PCK在初中數(shù)學教學中的應用

鄧啟敏 齊進

［摘要］ 多面體知識是初中階段數(shù)學重要的內容，集內容知識、教學知識和學生認知于一體。內容知識被定義為關于事實、概念、概念之間的關系和數(shù)學過程的知識，教學知識是指教師在組織多面體教學過程中的知識，而學生認知則是作為教師對學生在多面體學習方面錯誤的認識。通過記錄教學過程和采訪學生收集數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行簡化、分類和解釋分析，結果表明，教師傾向于將概念和過程解釋結合起來，通過提供立體支架模型和采用同學輔導來糾正錯誤并解決學生在多面體學習上的困難。

［關鍵詞］ 初中數(shù)學；PCK；多面體；教學能力

教師在培養(yǎng)學生學習數(shù)學知識和技能掌握方面發(fā)揮著重要作用。教師履行其職責必須具備四種能力：教學能力、專業(yè)能力、人格能力和社會能力。這就需要教師充分了解學生；掌握課程和教材；掌握能夠組織教育學習，包括學習的計劃和實施、學習過程和結果的評估、學習改進的后續(xù)行動；以可持續(xù)的方式發(fā)展個性和專業(yè)精神。這與學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge，PCK）的內涵相符，是學生成績提高的關鍵因素之一?？梢姡處熜枰莆战虒W內容和有效的表達方式，并解釋學生的思維，使他們更好地理解教學內容。PCK是一種教師理解學生認知的方法，其被定義為教師運用自身數(shù)學知識展開數(shù)學主題并以學生成功學習數(shù)學的方式呈現(xiàn)內容的能力。因此，教師應注重PCK的發(fā)展與教學應用，以加強學生的理解，減少學生在學習中的困難、錯誤和誤解。

一、研究方法

本研究旨在開發(fā)一個基于“PCK”的數(shù)學指導模型，此模型包括四個階段：（1）初始評估階段；（2）設計階段；（3）測試、評估和修訂階段；（4）實施階段。本文重點介紹八年級數(shù)學教師在多面體學習中PCK的發(fā)展情況，記錄學生的學習活動和訪談數(shù)據(jù)。本研究囊括了兩節(jié)多面體教學課記錄內容。來自數(shù)學教育項目的研究人員和五名講師直接參與了數(shù)據(jù)收集，并反復觀察教學視頻，然后進行轉錄。數(shù)據(jù)分析采用定性分析，包括歸納、分類、解釋和得出結論。本研究中PCK的考核組成部分包括教師對多面體的知識、教師對多面體知識學習的教學方法、教師對克服學生在多面體方面的困難和錯誤的知識。

二、教學過程

八年級數(shù)學教師關于多面體的PCK包括多面體知識、教學方法和學生的知識。第1課的主題是發(fā)現(xiàn)立方體和矩形的表面積公式，而第2課是找到棱柱的表面積公式，下一節(jié)課介紹了上一節(jié)課總結的學習成果。

（一）第1課

主題知識。在課程開始時，教師沒有直接解釋與立方體和矩形相關的事實，而是通過示例和問題來引導學生構建立方體和長方體中術語的定義，例如邊和面。教師總是將立方體/長方體的概念與先決材料，即平面幾何（正方形和矩形）聯(lián)系起來。此外，通過將立方體/長方體的幾何形狀與學生熟悉的具體物體（如櫥柜和鞋盒）的形式進行類比，解釋了概念之間的聯(lián)系。在課堂上，教師還詢問了正方形面積計算公式（面積＝邊長2），長方形的面積計算公式（面積=長×寬），然后把它們正確地寫在黑板上。然而，有一個術語仍然很難被學生理解，即一致性術語，因為在八年級它還沒有被教過。所以，教師使用了另一個全等替換項，即形狀和大小相同的兩個平面幾何體。另一方面，數(shù)學教學過程中被用來找出立方體/長方體的表面積公式，這些公式已經寫在課本中得到呈現(xiàn)。

教學方法。實現(xiàn)學習目標的步驟：教師傳達對平面幾何領域的感知；提出課程目標；通過視頻顯示立方體和長方體；向每組學生分發(fā)試題；指導每個小組學生在作業(yè)本上完成；請一組學生解釋解題思路，并一起驗證結論。立方體和長方體的廣義概念是通過動畫視頻形式來表示的。動畫視頻由網絡制作和紙板制成的立方體/長方體混合組成。使用這兩種方法旨在給學生呈現(xiàn)立方體/長方體的空間思維過程，并通過計算多面體總面積，期望學生理解多面體面積計算的過程。在學習實施的過程中，信息傳遞階段使用了現(xiàn)實和網絡虛擬相結合的方式。多面體核心知識學習中使用了具體的教學模型，通過與每組學生共享視頻和模具，鼓勵他們成為積極的學習者。學生對立體多面體的切割、換算等來掌握抽象的幾何知識。在具體的教學過程中，教師并沒有解釋黑板上的幾何題型，而是指示每個學生研究立方體模型。然而，并不是所有學生都能達到預期的結果。于此，教師對有困難的學生采用教學立體模具教學技術提供有效幫助，教師的角色仍然占主導地位。然而，主導教學也存在一些弊端，有的學生不習慣獨立思考，一味地等待教師教學。因而，主動教學和被動教學相結合的方式是PCK的重要組成部分，雖然這個教學過程耗時超過預期，但是對學生全面掌握數(shù)學知識至關重要。

學生的知識。通過提出幾個與立方體/長方體特征相關的問題，教師了解、把握學生的背景知識，包括邊的數(shù)量、頂點、面、正方形和矩形的面積，并要求他們在現(xiàn)實中模擬類似立方體/長方體的物體，以便能夠區(qū)分兩者的特征。當學生難以回答上述問題時，教師通過教學模具展示立方體/長方體模型來指導學生，并演示如何在每組中打開立方體/長方體空間結構。此外，當學生將邊棱誤認為是面時，也會對多面體產生誤解。為了克服這個問題，教師需要重新解釋正方形作為平面幾何體與立方體作為多面體的區(qū)別。對于正方形，邊界稱為邊；而對于立方體，面是由四條邊圍成的平面。對學生來說，另一個具有挑戰(zhàn)性的概念是將長方體/立方體的每個面公式轉換為表面積公式。學生往往只能計算每條邊的大小，然后將其相乘，而沒有成功地將其寫成代數(shù)形式（體積=長×寬×高）。除了這些教學困難之外，還有一種誤解，學生提到風箏是正方形、三角形是多面體等。這發(fā)生在學生日常感知的過程中，需要教師為每個有這種誤解的學生加以解釋。此外，教師在教學過程中也免不了需要激勵那些看起來缺乏激情的學生。

（二）第2課

主題知識。教師在給學生介紹平面幾何圖形（如正方形和三角形）時，在課堂上可以通過實物展示的方式給學生介紹課本中的邊和角等概念，這樣使得抽象的概念具體化。對于概念之間的關系，教師將棱柱底座的形狀與特定的平面幾何形狀聯(lián)系起來。如果棱柱底座是方形的，則稱為矩形/方形棱柱，類似于三角形底座的情況。教師還在黑板上寫下一些平面幾何的通式和周長，這些平面幾何可以作為學習棱柱空間圖形的基礎，例如正方形的面積和周長、三角形的面積和周長。為了將概念和公式聯(lián)系起來，教師還需要給學生解釋與闡明棱柱形表面積公式有關的數(shù)學推算過程；學生首先確定基準面積和棱蓋（頂部基座）的面積，然后發(fā)現(xiàn)棱鏡垂直面的面積，并將三者相加。

教學方法。教師的教學步驟與課程設計一致，從感知平面幾何、面積和周長的幾種形式開始，傳達學習目標，簡要解釋棱柱的表面積，將相關章節(jié)的考試題分發(fā)給每個小組，與學生一起解決，要求其中一個小組展示他們的試題演算過程，并確認結論。解題時，教師傾向于直接分析學生在考題中的內容和一些慣犯的錯誤。通過三角棱柱的紙板解釋棱鏡的表面積，教師先計算每個面的面積，然后將每個面的面積相加，以獲得棱柱的總表面積。在多面體教學之初，教師還給出了一些平面幾何的例子，如三角形、正方形，以及如何確定正方形面積、三角形高度和三角形面積。教師將例子寫在黑板上，然后向學生解釋。除了例題外，教師還為學生分配單獨的任務來解決多面體問題。為了讓學生充分參與到數(shù)學課題活動中，需要鼓勵學生提問。在這種情況下，教師隨機選擇學生，從他們那里獲得一些學習多面體的常見問題。對于接受能力強的學生，要求他們幫助那些接受能力較弱的同學。在評價方面，雖然沒有使用評價工具，但總的來說，教師通常是通過對積極提出問題的學生給予贊揚和掌聲，以獎勵他們提供了正確的答案。

學生的知識。通過學生對正方形面積、三角形高度和三角形面積的感知，教師可以發(fā)現(xiàn)學生的初始知識。也許沒有多少學生能記住，教師需要重新解釋如何確定正方形面積、三角形高度和三角形面積。當學生遇到困難時，可以通過簡單的例子（支架）引導他們，并慢慢減少幫助量，直到學生能夠獨立解決問題。在教學規(guī)劃過程中，教師需要描述幾何圖形中任何可能的困難、錯誤和誤解，例如，學生很難將棱柱的表面積轉化成代數(shù)形式一樣，確定棱鏡網絡中每個面的總和時的錯誤，以及基于不同棱柱位置對棱柱的誤解。為了克服這些問題，教師需要針對不同學生輪流糾正其錯誤概念。而由于學生的高度熱情和好奇心，或許教師需要反復執(zhí)行這個過程，向每位學生解釋相同的事情。

三、結果討論

初中八年級多面體教學內容分為三類：事實知識、概念知識和解題過程知識。事實知識由與多面體相關的事實和數(shù)學符號表示，在本課程中準確呈現(xiàn)。為了準確解釋概念知識及其與數(shù)學概念之間的關系，教師需要將平面幾何和多面體的概念恰當?shù)亟Y合起來，很好地定義正方形、矩形和三角形的面積等數(shù)學公式，系統(tǒng)地解釋與多面體相關的數(shù)學概念。解題過程知識是指對數(shù)學事實和概念及其關系的知識。主題知識一般分為兩類——概念知識和解題過程知識，程序知識包括將某些數(shù)學概念與其他概念聯(lián)系起來，并解釋某些數(shù)學過程的根本原因。教師應了解數(shù)學的概念、解題過程和結論，以及解題過程中出現(xiàn)的常見錯誤，從而提高學生對概念的理解。

數(shù)學學習策略包括教師在數(shù)學學習中采用適當?shù)臄?shù)學活動能力、在數(shù)學學習中使用現(xiàn)實生活中的例子和類比、在表達中采用不同學習策略的能力，以及在數(shù)學學習中使用不同表征的能力。僅僅掌握教材不足以達到預期的學習目標，教師還應能夠以學生易于理解的方式教授教材。教師的學習組織通過使用發(fā)現(xiàn)方法來展示，包括使用操作表和幾何試題引導學生發(fā)現(xiàn)立方體、長方體和棱柱體的表面積公式；通過將本課與前一課聯(lián)系起來，了解學生對上一節(jié)課內容知識的掌握情況。此外，教師讓學生參與學習，讓他們有機會找到立方體、長方體和棱柱體的表面積公式。學生的主動學習過程與教師的探究性教學是密不可分的，教師使用的課堂策略是在課堂上為學生提供幾何支架模型，通過績效評估學生學習過程。可見，教師需要有不同的知識和技能，以計劃和實施旨在增進學生理解的學習策略。

一般情況下，教師對學生學習多面體的認識分為兩類：對學生學習困難的認識、如何克服困難。根據(jù)每個學時相同的問題，教師獲得了關于學生困難的信息，通過提出待研究的數(shù)學幾何問題，探索學生的初始認知；用簡單的類比和應用支架模型技術，克服學生的錯誤、困難和誤解。教師必須認識到可能會給學生帶來的幾何問題，并有能力解決學生在教材方面面臨的問題。此外，教師還要確認一個試題解決方案是正確的，并解釋為什么它是正確的。

這項研究表明，PCK在學習中是重要的和必要的（包括在八年級教學多面體相關知識）。PCK是教師有關多面體的知識與學生的知識相結合的具體體現(xiàn)，對學習組織中的教師教學會產生重要影響。學生認知知識既需要教材知識，也需要教學知識。

［本文系蘭州市教師個人課題“基于數(shù)學活動的初中數(shù)學教學策略研究”（項目編號：LZ〔2021〕GR00XXX0678）研究成果］

［參考文獻］

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［4］Aksu Z，Kul M. Exploring Mathematics Teachers’Pedagogical Content Knowledge in the Context of Knowledge of Students[J]. Journal of Education and Practice，2016，7.

鄧啟敏? ?甘肅省蘭州市海亮實驗學校。

齊 進? ?蘭州大學校聘副教授，碩士生導師。