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    關(guān)于解直角三角形問(wèn)題的探究與思考

    2023-05-30 08:28:06李超
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合角度概念

    [摘? 要] 解直角三角形是中考常見(jiàn)的應(yīng)用型問(wèn)題,類(lèi)型多樣,解析突破需經(jīng)歷幾何建模、轉(zhuǎn)化構(gòu)建等思維過(guò)程. 理解對(duì)應(yīng)的概念,合理構(gòu)建模型是解題的關(guān)鍵. 文章以一道解直角三角形考題為例,解析問(wèn)題,總結(jié)方法,并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行多類(lèi)型拓展探究.

    [關(guān)鍵詞] 解直角三角形;模型;角度;概念;數(shù)形結(jié)合

    基金項(xiàng)目:江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“高質(zhì)量教學(xué)視域下初中課堂新教學(xué)樣態(tài)的構(gòu)建研究”(GH14-21-L161).

    作者簡(jiǎn)介:李超(1982—),本科學(xué)歷,中小學(xué)一級(jí)教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作,曾獲江蘇省“優(yōu)秀科技輔導(dǎo)員”、徐州市“彭成恩師”稱號(hào).

    解直角三角形是中考必考內(nèi)容,問(wèn)題難度不高,但類(lèi)型多樣,涉及幾何、三角函數(shù)等知識(shí),需要通過(guò)構(gòu)造模型、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化分析來(lái)推導(dǎo)線段或角度關(guān)系. 因此,對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行探究總結(jié)十分必要,下面以真題引例為切入點(diǎn),逐步拓展探究.

    真題解析

    真題引例 (2022年連云港市中考卷第24題)我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔,是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔. 小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度. 如圖1所示,小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)C的仰角∠CAE=45°,再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m. 小亮在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿FG,小亮的所在位置點(diǎn)D、標(biāo)桿頂F、最高點(diǎn)C在一條直線上,F(xiàn)G=1.5 m,GD=2 m. (注:結(jié)果精確到0.01 m,參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.799,cos53°≈0.602,tan53°≈1.327).

    (1)求阿育王塔的高度CE;

    (2)求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

    分析:本題目為解直角三角形問(wèn)題,涉及仰角與俯角知識(shí). 題設(shè)兩問(wèn),給出了相應(yīng)的測(cè)量條件,求塔高CE的長(zhǎng)度,以及人與塔之間的距離ED的長(zhǎng)度. 問(wèn)題模型已經(jīng)構(gòu)建,通過(guò)數(shù)形結(jié)合理解題意,提取其中的直角三角形即可求解.

    過(guò)程與解:(1)在Rt△CAE中,因?yàn)椤螩AE=45°,則CE=AE. 結(jié)合AB=10 m,可得BE=AE-10=CE-10.

    教學(xué)思考

    1. 理解概念,靈活運(yùn)用

    解直角三角形問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)典型題,問(wèn)題的應(yīng)用性極強(qiáng),理解相關(guān)概念定義是探究的關(guān)鍵. 問(wèn)題類(lèi)型多樣,涉及俯角、仰角、方位角、坡度等概念,教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生掌握角度概念. 對(duì)于較為抽象的定義,教師可以結(jié)合示意圖,引導(dǎo)學(xué)生理解定義內(nèi)涵,靈活運(yùn)用. 解題教學(xué)中,教師應(yīng)讓學(xué)生重新回顧概念,結(jié)合概念理解問(wèn)題中的角度條件.

    2. 數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)建模

    數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建模型是解直角三角形問(wèn)題的關(guān)鍵,學(xué)生解題時(shí)需要采用數(shù)形結(jié)合的方法理解圖形,并根據(jù)幾何條件構(gòu)建模型. 該過(guò)程中學(xué)生需完成“實(shí)際圖形”向“幾何模型”的轉(zhuǎn)化,掌握轉(zhuǎn)化思想,以及輔助線的添加技巧. 轉(zhuǎn)化思想的核心是結(jié)合實(shí)物構(gòu)建復(fù)合圖形,故學(xué)生需要關(guān)注圖形中的垂直以及平行等位置關(guān)系,合理連接形成特殊圖形. 具體構(gòu)圖時(shí)學(xué)生可以結(jié)合俯角、仰角、方位角的構(gòu)建方法,作水平線、垂線、延長(zhǎng)線,實(shí)現(xiàn)圖形的閉合.

    3. 技巧總結(jié),策略生成

    解直角三角形的類(lèi)型多樣,但解題的總體思路是一致的,學(xué)生需要完成條件解析、幾何建模、轉(zhuǎn)化構(gòu)建等思維過(guò)程,教學(xué)中教師可指導(dǎo)學(xué)生生成“程序性”的解題步驟. 第一步,題意理解,讓學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析;第二步,構(gòu)建模型,讓學(xué)生掌握建模的方法;第三步,提取直角三角形,引導(dǎo)學(xué)生掌握特性分析的思路;第四步,結(jié)論推導(dǎo),讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際圖形分析數(shù)值. 在策略分析過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題的關(guān)鍵點(diǎn),并結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn),強(qiáng)化思維.

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