Euler不等式的加強(qiáng)

湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)中小學(xué)教師發(fā)展中心(410200) 劉先明

設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑與半周長(zhǎng)分別為a,b,c,R,r,s,用表示循環(huán)求和.

文[1]記載: 1967年,L.Bankoff——洛杉磯的一名牙科醫(yī)生在《Math Mog》上將Euler 不等式R≥2r加強(qiáng)為:

本文得到(1)式的兩個(gè)加強(qiáng).

先有幾個(gè)引理:

引理1(見(jiàn)文 [2]) 在 ΔABC中, 有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

引理2(見(jiàn)文 [3]) 在 ΔABC中, 有s2≥當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

引理3(見(jiàn)文[4])在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

引理4在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

證明由引理1,要證明引理4,只需要證明:

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∴引理4 成立.

定理1在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

證明∵,∴由引理4,得:.在上式兩邊分別乘以R和r,然后將兩式相加,得:由引理2 和引理3 得:

定理2在ΔABC中,有當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時(shí)取等號(hào).

證明由引理1 和引理4,得:即:仿照定理1 的證明方法,在上式兩邊分別乘以R和r,然后將兩式相加,得:

注1定理1 和定理2 可直接證明:

注2定理2 強(qiáng)于定理1.