站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看數(shù)學(xué)實驗，可以發(fā)現(xiàn)其價值在于面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的時候，動手做成了一個重要的組成部分；站在教師教學(xué)的角度看數(shù)學(xué)實驗，可以發(fā)現(xiàn)其價值在于課堂上不再只是口頭的講授，更應(yīng)當(dāng)是賦予學(xué)生自主探究的時間與空間，是面向?qū)W生進行數(shù)學(xué)實驗的引導(dǎo)、組織及評價.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；開展；注意點

數(shù)學(xué)實驗是近年來初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個熱門話題，盡管很多專家學(xué)者都對數(shù)學(xué)實驗的價值進行了充分的闡述，但是站在一線教師的角度看數(shù)學(xué)實驗，更是感覺其魅力非凡. 對數(shù)學(xué)實驗的通俗理解，可以是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中借助實驗的方法來促進數(shù)學(xué)知識的建構(gòu). 相對于傳統(tǒng)的教學(xué)而言，數(shù)學(xué)實驗的引入，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的時候有了“做”的機會——實驗一定是要動手做的，在做實驗之前也是需要動腦構(gòu)思的. 因此，有了數(shù)學(xué)實驗，動腦思考與動手做就能自然地融合在一起. 考慮到數(shù)學(xué)知識的抽象性，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中會遇到的諸多困難，數(shù)學(xué)實驗在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實用價值就得以體現(xiàn). 當(dāng)然，不少同行認為數(shù)學(xué)實驗的引入必然會占用更多的學(xué)生學(xué)習(xí)與訓(xùn)練時間，產(chǎn)生數(shù)學(xué)實驗影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的顧慮. 有這樣的想法純屬正常，但只要認識到數(shù)學(xué)實驗的價值、尋找到數(shù)學(xué)實驗開展的有效策略、能夠規(guī)避數(shù)學(xué)實驗開展過程中的一些誤區(qū)，那數(shù)學(xué)實驗所發(fā)揮的作用就一定是積極的，在促進學(xué)生學(xué)習(xí)并運用數(shù)學(xué)知識方面一定是高效的.

近年來筆者在教學(xué)實踐中嘗試開展數(shù)學(xué)實驗，并努力追求數(shù)學(xué)實驗的常態(tài)化，取得了較好的教學(xué)成果. 下面結(jié)合“圓錐的側(cè)面積”的教學(xué)就數(shù)學(xué)實驗的開展以及相關(guān)注意點，來談一些筆者的做法與思考.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)實驗的價值

從嚴格定義的角度來看，數(shù)學(xué)實驗是通過動腦動手“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生運用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操為特征的數(shù)學(xué)驗證或探究活動［1］. 在這樣的定義當(dāng)中可以看出，數(shù)學(xué)實驗也就是借助相關(guān)工具在思維活動的參與驅(qū)動之下進行的具有實際操作特征的活動，同時也明確了數(shù)學(xué)實驗的最終目的是進行數(shù)學(xué)驗證或探究活動. 數(shù)學(xué)驗證面向已有結(jié)論，探究活動面向未知結(jié)論，而這兩者也就概括了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵. 認識數(shù)學(xué)實驗在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值，具體可以從以下三個方面來闡述.

第一，站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度看數(shù)學(xué)實驗，可以發(fā)現(xiàn)其價值在于塑造數(shù)學(xué)學(xué)科的全新形態(tài). 對于大多數(shù)初中學(xué)生而言，他們所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是抽象的數(shù)學(xué)符號與圖象的學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)課堂上主要的任務(wù)就是學(xué)會運用這些符號，并且應(yīng)用到習(xí)題和考試中. 實際上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形態(tài)并非如此，學(xué)過勾股定理的人都知道，從畢達哥拉斯研究地磚圖形開始，至今共出現(xiàn)過100多種證實勾股定理的方法，其中涉及的人除了數(shù)學(xué)家還有各個領(lǐng)域的人士，這是一段豐富多彩的歷史，這段歷史成了數(shù)學(xué)的本真形態(tài). 但是由于種種原因，出現(xiàn)在初中學(xué)生面前的數(shù)學(xué)是高度抽象的，這使得數(shù)學(xué)的形象在學(xué)生的眼中被大大簡化了. 有了數(shù)學(xué)實驗之后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)原來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也可以通過動手做的方式來完成，而要想讓動手做的過程變得更有質(zhì)量，又離不開對學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度思考，如此構(gòu)成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形態(tài)，就是動手做與動腦思考結(jié)合在一起、形象的手動加工對象與抽象的思維加工對象結(jié)合在一起、抽象的數(shù)學(xué)習(xí)題解答與高質(zhì)量的問題解決結(jié)合在一起……如此，數(shù)學(xué)的形態(tài)會更加完整，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程會更加精彩.

第二，站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看數(shù)學(xué)實驗，可以發(fā)現(xiàn)其價值在于面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的時候，動手做成了一個重要的組成部分. 數(shù)學(xué)實驗中的動手做，不是簡單的根據(jù)固定的步驟去完成指令性的動作，而是具有探究與驗證意味和深度思維的動手做. 學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上，既有獲得數(shù)學(xué)知識的需要，又有發(fā)展自身知識運用能力的需要，還有發(fā)展自身數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要. 所有這些需要的滿足，都依賴于具體的學(xué)習(xí)過程，很顯然數(shù)學(xué)實驗是在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上開辟了一條新的途徑，學(xué)生可以在手腦并用的過程中滿足自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，這不僅能夠促進學(xué)生的認知發(fā)展，還能夠促進學(xué)生的情感發(fā)展，是傳統(tǒng)教學(xué)方式無法替代的.

第三，站在教師教學(xué)的角度看數(shù)學(xué)實驗，可以發(fā)現(xiàn)其價值在于數(shù)學(xué)課堂上不再只是口頭的講授，更應(yīng)當(dāng)是賦予學(xué)生自主探究的時間與空間，是面向?qū)W生進行數(shù)學(xué)實驗的引導(dǎo)、組織及評價. 這對于初中傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)而言也是一種突破，教師只有在自身了解數(shù)學(xué)實驗的實質(zhì)、準(zhǔn)確預(yù)測數(shù)學(xué)實驗發(fā)展進程的前提下，才能讓學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)實驗當(dāng)中去. 這對于教學(xué)而言也是一個重要的突破，如何在繼承優(yōu)秀教學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)實驗滲透其中，是初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注的問題.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)實驗的開展

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實驗不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，它強調(diào)以學(xué)生動手實驗來探索數(shù)學(xué)結(jié)論、研究數(shù)學(xué)問題、體驗解題過程［2］. 在具體組織實施數(shù)學(xué)實驗的時候，既需要對教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的學(xué)習(xí)需要進行研究，又需要對數(shù)學(xué)實驗的過程進行必要的預(yù)設(shè)，在實驗之后還要進行恰如其分的評價. 只有這樣才能讓數(shù)學(xué)實驗貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)的始終，成為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的重要抓手.

“圓錐的側(cè)面積”這一內(nèi)容對于初中學(xué)生而言有一定的難度，其原因之一在于盡管初中學(xué)的是平面幾何，但圓錐是一個立體圖形，學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積，不是簡單地記住一個公式，而應(yīng)當(dāng)是在大腦中有了清晰的圓錐側(cè)面積的表象之后形成的關(guān)于側(cè)面積計算的完整理解. 因此，在掌握圓錐的側(cè)面積計算公式之前，生成一個完整的表象就顯得比較重要，而此時學(xué)生就可以借助數(shù)學(xué)實驗來完成表象的生成.

考慮到學(xué)生已掌握的知識，本節(jié)課在設(shè)計數(shù)學(xué)實驗的時候可以先進行兩個環(huán)節(jié). 一是讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的半硬紙板做一個圓錐. 學(xué)生在這個環(huán)節(jié)有可能出現(xiàn)兩種選擇. 選擇之一就是用一個圓形的紙片，再畫出兩條半徑將圓形紙片分為兩個扇形并且剪去其中一個扇形，將剩下的扇形的兩條半徑對接到一起得到一個圓錐. 選擇之二就是用一個正方形的紙片相鄰兩邊對接在一起得到一個類似于錐形的物體，然后將這個物體的底面修剪平整得到圓錐. 學(xué)生的這兩種選擇實際上對應(yīng)著不同的表現(xiàn)，做出前一種選擇的學(xué)生，大腦中就知道圓錐側(cè)面沿半徑剪開之后是一個扇形，而選擇后一種思路的學(xué)生，大腦中對圓錐的印象則相對模糊. 因此，在實驗環(huán)節(jié)教師要組織學(xué)生多重復(fù)圓錐展開與圓錐側(cè)面卷曲這兩個動作. 事實證明通過這種重復(fù)性的動手操作，可以讓學(xué)生大腦中的“圓錐側(cè)面”表象變得非常清晰，這也就為學(xué)生后續(xù)探究圓錐的側(cè)面積公式打下基礎(chǔ).

由于學(xué)生已經(jīng)認識到了圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，因此探究圓錐的側(cè)面積，實際上就是探究該扇形的面積. 扇形作為圓的一部分，學(xué)生在探究該面積的時候，最直觀的判斷就是借助圓心角，然后利用圓心角與圓周角的比例來推導(dǎo)出圓錐的側(cè)面積計算方法. 在探究的過程中，教師先要尊重學(xué)生的這一判斷結(jié)果，然后給出新的條件. 假如知道圓錐的母線長為l，圓錐的底面圓半徑為r，那又應(yīng)當(dāng)如何計算圓錐的側(cè)面積呢？

教學(xué)實踐表明，如果學(xué)生僅僅是面對這樣一段文字來構(gòu)思，困難還是比較大的. 但是如果能夠?qū)⑾嚓P(guān)的數(shù)據(jù)搬到剛剛所制作的圓錐上，那學(xué)生推理過程中面臨的困難要小得多. 實際上所謂的將數(shù)據(jù)搬到圓錐上，就是從“數(shù)”的角度去研究“形”，而且這樣的研究對象不是抽象的思維，而是實實在在的由自己動手制作出來的實物（如圖1所示）. 有了這樣的數(shù)學(xué)實驗操作的鋪墊，那么學(xué)生就可以獲得一個新的計算圓錐側(cè)面積的公式，即圓錐的側(cè)面積S=πrl.

從鞏固學(xué)生所學(xué)知識的角度來看本內(nèi)容的教學(xué)，在學(xué)生獲得圓錐側(cè)面積計算公式之后，還可以設(shè)計一個實驗活動，筆者借鑒課本上的設(shè)計，從逆向思維的角度為學(xué)生設(shè)計了這樣一個實驗活動：利用手邊給出的硬紙板，制作一個側(cè)面積大約是60平方厘米的圓錐.

這實際上是一個具有開放性的數(shù)學(xué)問題，在只給出側(cè)面積大小的前提之下，學(xué)生必須去判斷母線長是多少、底面圓的半徑是多少，這樣才能制作出符合要求的圓錐. 很顯然這里有兩個未知數(shù)，學(xué)生有多種選擇. 這就保證了學(xué)生在完成數(shù)學(xué)實驗的時候，可以自主思考，而不必模仿他人. 學(xué)生思考的工具當(dāng)然就是圓錐側(cè)面積的計算公式，根據(jù)S=πrl，學(xué)生要考慮r和l的選值. 當(dāng)學(xué)生注意到這一點之后，教師可以再加一個小問題：要讓自己所制作出來的圓錐更加美觀，你在確定r和l取值的時候應(yīng)當(dāng)注意怎樣的要求？盡管這只是一個小小的問題，但卻可以大大激活學(xué)生進行數(shù)學(xué)實驗的興趣，為了滿足這一要求，學(xué)生就必須去嘗試. 于是，課堂上既有學(xué)生的自主思考與制作，又有自發(fā)的交流與討論，學(xué)生在完成實驗的過程中將圓錐側(cè)面積的公式運用得爐火純青，而圓錐側(cè)面的表象在學(xué)生的大腦當(dāng)中也更加清晰與牢固. 這樣的教學(xué)效果自然是理想的，而這一教學(xué)效果的獲得與數(shù)學(xué)實驗有著極大的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)教學(xué)中開展實驗的注意點

毫無疑問借助數(shù)學(xué)實驗來優(yōu)化初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，可以取得積極的成效. 在開展數(shù)學(xué)實驗的時候也有一些注意點，這是保證數(shù)學(xué)實驗取得成功的關(guān)鍵. 筆者在實踐的過程中，總結(jié)出這樣幾個注意點. 其一，教師設(shè)計數(shù)學(xué)實驗的時候，要以學(xué)生動手做的內(nèi)容為重心. 數(shù)學(xué)實驗異于傳統(tǒng)教學(xué)的地方就在于有“做”的成分，這是學(xué)生的興趣所在，不能淡化，不能壓縮. 其二，教師在組織實施數(shù)學(xué)實驗的時候，要讓學(xué)生有足夠的思考空間. 有的學(xué)生喜歡先想后做，有的學(xué)生喜歡邊想邊做，也有的學(xué)生喜歡先做后想，不同的選擇背后有著不同的思維方式，教師要尊重學(xué)生的每一種選擇. 其三，教師在數(shù)學(xué)實驗之后要科學(xué)認真地評價. 不少學(xué)生在實驗的時候容易滿足于表面的興趣，要改變這樣的現(xiàn)狀，最好的辦法就是教師及時給出科學(xué)的評價. 教師可以通過表揚先進、提示不足的方法，來放大學(xué)生實驗過程中表現(xiàn)出來的優(yōu)點，同時明確部分學(xué)生身上出現(xiàn)的不足，這樣可以讓不同層次的學(xué)生都有所收獲.

以上提到的三個注意點，在一個完整的數(shù)學(xué)實驗過程中不僅要同時出現(xiàn)，還要結(jié)合學(xué)生的具體情況有所側(cè)重，這樣就可以讓數(shù)學(xué)實驗真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)與運用數(shù)學(xué)知識的重要推動力. 特別值得一提的是在三個注意點當(dāng)中的科學(xué)評價，教師要引起高度重視. 初中數(shù)學(xué)實驗課堂教學(xué)評價的目的旨在改善教師教與學(xué)生學(xué)的行為，并更新實驗內(nèi)容，評價的取向注重對數(shù)學(xué)實驗主體學(xué)生及其實驗過程、手腦的協(xié)同與數(shù)學(xué)實驗整體成效的評價. 評價過程是否科學(xué)，評價體系是否完善，反映了教師對數(shù)學(xué)實驗的理解程度，這也是教師基于數(shù)學(xué)實驗實現(xiàn)專業(yè)成長的重要臺階.

參考文獻：

［1］董林偉，孫朝仁. 初中數(shù)學(xué)實驗的理論研究與實踐探索［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報， 2014，23（06）：20-25.

［2］伍銀平，卜以樓. 初中數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)誤區(qū)及矯正方法［J］. 教學(xué)與管理， 2015（22）：60-63.