一道高考模擬試題的解法深度探究及應(yīng)用

駱妃景　潘巧玲　黃漢青

［摘? 要］ 圓錐曲線焦點(diǎn)弦問(wèn)題研究的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想和劃歸轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn). 而這個(gè)特殊的位置關(guān)系背后蘊(yùn)藏著一些不變的代數(shù)性質(zhì)，一些簡(jiǎn)潔的運(yùn)算結(jié)論，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的絕佳載體. 恰逢處于高中二輪復(fù)習(xí)階段，圓錐曲線焦點(diǎn)弦問(wèn)題在近期高考模擬試卷中頻繁出現(xiàn)，在新課標(biāo)全國(guó)卷的小題中也得到了充分重視和體現(xiàn). 因此，對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)弦問(wèn)題繼續(xù)挖掘和探究是必要的. 文章以2022年八省聯(lián)考（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試卷第8題為例，利用弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理、特殊化思想、極限思想等，探究了圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，并應(yīng)用這些性質(zhì)研究了高考與模擬考試中的焦點(diǎn)弦問(wèn)題的解法，為解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題提供了新思路，由此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；焦點(diǎn)弦；性質(zhì)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

試題呈現(xiàn)

解法探究

撥云見日，遷移探究

焦點(diǎn)弦性質(zhì)結(jié)論的巧妙運(yùn)用

結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線的焦半徑倍分問(wèn)題是考試中常見的題型，例3、例4、例5這三道高考真題，體現(xiàn)了兩類典型問(wèn)題，一類是已知焦半徑的倍分關(guān)系或焦點(diǎn)弦的傾斜角（也可以是一般的斜率），求離心率或a，b，c的一個(gè)等量關(guān)系；另一類是融匯數(shù)學(xué)思想，將焦點(diǎn)弦的斜率或焦半徑的倍分關(guān)系作為未知數(shù)，通過(guò)離心率求參數(shù). 除了焦半徑的倍分問(wèn)題外，在高考中也經(jīng)常出現(xiàn)一般弦長(zhǎng)的倍分問(wèn)題、中心弦長(zhǎng)的倍分問(wèn)題、平行弦長(zhǎng)的倍分問(wèn)題等.

從以上例子可以看出，焦點(diǎn)弦夾角公式和焦點(diǎn)弦性質(zhì)結(jié)論的應(yīng)用可以巧妙地解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題．對(duì)2022年八省聯(lián)考（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試卷第8題的解法3的探究及應(yīng)用，不僅能引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，還能促進(jìn)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的發(fā)展． 例2、例3、例4、例5對(duì)焦點(diǎn)弦問(wèn)題的考查相隔年份很短，由此可見，高考題在考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面是不分時(shí)段的，它們所蘊(yùn)含的知識(shí)背景是相同的，因此研究高考題不能局限于年份，甚至十年前的高考題也未必過(guò)時(shí)，這要引起教師的重視.