從“苦學(xué)”到“樂學(xué)”，悟思維之靈動(dòng)

彭曉梅

著名數(shù)學(xué)家華羅庚也說過：“就數(shù)學(xué)本身來說，也是千姿百態(tài)，壯麗多彩，引人入勝的?！睌?shù)學(xué)為什么“好玩”？數(shù)學(xué)憑什么“引人入勝”？因?yàn)閿?shù)學(xué)美??！

數(shù)學(xué)美在對稱，美在簡潔，美在嚴(yán)謹(jǐn)，美在秩序，美在規(guī)律，更美在思維之靈動(dòng)，對于同一個(gè)題目能從不同的角度用多種解題方法和思路解答。今天我結(jié)合一個(gè)實(shí)例通過活躍的思維來體會(huì)數(shù)學(xué)之美。

在學(xué)習(xí)了角的基本知識之后，學(xué)生們對鐘表的時(shí)針和分針?biāo)纬傻膴A角的度數(shù)問題產(chǎn)生了極大的興趣，但是在求解的過程中卻遇到了一些困難，根據(jù)學(xué)生們思考角度的不同，我把時(shí)針與分針的夾角問題總結(jié)出多種解題方法。

一、基本知識鋪墊

普通鐘表相當(dāng)于圓，其時(shí)針或分針走一圈均相當(dāng)于走過360°角，360度角被分成12格，一格對應(yīng)的角度為30°，這一格分針需要用五分鐘走過，時(shí)針需要用一小時(shí)即60分鐘走過，時(shí)針的一小時(shí)或分針的 5 分鐘因而時(shí)針每走過1分鐘對應(yīng)的角度為0.5°，分針每走過1分鐘對應(yīng)的角度應(yīng)為6°。

二、計(jì)算舉例（此類題目需要注意，我們要求的夾角問題默指小于180°）

例：鐘表上時(shí)間為 3：40 時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)

（一）解法一：利用角的和差關(guān)系

此題中我們要求的角度為圖中的∠AOB

∠AOB=∠MOB-∠MOA

∠MOB=30°×5=150°

∠MOA=0.5°×40=20°

所以∠AOB=∠MOB-∠MOA=150°-20°=130°

或者∠AOB=∠NOB+∠NOA

∠NOB=30°×4=120°

∠NOA=30°-∠MOA=30°-20°=10°

所以∠AOB=∠NOB+∠NOA=120°+10°=130°

（二）解法二：可以把這個(gè)問題看成行程問題，求路程差（默認(rèn)時(shí)針和分針的原始位置都是從指向12也就是0時(shí)0分開始）

解析 ：依據(jù)常識，我們應(yīng)該以時(shí)針、分針均在12點(diǎn)時(shí)為起始點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算由于分針在時(shí)針前面，我們可以先算出分針走過的角度，再減去時(shí)針走過的角度，即可求出時(shí)針與分針夾角的度數(shù)。

1.先看分針：從原始位置0時(shí)0分到3時(shí)40分，共轉(zhuǎn)過40分鐘，所以分針走過的路程為40×6°=240°。

2.再看時(shí)針：從原始位置0時(shí)0分到3時(shí)40分，共轉(zhuǎn)過3小時(shí)40分鐘，即220分鐘，所以時(shí)針走過的路程為220×0.5°=110°。

3.此時(shí)分針走過的路程比時(shí)針多，所以夾角為240°-110°=130°。

注：路程差即為路程的差的絕對值（在某些時(shí)刻時(shí)針走過的路程比分針走過的路程多）。

（三）解法三：可以把此問題看成追及問題

解析：我們可以把時(shí)針和分針回歸到整點(diǎn)，3：40即回到3：00，從3：00到3：40，分針和時(shí)針都在跑，最終分針超過了時(shí)針。我們可以用線段圖來表示：[40×6°=240°][分針起點(diǎn)][90°][40×0.5°=20°][時(shí)針起點(diǎn)][？]

由線段圖不難看出，我們要求的角度=240°-90°-20°=130°。

三、總結(jié)

以上三種方法各有自身的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，可以把它們的優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)如下。

解法一把所求角度轉(zhuǎn)化成線段和差問題非常的直觀，但是不同的時(shí)刻圖形不一樣，需要每個(gè)題目分別對應(yīng)分析。

解法二可以總結(jié)出一個(gè)求夾角的公式，例如x時(shí)y分所成的夾角即為：

|0.5（60x+y）-6x|=|30x-5.5y|，這個(gè)公式可以不用看圖直接套用求角度。

解法三把鐘表問題看成一個(gè)行程問題，也就是類似于我們之前學(xué)過的操場上跑步的問題，這個(gè)可以與一元一次方程結(jié)合起來，讓學(xué)生的思維更開闊，更靈活，這種方法更適合于求時(shí)間差的問題，例如“某人下午6點(diǎn)到7點(diǎn)外出購物，出發(fā)和回來時(shí)發(fā)現(xiàn)表上的時(shí)針和分針的夾角都是110°，此人外出購物用了多少分鐘”，在追及問題中我們都知道時(shí)間差=路程差÷速度差，所以此題結(jié)果為220÷5.5=40分鐘。

上述問題只是眾多數(shù)學(xué)課堂中的一小節(jié)，當(dāng)上述解題思路在數(shù)學(xué)課堂中得以展現(xiàn)的時(shí)刻，可以想象到學(xué)生們在課堂上思維碰撞的激烈和收獲的喜悅，當(dāng)學(xué)生的思維活躍起來，就像足球場上奔跑的運(yùn)動(dòng)員，他們感受不到揮汗如雨的勞累，只能感受到收獲后心中滿滿的美。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分挖掘數(shù)學(xué)美的因素，引導(dǎo)學(xué)生逐步體驗(yàn)到數(shù)學(xué)美，從直覺到知覺，從知覺到感悟，使他們走入“樂學(xué)”的天地。