基于穩(wěn)定安全系數(shù)的路基邊坡可靠指標(biāo)快速估算

王 棋，羅 強(qiáng)*，張文生，蔣良濰

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）土木與環(huán)境工程學(xué)院，廣東 深圳 518055)

土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析是巖土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)重要內(nèi)容之一。傳統(tǒng)上采用穩(wěn)定安全系數(shù)Fs表達(dá)的確定性分析方法進(jìn)行分析，F(xiàn)s依據(jù)極限平衡法或有限元法計(jì)算。確定性分析方法簡(jiǎn)便直觀，但不能考慮邊坡中諸多不確定性因素的影響，因而，某一特定的Fs的大小并不能表征邊坡的安全程度。因此，將以隨機(jī)變量為研究對(duì)象，考慮各種工程設(shè)計(jì)因素中的不確定性，以可靠指標(biāo)β或失效概率Pf為表達(dá)的概率分析方法被引入邊坡工程。

概率分析常采用1次2階矩法[1-2]、1階可靠度法[3-5]、基于Monte Carlo模擬的隨機(jī)有限元法[6-7]等方法，存在計(jì)算復(fù)雜和耗時(shí)較長(zhǎng)的不足。近年來(lái)，為提高邊坡可靠度計(jì)算效率，學(xué)者們提出子集模擬法[8-11]、非侵入式隨機(jī)有限元法[12]、代理模型方法[13-14]、穩(wěn)定性分析圖法等改進(jìn)方法。子集模擬法采用Bayes公式，將小概率失效事件的Pf表達(dá)為統(tǒng)一失效模式下具有較大Pf的多個(gè)中間失效事件的條件概率乘積，提高了計(jì)算效率，但在求解多失效模式可靠度時(shí)需對(duì)每個(gè)模式單獨(dú)計(jì)算，即重復(fù)執(zhí)行隨機(jī)模擬[15]；非侵入式隨機(jī)有限元法采用非侵入式理念將有限元法與隨機(jī)響應(yīng)面法結(jié)合，無(wú)需修改有限元軟件源代碼，但在運(yùn)用隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)Fs隨機(jī)多項(xiàng)式展開的過(guò)程中，需根據(jù)有限元法得到Fs線性方程組，并求解獲得隨機(jī)多項(xiàng)式展開系數(shù)，耗時(shí)較長(zhǎng)的問(wèn)題依然存在；代理模型方法需要在變量空間中隨機(jī)采樣，計(jì)算量較大，且該方法在基于極限平衡方法進(jìn)行邊坡可靠度計(jì)算時(shí)，需要搜索臨界滑裂面來(lái)確定邊坡穩(wěn)定性系數(shù)，這亦會(huì)增加額外計(jì)算量；穩(wěn)定性分析圖法建立了Fs與Pf關(guān)系曲線，采用圖表法獲取Pf，如：Javankhoshdel和Bathurst[16]考慮土體重度γ變異性，構(gòu)建了飽和黏性土（φ=0）與一般黏性土邊坡的Pf～Fs關(guān)系曲線，簡(jiǎn)化了邊坡穩(wěn)定性的概率分析步驟，但需采用極限平衡法與Monte Carlo模擬（MCS）重復(fù)計(jì)算，獲得不同邊坡參數(shù)組合下的Fs及Pf，最后建立無(wú)量綱參數(shù)條件下的Pf～Fs曲線，在工程中推廣應(yīng)用較復(fù)雜。

由于穩(wěn)定可靠指標(biāo)β能考慮邊坡土體強(qiáng)度參數(shù)不確定性，相比Fs更為全面，但所需數(shù)據(jù)量和計(jì)算量較大，并缺乏Fs所具有的豐富的工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，制約了實(shí)際應(yīng)用。因此，在邊坡幾何、土體強(qiáng)度參數(shù)均值及變異系數(shù)等數(shù)據(jù)已知的條件下，研究β的快速獲得方法，對(duì)指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)具有重要意義。

為此，針對(duì)工程條件多樣性特點(diǎn)，基于常遇坡高下1∶1.5典型坡率的簡(jiǎn)單土質(zhì)邊坡模型與土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平，制定以坡高和土體強(qiáng)度參數(shù)為主要因素的穩(wěn)定分析模型及計(jì)算方案；運(yùn)用Fellenius極限平衡法及Monte Carlo模擬，開展不同方案下可靠指標(biāo)計(jì)算，討論安全系數(shù)與可靠指標(biāo)的基本關(guān)系及變化規(guī)律；基于模型參數(shù)與計(jì)算數(shù)據(jù)，運(yùn)用無(wú)量綱化與多元非線性回歸技術(shù)，構(gòu)建基于穩(wěn)定安全系數(shù)的邊坡可靠指標(biāo)估算方程；分析回歸系數(shù)與坡高、土體強(qiáng)度參數(shù)變異系數(shù)關(guān)系特征，討論估算偏差隨安全系數(shù)和土體強(qiáng)度的變化趨勢(shì)。研究成果對(duì)完善路基工程設(shè)計(jì)的邊坡穩(wěn)定可靠性評(píng)價(jià)具有參考價(jià)值。

1 穩(wěn)定分析模型及計(jì)算方案

1.1 安全系數(shù)與可靠指標(biāo)

邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)Fs通常定義為抗滑力矩與滑動(dòng)力矩之比。對(duì)于簡(jiǎn)單土質(zhì)邊坡，一般基于圓弧滑動(dòng)面假設(shè)，忽略土條間豎向相互作用，采用式（1）的Fellenius極限平衡法計(jì)算Fs：

式中，i為土條序號(hào)，n為土條數(shù)，ci、φi分別為土條i的黏聚力和內(nèi)摩擦角，li、θi分別為土條i底邊弧長(zhǎng)與中點(diǎn)處切線的水平夾角，Wi為土條i的重力。

在邊坡可靠性分析中，以Fs＜ 1表示邊坡處于失穩(wěn)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)事件發(fā)生概率P[Fs＜ 1]為邊坡失效概率Pf。采用Monte-Carlo法獲取N個(gè)Fs，統(tǒng)計(jì)Fs＜ 1的數(shù)量為M；當(dāng)N足夠大時(shí)，由Bernoulli大數(shù)定理可知頻率M/N收斂于真實(shí)Pf，如式（2）所示：

Fs服從正態(tài)分布時(shí)，按式（3）計(jì)算可靠指標(biāo)β：

式中，μFs、σFs分別為正態(tài)分布變量Fs的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，φ1(·)為累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)。

1.2 邊坡參數(shù)及計(jì)算方案

邊坡幾何參數(shù)包括坡高h(yuǎn)、坡率1∶m。路基工程在一般條件下的土質(zhì)單級(jí)邊坡坡高h(yuǎn)≤8 m，方案中取坡高范圍4～8 m。坡率變化主要受土質(zhì)和坡高影響，單級(jí)土質(zhì)邊坡條件下一般按1∶1.5設(shè)計(jì)。

邊坡土體強(qiáng)度參數(shù)包括黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ、重度γ等，按各參數(shù)相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布考慮。路基工程一般為土質(zhì)邊坡，黏聚力均值c多為5～25 kPa；內(nèi)摩擦角均值φ多取20°～40°；重度均值 γ變化不大，一般取 γ=20 kN/m3。土體強(qiáng)度參數(shù)的變異性水平，采用變異系數(shù)δ表示，按式（4）計(jì)算：

式中，μ為土性參數(shù)均值，σ為土性參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。

國(guó)內(nèi)外大量工程建設(shè)對(duì)土性參數(shù)變異性做了系統(tǒng)勘查，表1為c、φ、γ的變異系數(shù)δc、δφ、δγ的變化范圍。

表1 土性參數(shù)變異系數(shù)Tab.1 Coefficient of variation of soil parameters

由于δγ波動(dòng)范圍較小，分析中取δγ=0.05，不考慮δγ變化影響。δc和 δφ的變化相對(duì)較大，并多呈現(xiàn)“同大同小”變化規(guī)律[23]，一般有δc/ δφ≈2的關(guān)系特征，為此將δc和 δφ按一致性變化原則進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，劃分為同變化的小、中、大3個(gè)等級(jí)，結(jié)果見表2。

表2 土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平分級(jí)Tab.2 Classification of variation levels of soil strength parameters

為提高邊坡穩(wěn)定可靠性分析效率，避免β計(jì)算耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，選取坡高4、6、8 m和強(qiáng)度小、中、大變異水平進(jìn)行組合，制定如表3所示的9種計(jì)算方案。

表3 邊坡參數(shù)組合及計(jì)算方案Tab.3 Combination of slope parameters and calculation schemes

2 計(jì)算數(shù)據(jù)及分析

2.1 可靠指標(biāo)變化特性

針對(duì)表3計(jì)算方案，采用Fellenius法分別求得各方案下441個(gè)Fs值；同樣地，通過(guò)Monte Carlo模擬進(jìn)行可靠度計(jì)算，各組合下的試驗(yàn)次數(shù)N=50 000，獲得相應(yīng)的441個(gè)β值。圖1為β與Fs的關(guān)系。

圖1 不同計(jì)算方案下 β與Fs的關(guān)系Fig.1 Relationship between β and Fs under different calculation scheme

針對(duì)土體強(qiáng)度參數(shù)在不同變異水平下β ～Fs的映射特征，采用式（5）冪函數(shù)描述可靠度指標(biāo)的上、下界限值 βu、βd隨Fs變化關(guān)系：

式中，βu為β的上界限值，βd為β的下界限值，au與bu為對(duì)應(yīng)于βu的回歸系數(shù)，ad與bd為對(duì)應(yīng)于βd的回歸系數(shù)。各回歸系數(shù)取值見表4。

表4 不同強(qiáng)度參數(shù)變異水平下回歸系數(shù)Tab.4 Regression coefficients for different variation levels of strength parameters

由表4可知，回歸系數(shù)與土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平呈負(fù)相關(guān)。分析變異系數(shù)對(duì)回歸系數(shù)影響時(shí)，為避免樣本數(shù)量過(guò)少導(dǎo)致較大的回歸偏差，增加了δc=0.15、δφ= 0.075及δc=0.25、δφ=0.125兩組變異水平，并獲得相應(yīng)水平下的β界限回歸方程系數(shù)，如圖2和3所示。根據(jù)圖2和3，可分別采用式（6）的負(fù)指數(shù)冪函數(shù)和式（7）的線性函數(shù)描述au及ad、bu及bd與δc的關(guān)系：

圖2 au、ad與δc關(guān)系Fig.2 Relationship between au, ad and δc

圖3 bu、bd與δc關(guān)系Fig.3 Relationship between bu, bd and δc

由式（5）、（6）和（7），根據(jù)安全系數(shù)、土體強(qiáng)度參數(shù)變異系數(shù)，可獲得β波動(dòng)范圍的界限值，對(duì)土體強(qiáng)度參數(shù)不同變異水平下邊坡穩(wěn)定性給予一個(gè)區(qū)間評(píng)估，但不能確定邊坡穩(wěn)定的可靠指標(biāo)β，故需構(gòu)建一個(gè)多因素影響的β函數(shù)估算方程，對(duì)應(yīng)為可靠指標(biāo)估算值 β?，區(qū)別于可靠指標(biāo)計(jì)算值β。

由于β既受土體強(qiáng)度參數(shù)均值及變異系數(shù)的影響，也與坡高有關(guān)，簡(jiǎn)單分析黏聚力均值c、內(nèi)摩擦角均值φ對(duì)β影響，不能全面反映多因素影響下β的變化規(guī)律，且難以消去參數(shù)量綱，與無(wú)量綱指標(biāo)β不匹配。為此，運(yùn)用無(wú)量綱化技術(shù)處理c、φ，將φ正切化得摩擦系數(shù)并與Fs作商，得到內(nèi)摩擦角無(wú)量綱參數(shù)tanφ/Fs，各計(jì)算方案下可得441個(gè)數(shù)據(jù)；黏聚力無(wú)量綱參數(shù)的獲得，可在tanφ/Fs不變的條件下，尋得能較好地描述β變化規(guī)律且以c為變量的函數(shù)表達(dá)。分別取坡高h(yuǎn)為4、6、8 m，得到對(duì)應(yīng)h下的tanφ/Fs∈[0.125,0.406]、[0.163,0.452]、[0.194,0.481]，依據(jù)tanφ/Fs的共同變化范圍為[0.194,0.406]，取tanφ/Fs分別為0.22、0.28、0.36時(shí)對(duì)應(yīng)上下波動(dòng)0.02范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，繪制tanφ/Fs變化較小時(shí)的β或 β?～c關(guān)系曲線，如圖4所示；表5為相應(yīng)的土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平、坡高h(yuǎn)及tanφ/Fs這3個(gè)因素變化組合情況。

圖4 β或 β? ～ c關(guān)系曲線Fig.4 Curves of β or β? versusc

表5 3個(gè)因素組合Tab.5 Combination of three affecting factors

由圖4和表5可以看出，在tanφ/Fs基本相同的條件下，β與c呈正相關(guān)，可采用對(duì)數(shù)函數(shù)曲線進(jìn)行描述。為避免c接近0時(shí)β趨于負(fù)無(wú)窮，采用ln(c+1)為基函數(shù)表達(dá)，表5中組合下的擬合曲線R2＞0.994，回歸效果較好。此外，β與c也具有一定的線性關(guān)系，c接近于0時(shí)，ln(c+1)/c趨于1。因此，運(yùn)用c的對(duì)數(shù)與線性函數(shù)的基函數(shù)組合對(duì)c無(wú)量綱化，可得黏聚力無(wú)量綱參數(shù)ln(c+1)/c。

綜上，采用無(wú)量綱參數(shù)x(c)=ln(c+1)/c、y(φ)=tanφ/Fs描述β(x,y)，并依據(jù)控制變量法進(jìn)行影響可靠指標(biāo)變化的主要因素分析。首先，在y基本不變的條件下，對(duì)應(yīng)表5組合下的x與β近似呈線性關(guān)系，可整體表達(dá)為擬合值 β?(x)=-Ax+C1，擬合曲線R2＞0.994，如圖5所示。另外，在x不變的條件下，分析y=tanφ/Fs與β關(guān)系，可選取土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平與坡高的一種典型組合進(jìn)行討論，圖6為中變異水平下，h=6 m，c取6、12、18、24 kPa下的β ～y關(guān)系。由圖6可以看出，c取值相同時(shí)，β與y呈正相關(guān)，采用冪函數(shù)得擬合值β?(y)=By2+C2，擬合曲線R2值為0.981～0.992。

圖5 β或 β?與x關(guān)系曲線Fig.5 Curves of β or β? versus x

圖6 β或 β?與 y關(guān)系曲線Fig.6 Curves of β or β? versus y

根據(jù)上述分析，無(wú)量綱參數(shù)x=ln(c+1)/c、y=tanφ/Fs在單變量控制條件下，分別具有 β?(x)=-Ax+C1線形函數(shù)和 β?(y)=By2+C2冪函數(shù)擬合關(guān)系。因此，在x、y的綜合影響下，可構(gòu)建組合函數(shù) β?(x,y)=By2-Ax+C對(duì)β進(jìn)行描述；通過(guò)數(shù)學(xué)等式變換，得 β?=C{1+(A/C)[(B/A)y2-x]}，令ζ=C、η1=A/C，η2=B/A，得到式（8）可靠指標(biāo)估算值 β?與c、φ、Fs的關(guān)系式：

式中，F(xiàn)s為變量c、φ的函數(shù)，系數(shù)ζ、η1、η2受坡高與土體強(qiáng)度參數(shù)變異性影響。

2.2 影響可靠指標(biāo)的主要因素

在坡高h(yuǎn)相同條件下，可靠指標(biāo)β主要受土體強(qiáng)度參數(shù)變異性影響。圖7為h=6 m，土體強(qiáng)度參數(shù)處于小、中、大變異水平下，β計(jì)算值散點(diǎn)及運(yùn)用式（8）對(duì)散點(diǎn)進(jìn)行擬合的 β?曲面，擬合優(yōu)度R2分別為0.975、0.976、0.975，回歸方程構(gòu)建良好。由圖7可知，β擬合曲面隨強(qiáng)度參數(shù)變異水平增加呈順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即可靠指標(biāo)與土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平具有負(fù)相關(guān)性。

圖7 強(qiáng)度參數(shù)變異性對(duì)可靠指標(biāo)影響Fig.7 Influence of the variability of strength parameters on reliability index

在土體強(qiáng)度參數(shù)均值及變異系數(shù)相同的條件下，可靠指標(biāo)β主要由坡高h(yuǎn)決定。圖8為土體強(qiáng)度參數(shù)為中變異水平，h取4、6、8 m，由β計(jì)算值采用式（8）進(jìn)行回歸的 β?曲面，對(duì)應(yīng)的R2值為0.969、0.976、0.965，擬合效果較好。結(jié)果表明，β回歸曲面隨坡高h(yuǎn)增大整體向下平移，即可靠指標(biāo)與坡高呈負(fù)相關(guān)。

圖8 坡高對(duì)可靠指標(biāo)影響Fig.8 Influence of slope height on reliability index

3 可靠指標(biāo)估算及偏差分析

3.1 估算方程回歸參數(shù)

由式（8）組合函數(shù)可知，β?與c、tanφ、Fs具有顯著的非線性，主要受坡高與土體強(qiáng)度參數(shù)變異性綜合影響。根據(jù)表3中9種邊坡計(jì)算方案，可得可靠指標(biāo)估算值 β?與c、tanφ、Fs函數(shù)關(guān)系式的回歸系數(shù)ζ、η1、η2，見表6。

表6 可靠指標(biāo)估算方程回歸系數(shù)Tab.6 Regression coefficients in the estimation function of reliability index

回歸系數(shù)ζ主要隨土體強(qiáng)度參數(shù)變異性增大而減小，定義其為材料效應(yīng)因數(shù)。h取4、6、8 m時(shí)的(δc,ζ)散點(diǎn)如圖9所示；基于Levenberg-Marquardt算法，按式（9）雙曲函數(shù)描述δc與ζ的關(guān)系：

圖9 ζ～δc關(guān)系曲線Fig.9 Curve of ζ versus δc

η1、η2僅受坡高h(yuǎn)影響，定義為其幾何效應(yīng)因數(shù)。取坡高h(yuǎn)為4、5、6、7、8 m，得到圖10所示的散點(diǎn)圖及擬合曲線。

圖10 η1、η2隨h變化曲線Fig.10 Curves of η1 and η2 versus h

由圖10可知：η1與h呈良好的線性關(guān)系，回歸方程為式（10）；η2隨h增大而非線性減小，采用式（11）負(fù)冪函數(shù)回歸。

3.2 估算偏差分析及區(qū)域劃分

根據(jù)坡高、安全系數(shù)、土體強(qiáng)度參數(shù)均值及變異系數(shù)，由式（8）獲得邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)估算值 β?。同時(shí)，采用Monte Carlo模擬可獲得邊坡參數(shù)相同條件下的可靠指標(biāo)計(jì)算值β。按表3計(jì)算方案，獲得的 β?與β散點(diǎn)位于1∶1均等線附近，如圖11所示。這表明 β?與β具有良好正比關(guān)系。

圖11 β與 β?關(guān)系Fig.11 Relationship between β andβ?

采用式（12）表達(dá)的相對(duì)分析誤差RPD（relative percent deviation）進(jìn)行估算模型預(yù)測(cè)能力評(píng)價(jià)，得RPD =11.4192，方程的估算效果較好。

式中，Ns為(β?j, βj)樣本數(shù)，j為樣本序號(hào)，β為βj平均值。

土體強(qiáng)度參數(shù)均值c、φ取值為工程常遇范圍時(shí)，可靠指標(biāo)的估算偏差主要受土體強(qiáng)度參數(shù)變異系數(shù)及坡高影響，見表7。

表7 變異水平與坡高對(duì)可靠指標(biāo)估算偏差影響Tab.7 Influence of the variation level and slope height on the estimation bias of reliability index

由表7可知：土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平位于小～大區(qū)間，坡高分別為4、6、8 m，對(duì)應(yīng)的RPD為14.115、12.519、8.983，呈單調(diào)遞減趨勢(shì)；坡高在4～8 m范圍，土體強(qiáng)度參數(shù)分別為小、中、大變異水平，RPD的相應(yīng)值為6.183、6.295、6.187，波動(dòng)幅值較小?？煽恐笜?biāo)的估算偏差受土體強(qiáng)度參數(shù)變異水平影響大于坡高，且隨坡高提升呈增大趨勢(shì)。

圖12為坡高h(yuǎn)取4～8 m，土體強(qiáng)度參數(shù)為小～大變異水平下(Fs, Δβ)散點(diǎn)圖，其中，估算偏差Δβ= β?-β值分布在以Δβ=0為中心的-1.25～1.37范圍。為此，將Δβ值分布范圍劃分為4個(gè)區(qū)域，即：區(qū)域I1，Δβ∈[-0.5,0]；區(qū)域I2，Δβ∈[0,0.5]；區(qū)域I3，Δβ＜-0.5；區(qū)域I4，Δβ＞0.5。可進(jìn)一步將I4劃分為I4s和I4f，對(duì)于I4s區(qū)域，F(xiàn)s∈[2.051,3.064]，明顯大于1.15～1.25的安全系數(shù)工程設(shè)計(jì)值[24]，相應(yīng)的β∈[7.096,10.504]，大幅超過(guò)了一般邊坡工程設(shè)計(jì)的2.7～3.7目標(biāo)可靠指標(biāo)[25]，即區(qū)域I4s內(nèi)的邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)估算值雖然高于計(jì)算值0.5，但邊坡仍然具有較高安全性；對(duì)于Fs≤1.377的I4f區(qū)域，F(xiàn)s∈[0.926,1.377]，相應(yīng)的β∈[-1.627,5.148]，計(jì)算工況中的邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)指標(biāo)Fs與β均有低于工程設(shè)計(jì)控制值的數(shù)據(jù)，邊坡存在一定失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)。進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析可知，土體強(qiáng)度參數(shù)分別為小、中、大變異水平時(shí)，Δβ分布于風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域I4f范圍的百分比分別僅有2.94%、0.91%、0.15%，總體僅占1.33%。

圖12 Δβ與Fs的關(guān)系Fig.12 Relationship between Δβ and Fs

在土體強(qiáng)度參數(shù)處于小～大變異區(qū)間，坡高為4～8 m條件下，土體強(qiáng)度參數(shù)均值c、φ與估算偏差Δβ關(guān)系等值線及區(qū)域I1、I2、I3、I4s、I4f分布范圍如圖13所示。由圖13可知，區(qū)域I1面積最大，多分布于c∈[5 kPa,25 kPa]、φ∈[25°,35°]范圍；I2面積次之，相應(yīng)強(qiáng)度參數(shù)c∈[5 kPa,25 kPa]，φ∈[20°,25°]∪[35°,40°]；估算值顯著偏低的I3面積微小，分布在c≈5 kPa，φ∈[27°,40°]狹長(zhǎng)范圍；估算值顯著偏高但穩(wěn)定安全系數(shù)Fs≥2.051的區(qū)域I4s分布在φ≈20°、c∈[21 kPa,25 kPa]和φ≈40°、c∈[10 kPa,22 kPa]兩個(gè)窄條形區(qū)域；對(duì)于估算值顯著偏高且Fs≤1.377的I4f存在風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域，強(qiáng)度參數(shù)均值分布于c∈[5.00 kPa,7.69 kPa]、φ∈[20.00°,21.77°]較小范圍。風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域I4f與I2的分布范圍，Δβ=0.50或Δβ=0.25界線近似滿足式（13）或（14）的2次拋物線函數(shù)：

圖13 Δβ隨 c 、φ變化等值線圖Fig.13 Contour map of Δβ versus c andφ

4 討 論

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)估算模型的適用性，選用文獻(xiàn)[26-28]中坡率為1∶m=1∶1.5的簡(jiǎn)單土質(zhì)邊坡算例進(jìn)行比較分析，邊坡參數(shù)及穩(wěn)定可靠指標(biāo)見表8，參數(shù)變異系數(shù)取δc=0.2、δφ=0.1、δγ=0.05。依據(jù)本文模型獲得的估算值 β?與文獻(xiàn)算例可靠指標(biāo)β之間的誤差較小，估算偏差Δβ∈[-0.3,0.1]，相對(duì)偏差εβ∈[-4.89%,5.08%]。

表8 邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)估算偏差Tab.8 Estimation bias of slope reliability index

事實(shí)上，鐵路和公路工程中的路堤還會(huì)承受車輛及上部結(jié)構(gòu)荷載，對(duì)邊坡穩(wěn)定性有一定影響。進(jìn)行路堤邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算時(shí)，一般將路基面以上的車輛等荷載簡(jiǎn)化為等效靜荷載，其中，公路工程換算成分布于路基面的滿布荷載[29]，鐵路工程多按條形荷載布設(shè)于路基面[30-31]。對(duì)于鐵路路堤邊坡，列車和軌道的變異系數(shù)δq=0.07[32]，與邊坡土體重度的變異系數(shù)δγ=0.05差異不大，因此，計(jì)算考慮路基面荷載作用影響的路堤邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)βq，直接按等效條形荷載處理；而采用本文模型估算可靠指標(biāo)β?q時(shí)，可將q換算成滿布于路基面的等土體重度及等變異性的土層，通過(guò)增加土層換算厚度h0至原路堤高度h反映。

鐵路路堤的單線等效條形荷載q平均值和分布寬度為μq=60.625 kN/m2、b=3.6 m，荷載邊緣距離坡頂?shù)膶挾萣′=2.35 m。依據(jù)表3計(jì)算方案，基于Fellenius法與Monte Carlo模擬，獲得考慮荷載作用的路堤邊坡可靠指標(biāo)計(jì)算值βq，同時(shí)采用本文模型獲得相應(yīng)估算值q。圖14為βq與關(guān)系散點(diǎn)，絕大多數(shù)都位于1∶1均等線附近，相對(duì)分析誤差RPD=8.292，表明建立的模型對(duì)路堤承受車輛荷載作用的邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)估算仍具有良好適用性。

圖14 βq ～ β?q關(guān)系Fig.14 Relationship between βq and β?q

5 結(jié) 論

針對(duì)常用坡率下簡(jiǎn)單土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析模型，依據(jù)Fellenius極限平衡法與Monte Carlo模擬，開展了基于穩(wěn)定安全系數(shù)的路基邊坡可靠指標(biāo)快速估算方法研究，主要有以下結(jié)論：

1) 邊坡穩(wěn)定可靠指標(biāo)β隨穩(wěn)定安全系數(shù)Fs增加總體呈負(fù)冪函數(shù)增大趨勢(shì)，其波動(dòng)范圍亦相應(yīng)擴(kuò)大；β的 上、下 界 限 值 βu、βd與Fs間 存 在 βu=au(1-Fsbu)、βd=ad(1-Fsbd)的擬合關(guān)系式?；貧w系數(shù)主要由土體強(qiáng)度參數(shù)變異性決定，au、ad呈負(fù)指數(shù)冪函數(shù)衰減，bu、bd近似線性降低。

2）運(yùn)用無(wú)量綱化和多元非線性回歸技術(shù)，建立了可靠指標(biāo)估算值 β?與安全系數(shù)Fs、土體強(qiáng)度參數(shù)均值c、φ的組合函數(shù)表達(dá)式，主要受強(qiáng)度參數(shù)變異性影響的材料效應(yīng)因數(shù)ζ隨變異系數(shù)增大而呈雙曲線形減小，而邊坡幾何效應(yīng)因數(shù)η1、η2隨坡高增加分別表現(xiàn)出線性增大、負(fù)冪函數(shù)減小趨勢(shì)。

3）基于邊坡土體和幾何參數(shù)建立的可靠指標(biāo)估算模型具有良好預(yù)測(cè)能力，估算偏差受強(qiáng)度參數(shù)變異性影響大于坡高。常遇邊坡參數(shù)下，可靠指標(biāo)估算偏差Δβ ＜0.5的區(qū)域占比超過(guò)99%；對(duì)于Δβ≥0.5且Fs≤1.377的風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域，強(qiáng)度參數(shù)均值滿足不等式φ≤18.52+1.5c-0.17c2。