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    培養(yǎng)聯(lián)想思維 發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)

    2023-04-15 21:02:26曹曄
    關(guān)鍵詞:聯(lián)想思維品質(zhì)思維能力

    曹曄

    摘? 要] 聯(lián)想是思維發(fā)展的動(dòng)力,是提升數(shù)學(xué)解題能力的催化劑,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可估量的作用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,師生要重視聯(lián)想思維能力的培養(yǎng),從而借助豐富的聯(lián)想建立良好的思維品質(zhì),促進(jìn)學(xué)習(xí)能力不斷提升.

    [關(guān)鍵詞] 聯(lián)想;思維能力;思維品質(zhì)

    數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目的就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì). 數(shù)學(xué)品質(zhì)是一個(gè)相對(duì)宏觀的概念,只是基于簡單的經(jīng)驗(yàn),有時(shí)候很難把握數(shù)學(xué)品質(zhì)及其發(fā)展效果,這時(shí)就需要對(duì)數(shù)學(xué)品質(zhì)提供有力的支撐. 這個(gè)支撐是什么呢?應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的思維. 有人說“思維是世界上最美麗的花朵”,之所以這么說就是因?yàn)樗季S能夠幫助人們獲得對(duì)事物最本質(zhì)的認(rèn)識(shí),能夠幫助人們構(gòu)建不同事物之間的聯(lián)系,能夠幫助人們發(fā)現(xiàn)不同的規(guī)律. 教學(xué)原本就是教師幫助學(xué)生的過程,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中,就是幫助學(xué)生建構(gòu)一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)概念,獲得數(shù)學(xué)概念之間的邏輯認(rèn)識(shí).

    思維本身也是一個(gè)寬泛的概念. 思維有著多種形式,人們常說的形象思維、抽象思維以及直覺思維,就是思維的一些基本形式. 除此之外,還有一種思維值得高度關(guān)注,這就是聯(lián)想思維. 聯(lián)想本身就是一種思維方式,所謂聯(lián)想,即由某一個(gè)人或事物想起其他的人或事物,由某一個(gè)概念想起其他的概念. 聯(lián)想之所以能夠發(fā)生,很大程度上是因?yàn)椤跋嚓P(guān)性”,當(dāng)兩個(gè)人、兩件事物或兩個(gè)概念之間存在著相關(guān)性時(shí),聯(lián)想就會(huì)發(fā)生. 大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明學(xué)生的聯(lián)想思維用得越嫻熟,那么數(shù)學(xué)品質(zhì)就越高.

    筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生雖然有著扎實(shí)的基礎(chǔ),然在綜合運(yùn)用時(shí)卻顯得力不從心,究其原因,與學(xué)生的聯(lián)想能力密切相關(guān). 只有會(huì)聯(lián)想才能有效串聯(lián)相關(guān)的、相似的知識(shí),進(jìn)而提升知識(shí)轉(zhuǎn)化效率. 那么,如何激活學(xué)生的聯(lián)想思維呢?筆者借助相似聯(lián)想、類比聯(lián)想、逆向聯(lián)想、動(dòng)靜聯(lián)想等聯(lián)想思維的具體應(yīng)用,談幾點(diǎn)自己的認(rèn)識(shí),僅供參考.

    相似聯(lián)想

    雖然數(shù)學(xué)題目千千萬,但很多題目具有一定的相似性,在解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于多角度觀察和聯(lián)想,找出題目中的相似屬性,從而通過相似聯(lián)想喚醒沉睡的記憶,找到解決問題的突破口,提高解題效率. 因此,在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師不能簡單地“就題論題”,而要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形、公式或解法相似的題目進(jìn)行相似聯(lián)想,總結(jié)并歸類相似題目,讓學(xué)生可以“會(huì)一題,通一類”,以此提升解題效率.

    在解決例1的過程中,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相似聯(lián)想后,學(xué)生探究的熱情被迅速激發(fā),經(jīng)過不斷猜想和嘗試發(fā)散了學(xué)生的思維. 學(xué)生的思維一旦發(fā)散了,解題思路自然就拓寬了,當(dāng)學(xué)生再遇到類似問題時(shí)解題方法也就多了,問題求解便水到渠成了.

    可見,從學(xué)生熟悉的、相似的內(nèi)容出發(fā),容易找到解題的突破口. 但對(duì)相似內(nèi)容的積累需要長期過程,為此,在日常教學(xué)中,教師要重視夯實(shí)學(xué)生的“雙基”,只有扎實(shí)的基礎(chǔ),才能幫助學(xué)生在回憶相關(guān)或相似內(nèi)容時(shí)找到解題的切入點(diǎn),為正確求解打開思路. 同時(shí),教師在教學(xué)過程中要重視引導(dǎo)、訓(xùn)練和積累,進(jìn)而將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力. 對(duì)于高中生而言,抓住不同題目之間的相似性去發(fā)展聯(lián)想思維能力,是最基本的學(xué)習(xí)方式之一. 根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同題目之間的相似性,很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要讓學(xué)生遇到不同題目時(shí),能夠在大腦中形成與之相似的判斷. 要做到這一點(diǎn)并不容易,這需要兩個(gè)必要條件:一是學(xué)生大腦當(dāng)中有足夠的題目,對(duì)這些題目的類型有足夠的認(rèn)識(shí);二是學(xué)生對(duì)新的題目有準(zhǔn)確的判斷,能夠?qū)⑵渑c大腦中的具有相關(guān)性的題目聯(lián)系在一起. 前者需要學(xué)生大量積累,這個(gè)積累過程不僅僅是做題,更要對(duì)題目進(jìn)行分析、歸納,把握題目的本質(zhì);后者需要學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力、聯(lián)想能力. 教師在實(shí)際教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)不同題目之間的相關(guān)性,等到時(shí)機(jī)成熟后,再讓學(xué)生自主判斷. “看到這道題目時(shí),同學(xué)們會(huì)想到曾經(jīng)做過的哪些題目呢?”“看到這道題目時(shí),同學(xué)們感覺曾經(jīng)做過的哪道題目與之最相似呢?”……這樣的問題是筆者在解題教學(xué)中常常向?qū)W生提出的問題,當(dāng)學(xué)生習(xí)慣了這樣提問后,他們的聯(lián)想意識(shí)就會(huì)被激活,聯(lián)想能力也會(huì)得到提升.

    類比聯(lián)想

    類比聯(lián)想使學(xué)生通過不同對(duì)象的類比,找到兩者或兩類的異同,從而發(fā)現(xiàn)新問題,找到新方法,推理出新結(jié)論,串聯(lián)不同對(duì)象,將數(shù)學(xué)知識(shí)編制成一條縱橫交錯(cuò)的脈絡(luò)網(wǎng),便于信息的提取和內(nèi)化. 在此過程中,能幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,感受數(shù)學(xué)思想的魅力,從而培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的同時(shí),發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 相比較而言,類比聯(lián)想對(duì)思維的要求更高,因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)或兩類可以類比的對(duì)象而言,它們?cè)谛问缴纤憩F(xiàn)出來的相似性并不明顯,因此學(xué)生很難用相似聯(lián)想來發(fā)現(xiàn)關(guān)系. 這也就意味著學(xué)生面對(duì)新的問題時(shí),需要通過自身分析,發(fā)現(xiàn)新的問題在解決的時(shí)候會(huì)用到哪些方法,用到哪些思路,然后對(duì)這些思路和方法進(jìn)行總結(jié),最后再到大腦當(dāng)中去尋找與之類似的問題以及具體的解題思路進(jìn)行類比. 這樣就可以在新舊問題之間形成相關(guān)性認(rèn)識(shí),從而保證類比聯(lián)想發(fā)生. 因此,在教學(xué)中,教師要多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比聯(lián)想,從而完成教學(xué)優(yōu)化,提高課堂效率.

    例2 設(shè)f(x)與g(x)互為反函數(shù),且f(p+q)=f(p)·f(q),證明:g(m+n)=g(m)·g(n).

    例2的題設(shè)信息看似簡單,然問題較為抽象,大部分學(xué)生難以找到解題思路. 為此,解題時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1). 這樣通過類比聯(lián)想,很快就形成了解題思路,即設(shè)m=f(p),n=f(q),則p=g(m),q=g(n),f(p+q)=f(p)·f(q)=m·n,因此g(m·n)=g(m)+g(n).

    在例2的證明過程中,當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí),教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比聯(lián)想,將新結(jié)論與舊知識(shí)相類比,激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí),找到了解決問題的方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視類似思維的滲透,以此幫助學(xué)生通過類比挖掘出新知識(shí)、新方法,幫助學(xué)生建立解題信心,讓數(shù)學(xué)思維在不斷類比和聯(lián)想中得到質(zhì)的提升. 值得一提的是,教師在教學(xué)時(shí),要有強(qiáng)烈的聯(lián)想意識(shí),要有教學(xué)的整體性認(rèn)識(shí),要能夠?qū)⒁欢螘r(shí)間內(nèi)的教學(xué)看作一個(gè)整體,在前面習(xí)題教學(xué)的時(shí)候,就要善于埋下“種子”,然后在后面提供與這些種子相關(guān)的題目——這里所說的相關(guān)當(dāng)然是指解題方法上的相關(guān),而不是外在形式上的相關(guān). 當(dāng)學(xué)生能夠從解題方法、思路以及技巧等角度進(jìn)行類比時(shí),學(xué)生也就進(jìn)入了一個(gè)深度思考的狀態(tài). 這樣的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)深度學(xué)習(xí)的過程,能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì).

    逆向聯(lián)想

    數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科,很多學(xué)生在求解一些較為抽象和復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)因找不到合理的方法而喪失解題信心. 眾所周知,很多事物存在正反兩面,數(shù)學(xué)題目同樣具備這一特征.因此,當(dāng)學(xué)生應(yīng)用常規(guī)解題思路求解受阻時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試從問題的反面入手,利用逆向思維,深入考慮問題的對(duì)立面,這樣有時(shí)會(huì)得到意外驚喜. 同時(shí),逆向聯(lián)想有助于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng),有助于學(xué)生解題能力的提升. 很顯然,逆向思維是一種高階思維,逆向聯(lián)想是高階思維的表現(xiàn). 很多時(shí)候,一個(gè)學(xué)生之所以數(shù)學(xué)學(xué)得好,就是因?yàn)槠淠嫦蚵?lián)想能力比較強(qiáng). 逆向聯(lián)想能力是邁向更高數(shù)學(xué)品質(zhì)的重要臺(tái)階,是高中數(shù)學(xué)教學(xué),尤其是習(xí)題教學(xué)的重要著力點(diǎn).

    例3 如圖1所示,已知正三角形ABC的邊長為2,點(diǎn)A在x軸的正方向上移動(dòng),點(diǎn)B在以x軸正方向?yàn)槭歼叺?5°角的終邊上滑動(dòng),試求點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離.

    本題求解中,學(xué)生習(xí)慣從已知條件出發(fā),試圖通過觀察和分析點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)情況去找解題的突破口,然因題目較為復(fù)雜,大多數(shù)學(xué)生并沒有找到解決問題的切入點(diǎn),思路受阻. 因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)問題更能考查學(xué)生思維的靈活性,所以受到不少出題者的青睞,為此教師要讓學(xué)生在解決此類問題的過程中有所感悟,有所提升.

    數(shù)學(xué)問題一般是復(fù)雜多變的,當(dāng)使用常規(guī)思路難以求解時(shí),要學(xué)會(huì)改變思路,從不同角度重新尋找解題的突破口. 例如本題,當(dāng)從點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)情況直接入手求解碰壁時(shí),就從問題的反面出手,將靜點(diǎn)O轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn),利用逆向思維尋求合理的切入點(diǎn),成功地解決了問題. 教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生多角度觀察,從不同的角度去嘗試解決問題,在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

    動(dòng)靜聯(lián)想

    面對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)畏難情緒,因?yàn)椴淮_定而難以找到解決問題的合理切入點(diǎn),難以形成解決思路. 然“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)的,當(dāng)利用“動(dòng)”難以找到解題的突破口時(shí)不妨化“動(dòng)”為“靜”,通過動(dòng)靜聯(lián)想,動(dòng)靜轉(zhuǎn)化,幫助學(xué)生突破思維障礙,得到另外一番精彩.

    例4是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題,一般此類問題較為抽象和復(fù)雜,而且本題中的點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn),問題更加抽象和復(fù)雜.為了化繁為簡,解題時(shí)先固定點(diǎn)P,借助“以靜制動(dòng)”的方法將問題轉(zhuǎn)化為在已知圓上找一點(diǎn)Q,使PQ最小,這時(shí)PQ必過圓心M,由此將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求PM的最小值. 這樣通過動(dòng)靜轉(zhuǎn)化,問題就不難求解了.

    動(dòng)靜聯(lián)想在解決動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用較為廣泛,為了讓學(xué)生深入理解“以靜制動(dòng)”的思維方法,教師應(yīng)在教學(xué)過程中精選一些練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步鞏固和強(qiáng)化,相信通過長期積累,學(xué)生可以輕松克服對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題的恐懼,使思維更加活躍,解題更加靈活.

    總之,聯(lián)想在數(shù)學(xué)解題中尤為重要,它是解題時(shí)有效轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ). 因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想,通過多角度觀察和聯(lián)想充分挖掘?qū)W生的潛能,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及解題能力.

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