實踐：學具操作的時機和形式的選擇

倪志敏

［摘? 要］ 學具操作在實踐操作中必不可少。學具操作要選擇恰當?shù)臅r機，要以適切的形式呈現(xiàn)，這樣學生在操作的過程中才能深刻理解數(shù)學知識，獲得行為操作的經(jīng)驗，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

［關鍵詞］ 學具操作;實踐活動;數(shù)學經(jīng)驗

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式［1］。其中，讓學生動手實踐是期望學生在行為操作的過程中學會知識，獲得行為操作的經(jīng)驗［2］。學具是學生進行行為操作的必備工具，即使在信息技術迅猛發(fā)展的今天，依然有不可替代的作用。心理學研究結果告訴人們：動手操作的記憶遠遠勝于視覺記憶。教師應重視學具操作教學，讓學生深刻理解數(shù)學內容，獲得行為操作的數(shù)學活動的經(jīng)驗。

一、選擇恰當?shù)臅r機

（一）學具操作，深化知識理解——紙上得來終覺淺

在“圓的認識”中，用圓規(guī)畫圓是教學要點。圓規(guī)在課堂上雖然是首次出現(xiàn)，但學生都認識。畫圓的方法有很多種，教師教學時可以利用學生好奇的心理，在學生躍躍欲試之時讓其嘗試用多種方式畫圓，并通過畫圓感知圓的特征。利用硬幣等有圓面的物體“拓圓”，能讓學生感知圓是一個由曲線圍成的圖形。利用圓規(guī)畫圓，不僅能讓學生感知圓的上述特征，還能感知圓的基本概念，比如圓心、半徑、直徑等概念。

師：同學們互相看一看，是否都用圓規(guī)畫出了圓？（出示用圓規(guī)畫圓失敗的作品）這是什么原因呢？

生：鉛筆尖與針尖之間的距離不能變。

師：針尖的這個點就是圓心。那你能在圓內用一條線段把鉛筆尖與針尖之間的距離畫出來嗎？說說你是怎樣畫的？再比較一下你們所畫的線段有什么相同之處？

生：都是圓內的線段，線段的一個端點在圓心，另一個端點在圓上。

師：連接圓心和圓上任意一點的線段就是半徑。

認識圓規(guī)和用圓規(guī)在紙上畫圓所帶給學生的體驗，可以用“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”來概括。用圓規(guī)畫圓操作安排在課始，既滿足了學生對于圓規(guī)的好奇心，又讓學生在動手實踐和比較中對圓的半徑的共性特征進行了內化。

（二）學具操作，溯源知識源頭——問渠那得清如許

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在課程實施中指出：一方面了解數(shù)學知識的產(chǎn)生與來源、結構與關聯(lián)、價值與意義……另一方面強化對數(shù)學本質的理解，關注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結構［1］。因此，在教學過程中，教師應關注知識的“生長點”，讓學生不僅要“知其然”，更要“知其所以然”。在“角的度量”一課中，教師一般都是先出示量角器，讓學生認識量角器，然后講解量角器上刻度線、中心點、“點對點，邊對邊”以及“順時針測量看外圈，逆時針測量看內圈”等知識。

但筆者認為，如果學生沒有理解量角器上有兩圈刻度等構造的原理，那么量角器作為最實用、最優(yōu)越的測量工具的價值就無從體現(xiàn)。因此，筆者建議在量角器教學時，教師應緩緩引入，由表及里，尋根溯源。對于大多數(shù)學生而言，理解量角的本質（把量角器上的角和要量的角重合）尚且有難度，更不要說理解量角器的兩圈刻度。在教學中，筆者充分利用信息技術，動態(tài)呈現(xiàn)量角器的“誕生過程”：首先讓學生體悟用1°的角去度量大角的不方便，所以量角器上就有許多1°的角。有幾個1°的角組成，這個角就是幾度；然后讓學生觀察這些1°的角頂點都是同一個頂點（量角器的中心點），角的兩條邊就是量角器上的刻度線。至此，只有一圈刻度的量角器便出現(xiàn)了。為了便于測量，筆者用透明膠片做成了只有一圈刻度（外圈）的量角器，讓學生用這種量角器嘗試進行實際測量，在度量過程中學生深刻感受到這種量角器的弊端。于是就有學生提出可以再設計一個有不同方向刻度的量角器，也有學生說用兩個量角器測量，但這都非常麻煩。這時，有學生提出量角器上是否可以增加一圈刻度（內圈），每一個對應的內外圈度數(shù)之和是180°。這個建議贏得全班學生的掌聲贊同。最后筆者借助課件演示分別從兩個方向的0刻度線開始按順時針、逆時針動態(tài)演示180個1°的角所形成的外圈刻度和內圈刻度。至此，學生終于深刻理解量角器上有內外兩圈刻度的合理性。

（三）學具操作，滿足明理需要——柳暗花明又一村

在一次青年教師賽課活動中，在教學“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位有余數(shù)）”一課時，所有參賽教師都讓學生借助分學具小棒來理解算理。但在豎式計算中，學生的錯誤率仍然比較高。因此，筆者存在疑問：是否學生只要進行了學具操作，那么就能獲得深刻的行為操作經(jīng)驗，就一定能理解算理和算法嗎？

“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位有余數(shù)）”一課教學中，的確需要借助小棒理解算理和探討算法，但不能與“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位沒有余數(shù)）”的學具操作流程雷同。因為在學生心里，兩位數(shù)除以一位數(shù)已經(jīng)學過了，本課時學的和以前學的知識在形式上是一樣的。先進行小棒操作，反而讓學生覺得多此一舉。

因此，筆者在執(zhí)教這一課時，先讓學生嘗試用豎式計算52÷2。在巡視過程中，筆者發(fā)現(xiàn)了以下3種豎式計算并及時在課堂上呈現(xiàn)給學生。

（豎式1） （豎式2） （豎式3）

師：對這3種豎式計算方法，同學們有什么方法來驗算一下哪一種答案是正確的？

生：用商和除數(shù)相乘，看是否等于被除數(shù)。

師：好方法！21×2=42，不等于被除數(shù)52，所以商是21不對。26×2=52，所以商26一定是對的。那這位同學的豎式（指著豎式3），這樣列對嗎？

（一問激起千層浪，學生們紛紛表示不正確，置疑怎么這樣列豎式）

師：為什么這樣列豎式呢？還是請他自己來說一說。

生：我先用十位上的5除以2，商是“2個十”，還余下“1個十”，除以2，等于5。最后用2除以2，商就是1。

師：那你為什么把5和1都寫在了個位上？

生：因為5是一位數(shù)，1也是一位數(shù)，都應該寫在個位。但我不知道該怎么寫，所以就寫成這樣了。商應該是26。（學生說完，有點委屈地看著筆者）

師：這樣寫豎式，可不可以？為什么52÷2的商是26，而不是21呢？同學們，對于這些問題，我們其實可以請我們學習中的一位老朋友來幫忙。（學生齊聲說小棒）

筆者出示5捆2根小棒，讓學生分一分。在分小棒的過程中，學生結合豎式1發(fā)現(xiàn)，商21的錯誤在于5捆小棒平均分成2份后，剩下的1捆小棒根本就沒有再平均分。結合豎式3，學生還發(fā)現(xiàn)了1捆小棒可以和2根小棒直接合成12根小棒，平均分成2份后，每份是6根。因此，先分1捆（10根）小棒，再分2根小棒，在算理上雖然是對的，但在方法上并不簡便，把一步變成了兩步，所以要把豎式優(yōu)化成豎式2的寫法。

學生計算錯誤率高，究其原因，當然不是學具小棒惹的“禍”，而在于學具提供的時機不符合學生的需求?！盀椴僮鞫僮鳌保瑢W生借助小棒操作理解算理的需求未被激發(fā)，那這樣借助小棒操作的實際效能當然就發(fā)揮不到位。教學時可以讓學生先試做，當出現(xiàn)豎式計算方法失誤時再提供小棒操作。尤其是學生出現(xiàn)豎式3的失誤時利用小棒的操作，筆者有一種“無心插柳柳成蔭”的感覺，因為它體現(xiàn)了“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位有余數(shù)）”除法豎式的“生長過程”。

二、學具呈現(xiàn)形式的選擇

筆者認為，在數(shù)學教學中，由學具操作獲得的知識內容與學具呈現(xiàn)的形式存在著辯證統(tǒng)一的關系。為了讓學生在學具操作中獲得深刻的知識內容和活動體驗，教師可以將學具的呈現(xiàn)形式做一些適當?shù)淖冃魏腿诤希员愀玫貫橹R內容的教學服務。

（一）“散”學具，“聚”思維——形散而神不散

“表面涂色的正方體”是六年級上冊中的一節(jié)探索規(guī)律的課。多數(shù)教師在教學時，都是分別出示表面涂色的2×2×2、3×3×3、4×4×4、5×5×5正方體學具，讓學生先數(shù)再引導其發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時，學生才感悟到原來不同涂色面的小正方體的個數(shù)是由小正方體在大正方體上的位置所決定的，除了數(shù)，還可以算。既然“位置”如此重要，因此在教學中，筆者將原來的一個表面涂色的3×3×3的正方體拆成了27個小正方體，改變形式提供給學生操作。

師：在生活中被譽為指尖“舞蹈”的魔方復原游戲，深受同學們的喜愛。今天，我?guī)砹艘粋€3×3×3的正方體，把它的6個面上都涂色，再切成若干個同樣大的小正方體，顯然這些小正方體的6個面上不會都涂色。如果把這個正方體打亂，你們能將正方體復原嗎？下面我們進行分組比賽：比一比，哪組的動手能力最強？

（學生進行復原操作，但沒有一個小組能在2分鐘內完成復原）

師：復原過程中，同學們有什么發(fā)現(xiàn)或疑惑嗎？

生1：小正方體涂色面的情況比較復雜，有3面涂色、2面涂色、1面涂色、沒有涂色等四種情況。

生2：不知道把小正方體該放在大正方體的什么位置上？

師（提問）：在剛才的復原操作中，你們能感覺到3面、2面、1面、沒有涂色的小正方體，可能在大正方體的什么位置上？我們可以繼續(xù)研究。

當學生初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，筆者又安排了一次2分鐘復原正方體的游戲，在10個小組中有7個小組順利完成了復原任務。

學具正方體改變呈現(xiàn)形式，由“散”到“聚”。學生在復原游戲中發(fā)現(xiàn)“形散而神不散”的大正方體中，不同涂色面的小正方體的位置和個數(shù)都是確定的、有規(guī)律的。

（二）“融”學具，“揭”本質——山外青山樓外樓

鄭毓信教授曾說：“我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！”因此，在教學中，教師要正確處理“動手”與“動腦”之間的關系，要由單純地“動手”向“動腦”發(fā)展。幾年前，在揚州市開展的“百堂好課”賽課活動中，一節(jié)“長方體和正方體的認識”觀摩課給筆者留下了深刻的印象：授課教師讓學生利用橡皮泥和小棒制作長方體框架模型，學生在制作過程中發(fā)現(xiàn)成功制作長方體的關鍵在于如何選擇小棒（比如小棒的長度以及滿足長方體的相對的棱長度相等）。學生“做”長方體，不僅積累了制作長方體框架的操作經(jīng)驗，更是從本質上理解了長方體面、棱、頂點的特征。2017年任敏龍老師發(fā)表了論文《提取關鍵特征，展開空間推理》，任老師在教學“長方體和正方體認識”一課時，也是從操作觀察開始教學，不過任老師將“操作”安排到課前進行。課中，任老師充分運用多媒體，通過對不同立體圖形特征的比較提取長方體的關鍵特征，由此推理得出其他特征；還通過“面動成體”動畫演示，分析長方形中面、邊、頂點運動形成的圖形，推導出長方體的特征。從“做”長方體到融合信息技術“面動成體”的動畫演示，從“動手”到“動腦”，學生從多重視角認識了長方體的特征，促進了自身對長方體的本質理解。因此，“利用數(shù)學專用軟件等教學工具開展數(shù)學實驗，將抽象的數(shù)學知識直觀化，能夠促進學生對數(shù)學概念的理解和數(shù)學知識的建構”［１］。學具操作和多媒體技術的融合，真給人一種“山外青山樓外樓”的感覺！

史寧中教授在《數(shù)學基本思想與教學》一書中提出：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷，比如智慧。智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經(jīng)驗，你只能讓學生在實際操作中磨煉，自己去感悟，去積累去反思?！保?］因此，在學具操作的教學中要選擇恰當?shù)臅r機，同時學具操作也要以適切的形式呈現(xiàn)，才能幫助學生深刻理解知識內容，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（２０２２年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 王林. 小學數(shù)學課程標準研究與實踐［Ｍ］. 南京：江蘇教育出版社，２０１１.

［３］ 史寧中. 數(shù)學基本思想與教學［Ｍ］.北京：商務印書館，２０１８.