高中數(shù)學(xué)建模中問題的作用及發(fā)揮機(jī)制

許正川

［摘? 要］ 要想讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)真正落地，教師必須研究數(shù)學(xué)知識(shí)是如何發(fā)生的，必須思考在學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，有哪些關(guān)鍵環(huán)節(jié)和關(guān)鍵要素. 通過分析可以發(fā)現(xiàn)，“問題”就是一個(gè)關(guān)鍵要素，問題的提出、分析與解決就是教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其不僅影響著學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)過程，也影響著學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程. 研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)能在問題情境中萌芽，數(shù)學(xué)建模能力能在問題解決中培養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能在問題反思中形成.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；問題情境；問題解決；問題反思

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中的定義，數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的六個(gè)要素. 相對(duì)于其他的要素而言，數(shù)學(xué)建模有著獨(dú)特的重要性，其原因就在于數(shù)學(xué)建模的綜合性較強(qiáng)——要完成數(shù)學(xué)建模，必定涉及數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，以及直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析. 只有經(jīng)歷了這些過程，學(xué)生最終才會(huì)用數(shù)學(xué)語言來描述自己的學(xué)習(xí)結(jié)果，而這也正是數(shù)學(xué)模型的誕生. 但與此同時(shí)又應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到，一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立，又與具體的知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用過程有關(guān)，離開了數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程，也談不上數(shù)學(xué)建模，所以要想讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)真正落地，教師還必須研究數(shù)學(xué)知識(shí)是如何形成的.

談及這個(gè)問題，就必須思考在學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，有哪些關(guān)鍵環(huán)節(jié)和關(guān)鍵要素. 通過分析可以發(fā)現(xiàn)，“問題”就是一個(gè)關(guān)鍵要素，問題的提出、分析與解決就是教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其不僅影響著學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)過程，也影響著學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程. 本文就從教學(xué)實(shí)踐的角度來談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)建模中問題的作用以及作用發(fā)揮的機(jī)制.

數(shù)學(xué)建模意識(shí)在問題情境中萌芽

一個(gè)有意思的情形是，絕大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并沒有明顯的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，他們也不認(rèn)為自己學(xué)到了什么數(shù)學(xué)模型. 出現(xiàn)這種情形有其必然性，畢竟在應(yīng)試導(dǎo)向的背景下，作為對(duì)自身成長目的有著明確認(rèn)識(shí)的高中生，他們已經(jīng)能夠清晰地將學(xué)習(xí)目標(biāo)鎖定在考試上，因此專注于自身的解題能力，可以說是每一個(gè)高中生下意識(shí)的選擇. 在這樣的現(xiàn)實(shí)背景下，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，面臨著一個(gè)重要的“破題”任務(wù)，而數(shù)學(xué)建模作為綜合性最強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素，首先應(yīng)當(dāng)受到關(guān)注.

有研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)課程改革的重點(diǎn)內(nèi)容，而問題情境是數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的主要載體［1］. 對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模的第一步是數(shù)學(xué)建模意識(shí)的萌芽. 從當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況來看，這樣一個(gè)數(shù)學(xué)建模意識(shí)萌芽的過程，更多具有隱性特征. 也就是說，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，并不追求讓學(xué)生從理論角度形成關(guān)于數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，其所追求的，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在需要，以及對(duì)數(shù)學(xué)建模過程的充分體驗(yàn). 當(dāng)然，萌發(fā)需要上面所說的數(shù)學(xué)建模意識(shí)的覺醒. 那么問題情境是如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)萌芽的呢？筆者通過梳理發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生走入問題情境時(shí)，必然產(chǎn)生解決問題的沖動(dòng)——這是內(nèi)在于學(xué)生心中的“形成認(rèn)知平衡”的需要，于是學(xué)生必然經(jīng)歷一個(gè)打破認(rèn)知壁壘、重新走向認(rèn)知平衡的過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)調(diào)用舊知識(shí)，還會(huì)習(xí)得新知識(shí)，當(dāng)然也會(huì)運(yùn)用新舊知識(shí)解決問題. 問題解決后，學(xué)生會(huì)整合新舊知識(shí)，從而形成新的具有系統(tǒng)性的對(duì)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)就是數(shù)學(xué)建模的雛形.

因此可以說，創(chuàng)設(shè)問題情境并讓學(xué)生走入這一情境，就能夠打開學(xué)生數(shù)學(xué)建模的空間.

數(shù)學(xué)建模能力在問題解決中培養(yǎng)

當(dāng)學(xué)生具有數(shù)學(xué)建模意識(shí)的時(shí)候，意味著學(xué)生認(rèn)同了數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，并且會(huì)在具體的學(xué)習(xí)過程中發(fā)展自己的數(shù)學(xué)建模能力（這一過程是隱性的，學(xué)生不知道數(shù)學(xué)建模的概念，但是數(shù)學(xué)建模能力的養(yǎng)成卻客觀存在）. 要讓這種能力得到可持續(xù)發(fā)展，問題解決依然可以發(fā)揮不可替代的作用. 從宏觀層面來看，數(shù)學(xué)建模是高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中必備的技巧技能，更是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)［2］. 如果換一個(gè)視角，即站在學(xué)生的角度去看待問題解決的過程中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，那么可以發(fā)現(xiàn)兩者間基本上遵循同樣的發(fā)展軌跡，也就是問題解決的開始就是數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的開始，問題得到解決后，數(shù)學(xué)建模的過程也基本完成；同時(shí)，問題的解決與數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)又是一明一暗兩條主線，即學(xué)生經(jīng)歷顯性的問題解決過程時(shí)，數(shù)學(xué)建模能力會(huì)以學(xué)生察覺不到的方式生長，這就是在問題解決中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的奇妙之處.

例如“冪函數(shù)”的教學(xué)，從知識(shí)內(nèi)容的角度來看，這一教學(xué)在前面所學(xué)的函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上有一定的創(chuàng)新，因?yàn)檫@是一個(gè)新的函數(shù)模型；從數(shù)學(xué)建模的角度來看，建立冪函數(shù)概念并且理解其性質(zhì)的過程，就是一個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的過程. 如果要在教學(xué)中設(shè)計(jì)相應(yīng)方案讓學(xué)生親身體驗(yàn)這一過程，那么就應(yīng)該立足問題解決來進(jìn)行. 筆者針對(duì)其設(shè)計(jì)的問題解決過程包括這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

首先，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上思考問題.

學(xué)生經(jīng)過此前函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)基本知道函數(shù)就是描述變量之間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型與工具. 因此要幫助學(xué)生建立冪函數(shù)的概念，關(guān)鍵就在于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪關(guān)系的存在. 于是教師可以給學(xué)生提供類似于如下例題的實(shí)例：

如果一個(gè)正方形的邊長是a，該正方形的面積是S，如果把S看作a的函數(shù)，那么兩者間的關(guān)系是什么呢？（其后的例子可以由學(xué)生去列舉，只要讓他們發(fā)現(xiàn)冪的形式存在即可；除此之外，問題由教師提出還是由學(xué)生提出，實(shí)際教學(xué)中也可以根據(jù)具體情況來確定）在這里，“兩者間的關(guān)系是什么”看似一個(gè)再平常不過的問題，但是在這種情境下，學(xué)生會(huì)有意識(shí)地去確定兩個(gè)變量間的關(guān)系，得到S=a2這樣的關(guān)系式.

其次，體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，在分析與綜合中形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).

從一個(gè)關(guān)系中往往發(fā)現(xiàn)不了規(guī)律，因此教師要通過變式的思路，讓學(xué)生提出類似于上述例子的其他實(shí)例，然后分析不同實(shí)例中的函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)這些解析式都具有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)為常數(shù). 如此通過分析與綜合，就能夠得出這些函數(shù)的基本表達(dá)式，即y=xa.

再次，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，在數(shù)學(xué)思維驅(qū)動(dòng)下建立模型.

當(dāng)上述關(guān)系出現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，學(xué)生很容易將其與函數(shù)知識(shí)對(duì)應(yīng)起來，于是就面臨著一個(gè)新的問題：這樣一個(gè)函數(shù)與此前學(xué)過的函數(shù)相比較，有著什么樣的獨(dú)特之處？這個(gè)問題可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維走向深入，學(xué)生必然將此前學(xué)過的函數(shù)解析式及對(duì)應(yīng)的函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)調(diào)動(dòng)出來，然后給這個(gè)新的函數(shù)定義，這實(shí)際上就是用數(shù)學(xué)語言描述思維所得結(jié)果（關(guān)于冪函數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型）的過程.

通過上面三個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生一方面經(jīng)歷了一個(gè)問題解決的過程，另一方面順利建立起了關(guān)于冪函數(shù)的模型. 如此，數(shù)學(xué)建模伴隨著問題解決而出現(xiàn)、推進(jìn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力當(dāng)然能夠在此過程中得到培養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在問題反思中形成

在核心素養(yǎng)的概念體系當(dāng)中，“核心”忽然引人注目，但實(shí)際上重點(diǎn)應(yīng)是“素養(yǎng)”. 對(duì)于絕大多數(shù)高中一線數(shù)學(xué)教師而言，素養(yǎng)是一個(gè)既熟悉且陌生的概念. 在日常生活以及數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，有很多與之相類似或相接近的概念如素質(zhì)、能力等，相比較而言，素養(yǎng)這一概念的概括性更強(qiáng)、層次更高，因此將其作為教學(xué)追求是正常的選擇.

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素之一，伴隨著學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的過程而得到發(fā)展. 在這樣一個(gè)發(fā)展過程中，問題以及問題解決起著重要的促進(jìn)作用：如果說問題打開了學(xué)生的學(xué)習(xí)思路的話，那么問題解決就為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成提供了一個(gè)良好的空間，學(xué)生在這個(gè)空間里可以通過自身體驗(yàn)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)同，并且可以在積累建立數(shù)學(xué)模型能力的基礎(chǔ)上，逐步形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

值得一提的是，當(dāng)問題得到解決后，通過對(duì)問題以及問題解決過程的反思，將數(shù)學(xué)建模過程中形成的能力上升為素養(yǎng)，是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié). 真正的核心素養(yǎng)具有可遷移性，學(xué)生形成素養(yǎng)后，能夠在新的情境當(dāng)中以直覺的方式加以體現(xiàn). 要達(dá)到這樣的水平，那么學(xué)生就必須通過反思來提純已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)建模能力，從而將數(shù)學(xué)建模的環(huán)境判斷、條件判斷、邏輯推理、語言組織與運(yùn)用等綜合起來，以形成高度概括且具有遷移性的素養(yǎng)，這就是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).

綜上所述，問題及問題解決，對(duì)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成至關(guān)重要，抓住問題解決來實(shí)施高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以鋪就通往數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的康莊大道.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李保臻，陳國益. 高中數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)建模問題情境的比較研究［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（03）：6-14.

［2］李家鑫. 妙解例題看數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（21）：76-77.