展代數(shù)與幾何之翼 破解平面向量問題

安徽省合肥一六八中學(xué)(230601) 劉大銳 王中學(xué)

向量是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個核心概念.它作為一種既有大小又有方向的量,有形的特征,可以通過構(gòu)造向量來處理代數(shù)問題,使問題直觀化;又具備數(shù)的特點(diǎn),可以將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化,從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn).

1 向量夾角問題

平面向量的夾角是兩非零向量同起點(diǎn)時構(gòu)成的角,取值范圍是[0,π],既有方向又有范圍的約束.

例1(2019年全國新課標(biāo)) 已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為( )

A.B.C.D.

解析(法一)因為(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·bb2=0,所以a·b=b2,則,所以a與b的夾角為,故選B.

(法二) 由向量減法的平行四邊形法則可知: 若(a-b)⊥b,則平行四邊形的對角線垂直于向量b所在的邊,如圖所示:∴BA ⊥OB,又|a|=2|b|,即|OA|=2|OB|,所以,即a與b的夾角為,故選B.

評注夾角的余弦計算公式關(guān)鍵是找出代換關(guān)系,而向量的加減法法則可以作出圖形進(jìn)行解三角形.

變式1(2011 浙江)若平面向量α,β滿足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為,則α與β的夾角θ的取值范圍是____.

解析(法一)以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積S=|α| · |β| ·sinθ=|β| ·sinθ=, 所以而又向量夾角的范圍為[0,π], 所以

(法二) 如圖, 向量α與β在單位圓O內(nèi), 因|α|=1,|β|≤1, 且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為,故以向量α,β為邊的三角形的面積為, 故β的終點(diǎn)在如圖的線段AB上(α//AB,且圓心O到AB的距離為),因此夾角θ的取值范圍為

評注平行四邊形的面積可用模長及夾角表示,夾角范圍是關(guān)鍵;通過模長的幾何意義和等底同高的平行四邊形的面積不變的性質(zhì),作出向量β的運(yùn)動軌跡,通過圖形得出角的變化范圍.

2 向量模長問題

向量的模長可以利用公式通過數(shù)量積求解、可以建系代入坐標(biāo)運(yùn)算、也可以利用向量模長的幾何意義轉(zhuǎn)化為解三角形.

例2(2020年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=____.

解析(法一)因為a,b為單位向量,所以|a|=|b|= 1,

所以

解 得: 2a · b=-1, 所 以

(法二)由向量加減法的平行四邊形法則可知:a,b為單位向量, 即a,b的模長為1,|a+b|=1 即和向量的模長也就是平行四邊形同起點(diǎn)的對角線長為1, 如圖所示:所以ΔOAC是等邊三角形,所以

評注模長的計算通常采用平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,注重夾角的代入或是數(shù)量積的代換;作出幾何圖形,采用正余弦定理進(jìn)行解三角形也可以.

變式1(2018 浙江) 已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為, 向 量b滿 足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是( )

解析(法一) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),a=-→OA,b=O-→B=(x,y),e=(1,0),由b2-4e·b+3=0 得x2+y2-4x+3=0,即(x -2)2+y2= 1, 所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2,0) 為圓心, l 為半徑的圓.因為a與e的夾角為, 所以不妨令點(diǎn)A在射線上, 如圖, 數(shù)形結(jié)合可知故選A.

(法二) 由b2-4e·b+3 = 0 得b2-4e·b+3e2=(b-e)(b-3e) = 0.設(shè)所以取EF的中點(diǎn)為C.則B在以C為圓心,EF為直徑的圓上,如圖: 設(shè)作射線OA,使得所以

故選A.

評注建系代入坐標(biāo)運(yùn)算,求出點(diǎn)B的軌跡,可轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到直線的距離; 將3 轉(zhuǎn)化為3e2具有一定的技巧,通過等式的化簡,找出幾何關(guān)系,作出圖形由向量三角不等式進(jìn)行求解,注重了隱圓的利用.

變式2(2017 浙江)已知向量a,b滿足|a|=1,|a|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是____,最大值是____.

解析(法一) 設(shè)向量a,b的夾角為θ, 由模長公式有:則:令y=則所以y2∈[16,20],據(jù)此可得:(|a+b|+|a-b|)min=16=4,即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是

(法二)如圖所示,|a+b|和|a-b|是以|a|=1,|b|=2為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線,則|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)= 10,A是以O(shè)為圓心的單位圓上的一動點(diǎn),構(gòu)造2 個全等的平行四邊形AOBD, 平行四邊形ECOA.所以|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.

易知當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時,|AB|+|AC|最小,此時|AB|+|AC|=|BC|=4;當(dāng)AO ⊥BC時,|AB|+|AC|最大,此時

評注注意的平方和為定值的特點(diǎn),可化為函數(shù)求最值,也可轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系求解;固定一個向量,讓另一個向量的終點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),是解決問題的關(guān)鍵.

變式3(2016 四川) 在平面內(nèi), 定點(diǎn)A,B,C,D滿足-2,動點(diǎn)P,M滿足的最大值是

解析(法 一) 由 已 知 易得∠ADC= ∠ADB=∠BDC= 120°,以D為原點(diǎn), 直線DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(2,0),設(shè)P(x,y), 由已知得(x -2)2+y2= 1.又所以它表示圓 (x -2)2+y2= 1 上的點(diǎn) (x,y) 與點(diǎn)距離平方的, 所以(|BM|2)max=.故選B.

評注建系代入坐標(biāo)化為圓上的點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的距離或是由條件畫出圖形通過向量三角不等式求最值,做到數(shù)中有形,形中有數(shù).

3 數(shù)量積問題

向量的數(shù)量積是兩個非零向量的模長與夾角余弦值的乘積,結(jié)果是數(shù)量而不是向量,是向量的一種新的運(yùn)算,體現(xiàn)了向量的長度和三角函數(shù)之間的一種關(guān)系.

例3(2020 新全國1 山東)已知P是邊長為2 的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則的取值范圍是( )

A.(-2,6) B.(-6,2)

C.(-2,4) D.(-4,6)

解析(法一) 以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,AE所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.由正六邊形的邊長為2 可得:A(0,0),B(2,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),所以又點(diǎn)P在正六邊形內(nèi),當(dāng)點(diǎn)P無限接近C點(diǎn)時,x最大,此時x=xC=xB+BC·cos ∠BCF=2+2·cos 60°=3,當(dāng)點(diǎn)P無限接近F點(diǎn)時,x最小,此時x=xF=-AF·cos ∠AFO=-2·cos 60°=-1,所以x ∈(-1,3),所以,,故選A.

(法二)它的幾何意義是在向量上的投影的乘積; 如圖所示: 當(dāng)點(diǎn)P無限接近C點(diǎn)時, 取得最大值,當(dāng)點(diǎn)P無限接近F點(diǎn)時,取得最小值,所以的取值范圍是(-2,6).

評注向量的數(shù)量積由于受到模長和夾角的制約,建系代入坐標(biāo)計算,注意范圍即可,由數(shù)量積的幾何意義,通過投影可找出軌跡得范圍.

變式1(2017年全國新課標(biāo)2 理科) 已知ΔABC是邊長為2 的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn), 則的最小值是( )

A.-2 B.C.D.-1

解析(法一) 如圖所示, 以BC為x軸,BC的垂直平分線DA為y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, 則:,B(-1,0),C(1,0), 設(shè)P(x,y), 所 以所以時,所求的最小值為,故選B.

如圖所示,取BC的中點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)AD,取AD的中點(diǎn)E,由,則

評注求解范圍,注意點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡,給出精確的取值變化,是代數(shù)運(yùn)算與幾何表示的關(guān)鍵.

變式2(2013 浙江) 設(shè)ΔABC,P0是邊AB上一定點(diǎn), 滿足且對于邊AB上任一點(diǎn)P, 恒有則( )

A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

解析(法一)由題意,設(shè)過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為H,在AB上任取一點(diǎn)P,設(shè)HP0=a,則由數(shù)量積的幾何意義可得,于是恒成立,相當(dāng)于恒成立,整理得恒成立, 只需Δ = (a+1)2-4a= (a-1)2≤0 即可, 于是a= 1,因此我們得到|HB|= 2,即H是AB的中點(diǎn),故ΔABC是等腰三角形,所以AC=BC.

(法二) 如圖, 取線段BC的中點(diǎn)M, 由極化恒等式得:又恒成立,即恒成立,幾何意義是邊AB上任一點(diǎn)P,都有PM≥P0M,也就是說P0M為點(diǎn)M到AB的最短距離, 所以P0M ⊥AB, 又M是線段BC的中點(diǎn),P0是AB的四等分點(diǎn),取AB的中點(diǎn)為N,所以CN ⊥AB,∴AC=BC.

評注方法一中將數(shù)量積化為模長的二次函數(shù)的表達(dá)式,利用判別式進(jìn)行處理,方法二中采用了極化恒等式轉(zhuǎn)化為,通過幾何意義找出邊長的等量關(guān)系.

4 綜合應(yīng)用

向量具有明確的幾何背景,涉及長度,夾角的幾何問題可以通過向量及其運(yùn)算得到解決,又向量的運(yùn)算具有明確的幾何意義,要充分利用向量的幾何表示這個直觀基礎(chǔ).

例4(2021年全國新高考Ⅰ卷) 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則( )

A.

B.

C.

D.

解析(法一)

D:由題意得:=1×cosα+0×sinα=cosα,=cosβ×cos(α+β)+(-sinβ)×sin(α+β)=cos(α+2β),故一般來說故錯誤;故選: AC

(法 二) 由 點(diǎn)P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β), sin(α+β)),A(1,0) 的坐標(biāo)可知, 點(diǎn)P1,P2,P3,A在一個單位圓上,因此如圖所示:

B:只有α=-β時成立;

D:錯誤.故選: AC.

評注這里涉及到數(shù)量積和模長,內(nèi)容豐富,代數(shù)計算可得出明確的數(shù)量關(guān)系,而幾何圖解可直觀的表示.

變式1 圖

變式1(2017 全國3 理12) 在矩形ABCD中,AB=1,AD= 2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若(λ,μ為實數(shù)),則λ+μ的最大值為( ).

解析(法一)由題意,作出圖像,如圖所示.設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CE.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸正半軸,AB為y軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,1).因為|CD|= 1,|BC|= 2.所以因為BD切圓C于點(diǎn)E.所以CE ⊥BD.所以CE是RtΔBCD斜邊BD上的高.

即圓C的半徑為因為點(diǎn)P在圓C上.所以點(diǎn)P的軌跡方程為

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),可以設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程而因為μ(2,0) = (2μ,λ),所以兩式相加得

評注方法一中代數(shù)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)及輔助角公式,進(jìn)行定量研究,方法二中由向量線性分解采用等和線進(jìn)行定性分析.

5 小結(jié)

華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”,平面向量具有數(shù)與形的雙重身份,在解決平面向量的問題時,應(yīng)該學(xué)會站在不同的角度和高度觀察、認(rèn)識問題,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅc策略,使得問題的解決合理、有效、可行、正確,達(dá)到數(shù)與形的緊密結(jié)合,知識與能力的有效融合,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).