巧建坐標(biāo) 速解涉及全反力的動(dòng)力學(xué)極值問(wèn)題

戴偉綱

摘? ?要：涉及全反力的極值問(wèn)題的探討有很多，其中對(duì)于全反力方向不變這一特定的情況，大多數(shù)學(xué)生采用力的合成的辦法來(lái)將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁?wèn)題進(jìn)行求解，在幾何問(wèn)題處理上對(duì)于數(shù)學(xué)的依賴比較大。探討通過(guò)合理建立正交坐標(biāo)系的方法減少對(duì)數(shù)學(xué)的依賴，速解有關(guān)全反力的動(dòng)力學(xué)極值問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：全反力；動(dòng)力學(xué)極值；高考

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）5-0038-4

高中物理中經(jīng)常涉及到在粗糙平面上運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，此時(shí)物體受到的滑動(dòng)摩擦力與接觸面壓力成正比。在理論力學(xué)中，法向分力FN與靜摩擦力Fs的合力成為支撐面對(duì)物體的全約束力，又稱之為全反力，符號(hào)為FRA。當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，兩合力的夾角達(dá)到最大φm，稱之為摩擦角。在高中階段，通常認(rèn)為滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力，因此在物體滑動(dòng)時(shí)，摩擦角是不變的，也就是法向分力與動(dòng)摩擦力合力方向不變。

由于全反力的特性，高中階段經(jīng)常會(huì)遇到相關(guān)的靜力學(xué)平衡和動(dòng)力學(xué)極值的問(wèn)題。在求解動(dòng)力學(xué)極值問(wèn)題時(shí)，一般采用的方法就是通過(guò)牛頓第二定律，假設(shè)一定的角度，然后通過(guò)三角函數(shù)求極值的方法來(lái)解決，數(shù)學(xué)要求相當(dāng)高。另一種是通過(guò)受力分析，構(gòu)建力學(xué)四邊形來(lái)求解，從解三角函數(shù)轉(zhuǎn)到找?guī)缀侮P(guān)系來(lái)求解，物理思維到位了，最后方程的物理意義缺乏了，解答也比較繁瑣。通過(guò)對(duì)全反力力學(xué)四邊形的研究，合理建立坐標(biāo)，既減少了數(shù)學(xué)運(yùn)算，又明確了物理意義。

1? ? 摩擦角的基本性質(zhì)

這個(gè)做法相對(duì)于解法2來(lái)說(shuō)更具有物理意義，并且需要建立在對(duì)全反力認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，但是感覺(jué)似乎沒(méi)有這個(gè)必要，有畫蛇添足之嫌，把簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化了。由于這是一個(gè)最基本的物理模型，處理的時(shí)候反而沒(méi)有相應(yīng)的基礎(chǔ)解法容易理解。在全反力參與的動(dòng)態(tài)極值問(wèn)題中，這個(gè)方程所帶來(lái)的好處是巨大的。在這個(gè)方程中間，唯一不確定的就是F和F與全反力方向的夾角?？梢噪S便假設(shè)一個(gè)α，如圖6所示，方程就變成了Fcosα-mgsinφm=macosφm。

可進(jìn)行以下推論：

推論1：當(dāng)F一定，cosα=1時(shí)，a取最大值，此時(shí)F沿與全反力垂直方向。

推論2：當(dāng)cosα≤0時(shí)，無(wú)論力F多大都不可能推動(dòng)該物體，臨界角度α=90°，此時(shí)與全反力平行，與豎直方向正好成φm斜向下，所以φm就是通常討論的自鎖角。

3? ? 實(shí)際應(yīng)用

3.1? ? 水平面上的應(yīng)用

此解法對(duì)數(shù)學(xué)三角函數(shù)要求相當(dāng)高，最后兩個(gè)不等式推導(dǎo)出來(lái)后的臨界條件和計(jì)算也需要大量的時(shí)間，在高考時(shí)需要投入很多的時(shí)間。

解法2? 由題意可知，安培力是一個(gè)定值，題目轉(zhuǎn)化為在一個(gè)大小不變的安培力的作用下，水平加速度有兩個(gè)極值，求安培力的方向的問(wèn)題。注意題中重力為恒力，支持力和滑動(dòng)摩擦力合成全反力。問(wèn)題就歸結(jié)為限定受力條件下的加速度極值的問(wèn)題。從前面的基礎(chǔ)問(wèn)題分析可知，合力和分力構(gòu)成一個(gè)封閉的四邊形（圖10），確定當(dāng)力F與全反力垂直時(shí)獲得最大加速度，由此：

本解法利用了原有的基礎(chǔ)分析，對(duì)于限定條件下的加速度極值條件直接得到了力的方向，接下來(lái)直接根據(jù)正交分解法求解，方程意義明確，避免了復(fù)雜的幾何作圖，可以說(shuō)是物理思維與解題技巧的最好結(jié)合，可以短時(shí)間解決涉及全反力的極值問(wèn)題。

3.2? ? 斜面上的應(yīng)用

從三種解法來(lái)看，第三種解法通過(guò)坐標(biāo)系的變換，可以很容易地進(jìn)行極值問(wèn)題討論，使用推論僅僅是列方程的時(shí)候少了一個(gè)假設(shè)的角而已，化解了大量的三角函數(shù)的計(jì)算，也避免了力的合成最后涉及幾何圖形計(jì)算帶來(lái)的方程意義的問(wèn)題，更容易讓學(xué)生接受。從模型解題上來(lái)看，也適合各類涉及全反力的極值問(wèn)題，比較容易遷移。在高考中如果遇到此類問(wèn)題可以減少數(shù)學(xué)計(jì)算帶來(lái)的時(shí)間浪費(fèi)，提升解題效率。

參考文獻(xiàn)：

［1］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室．理論力學(xué)（I）（第 6版）［M］．北京：高等教育出版社，2002：111．

［2］盧偉.利用全反力的定向性巧解中學(xué)物理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題［J］．物理教師，2017，38（8）：55-57.

（欄目編輯? ? 陳? ?潔）